Corsi di Laurea Triennale in Matematica e in Fisica

Anno Accademico 2023/2024

Analisi Matematica 2 - Complementi di Analisi Matematica 1

docente Giulio Schimperna


IN EVIDENZA:

Appelli sessione estiva. Le date proposte (ancora da considerarsi provvisorie) per le prove scritte sono le seguenti:
Giovedì 20 giugno, ore 9.30, aula A102;
Martedì 9 luglio, ore 9.30, aula A102;
Martedì 23 luglio, ore 9.30, aula A103;
Mercoledì 18 settembre, ore 9.30, aula A102.

Orario lezioni.
Lunedì 9.10-10.55, aula A102
Martedì 9.10-10.55, aula A102
Mercoledì 9.10-10.55, aula A102
Giovedì 11.15-13.00, aula A102

Modalità d'esame (da confermare). La prova scritta sarà organizzata come segue:

Parte comune:
2 esercizi a risposta secca (indicare solo il risultato);
1 esercizio sinteticamente commentato (indicare solo i punti principali dello svolgimento);
1 esercizio esteso (verrà valutato anche lo svolgimento);

Studenti di Fisica (oltre alla parte comune):
3 domande di teoria.
N.B.: per gli studenti di Fisica l'orale è facoltativo (voto massimo ottenibile senza orale: 28/30).

Studenti di Matematica (oltre alla parte comune):
un ulteriore esercizio suddiviso in diversi punti (da svolgere su foglio a parte).
N.B.: per gli studenti di Matematica l'orale è obbligatorio.

Registrazioni delle lezioni. Le registrazioni delle lezioni 2020/21 sono disponibili al seguente link.

RISULTATI delle prove scritte

TUTORATO

Tutorato: il tutorato si svolgerà il venerdì in orario 14.15-16, aula A102.

Materiale per tutorato 2023/24 (a cura dei tutori Matteo Fornoni e Giovanni Savaré):
  1. Esercizi su equazioni differenziali
  2. Esercizi su spazi metrici, continuità
  3. Esercizi su spazi calcolo differenziale
  4. Esercizi su Taylor, massimi e minimi liberi, convessità
  5. Esercizi su misura e integrazione
  6. Esercizi su funzioni implicite, invertibilità locale
Materiale per tutorato 2022/23 (a cura del tutore 2022/23 Giovanni Bracchi):
  1. Esercizi su equazioni differenziali, spazi metrici
  2. Esercizi su limiti e continuità in più variabili
  3. Esercizi su derivabilità e differenziabilità
  4. Esercizi su massimi e minimi liberi, convessità
  5. Esercizi su teoria dell'integrazione e integrali multipli
  6. Esercizi su funzioni implicite, curve e superfici
  7. Esercizi su massimi e minimi vincolati
  8. Esercizi sulle forme differenziali
  9. Esercizi su divergenza, rotore, analisi vettoriale
  10. Esercizi su integrali di linea e superficie, flussi

Calendario (parziale e provvisorio) delle lezioni e riassunto degli argomenti trattati (valido anche come programma del corso).

  1. Lun 04/03/24. Introduzione al corso. Classificazione delle equazioni differenziali. Principali problemi della teoria delle equazioni differenziali ordinarie.
  2. Mar 05/03/24. Equazioni a variabili separabili e formula risolutiva. Soluzioni stazionarie. Dominio della soluzione; fenomeno dell'esplosione in tempi finiti.
  3. Mer 06/03/24. Fenomeno della perdita dell'unicità. Equazioni lineari del primo ordine: struttura dell'insieme delle soluzioni. Formula della variazione delle costanti. Alcuni esempi ed esercizi.
  4. Gio 07/03/24. Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti. Secondi membri di tipo polinomiale, esponenziale, logaritmico. Fenomeno della risonanza. Osservazioni varie.

  5. Lun 11/03/24. Norme e prodotti scalari. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Spazi metrici. Punti interni, aperti, di frontiera. Topologia. Interno di un insieme e sua caratterizzazione.
  6. Mar 12/03/24. Chiusura di un insieme e sue caratterizzazioni. Punti di accumulazione, punti isolati. Completezza. Successioni di Cauchy, successioni convergenti. Teorema di Bolzano-Weierstrass e dimostrazione.
  7. Mer 13/03/24. Relazioni tra "chiuso" e "completo". Compattezza e compattezza per successioni. Teorema di Heine-Borel. Relazioni tra "compatto", "chiuso", "limitato". In RN compatto per successioni equivale a chiuso e limitato. Situazione in spazi di dimensione infinita.
  8. Gio 14/03/24. Limiti e continuità di funzioni definite tra spazi metrici. Caratterizzazione della continuità in un punto (intorni) e globale (aperti). Caratterizzazione della continuità tramite le successioni.

  9. Lun 18/03/24. Uniforme continuità. Estensioni dei teoremi di Weierstrass e Heine al caso degli spazi metrici. Insiemi connessi. Topologia indotta. I connessi di R sono gli intervalli (dimostrazione solo parziale). Insiemi connessi e topologia indotta.
  10. Mar 19/03/24. Teorema "degli zeri" in spazi metrici. Metriche equivalenti e considerazioni varie. Una metrica non completa su R che induce la topologia euclidea. Rappresentazione grafica delle funzioni di più variabili. Continuità di funzioni di più variabili.
  11. Mer 20/03/24. Derivate parziali e derivate direzionali. Alcuni esempi. La deriviabilità parziale o direzionale non implica la continuità. Differenziabilità. Unicità del differenziale. Differenziabile implica continua. Spazio duale di RN.
  12. Gio 21/03/24. Gradiente e matrice Jacobiana. Interpretazione del gradiente come direzione di massima variazione. Piano tangente. Teorema "del differenziale totale". Differenziabile non implica C1. Alcuni esempi.

  13. Lun 25/03/24. Differenziazione della funzione composta. Esempi espliciti di calcolo del differenziale della composta. Derivate successive. Teorema di Schwartz (solo enunciato). Un esempio di funzione con derivate seconde miste che non coincidono in un punto.
  14. Mar 26/03/24. Analogo N-dimensionale del teorema di Lagrange. Estremi relativi. Punti stazionari e teorema di annullamento del gradiente. Teorema del gradiente nullo. Formula di Taylor (secondo ordine) con resto di Peano. Cenni sulla formula di Taylor di ordine superiore. Matrice Hessiana.
  15. Mer 27/03/24. Studio della forma quadratica associata alla matrice Hessiana e applicazione al problema della determinazione dei massimi e dei minimi relativi "liberi". Casi particolari, esempi ed esercizi.

    PASQUA

  16. Mer 03/04/24. Funzioni convesse. Uso della convessità per caratterizzare i punti stazionari. Funzioni monotone (cenni). Introduzione alla teoria dell'integrazione in più variabili. Definizione di integrale secondo Riemann.
  17. Gio 04/04/24. Teorema di riduzione e dimostrazione. Insiemi misurabili. Insiemi di misura nulla. Considerazioni varie ed esercizi.

  18. Lun 08/04/24. Condizioni equivalenti alla misurabilità di un insieme. Proprietà fondamentali dell'integrale (linearità) e della misura (comportamento rispetto a intersezioni e unioni finite). Integrabilità delle funzioni "generalmente continue". Commenti sulla classe delle funzioni integrabili. Un'osservazione sulle ipotesi del teorema di riduzione. Funzione di Thomae. Il grafico di una funzione integrabile di una variabile ha misura bidimensionale nulla.
  19. Mar 09/04/24. Integrale di una funzione definita su un insieme limitato e misurabile di R2. Insiemi "normali" rispetto agli assi. Svolgimento di esercizi. Cambiamento di variabile (introduzione).
  20. Mer 10/04/24. Teorema di cambiamento di variabile negli integrali doppi, schema di dimostrazione e commenti. Coordinate polari nel piano. Coordinate curvilinee ortogonali. Svolgimento di esercizi.
  21. Gio 11/04/24. Integrali tripli e formule di riduzione nel caso tridimensionale. Coordinate cilindriche e sferiche nello spazio. Solidi di rotazione, baricentri. Esercizi vari.

  22. Lun 15/04/24. Curve "regolari" in RN. Rettificabilità. Vettore tangente. Lunghezza di una curva e giustificazione attraverso le poligonali inscritte. Integrali su curve. Riparametrizzazioni.
  23. Mar 16/04/24. Curve "regolari a tratti". Ogni curva in R2 è localmente un grafico. Lunghezza d'arco. Spazio tangente e spazio normale. Teorema delle funzioni implicite nel caso bidimensionale e dimostrazione (prima parte).
  24. Mer 17/04/24. Conclusione della dimostrazione del teorema delle funzioni implicite. Derivate e regolarità della funzione implicita. Alcuni esempi ed esercizi. Connessione per archi. Ogni aperto connesso è anche connesso per archi.
  25. Gio 18/04/24. Superfici regolari in R3. Area di una superficie. Spazio tangente e spazio normale. Riparametrizzazioni. Integrali superficiali. Grafici. Alcuni esempi ed esercizi.

  26. Lun 22/04/24. Ulteriori considerazioni sulle superfici. Teorema di invertibilità locale (solo enunciato, con considerazioni ed esempi). Ogni superficie è localmente un grafico. Estensione del teorema di Dini al caso tridimensionale. Estremi vincolati. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange, caso di un solo vincolo scalare.
  27. Mar 23/04/24. Orientabilità. Considerazioni su spazio tangente e spazio normale. Teorema di Dini in dimensione qualunque. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange nel caso di più vincoli. Considerazioni varie, esempi ed esercizi.
  28. Mer 24/04/24. Forme differenziali: definizione e integrale lungo una curva. Cammini orientati, somma di cammini e cammino opposto. Forme esatte. Integrale di una forma esatta.

  29. Lun 29/04/24. Teorema di caratterizzazione delle forme esatte continue (con dimostrazione).
  30. Mar 30/04/24. Forme chiuse. Esattezza delle forme chiuse in aperti stellati. Concetto di omotopia. Invarianza per omotopia dell'integrale di forme chiuse (senza dimostrazione). Domini semplicemente connessi e esattezza delle forme chiuse.
  31. Gio 02/05/24. Campi vettoriali e forme differenziali associate, formulazione dei risultati sulle forme nella terminologia dei campi vettoriali. Aperti di classe C1. Teorema della divergenza, enunciato e spiegazione.

  32. Mar 07/05/24.
  33. Mer 08/05/24.
  34. Gio 09/05/24.

  35. Mar 14/05/24.
  36. Mer 15/05/24.
  37. Gio 16/05/24.

  38. Mar 21/05/24.
  39. Mer 22/05/24.
  40. Gio 23/05/24.
In rosso le ore tenute dal Prof. Lisini.

LIBRO DI TESTO

Testo in adozione:
Carlo Domenico Pagani - Sandro Salsa, "Analisi Matematica 2", Zanichelli.

Altri testi consigliati:
Enrico Giusti, "Analisi Matematica 2", Bollati - Boringhieri.
Gianni Gilardi, "Analisi due", McGraw - Hill Italia.

RACCOLTA DI ESERCIZI SVOLTI (a cura del Prof. Enrico Vitali)

  1. Esercizi su topologia di RN, spazi metrici
  2. Esercizi su limiti e continuità
  3. Esercizi su derivabilità e differenziabilità (prima parte)
  4. Esercizi su derivabilità e differenziabilità (seconda parte)
  5. Esercizi sui polinomi di Taylor
  6. Esercizi su massimi e minimi liberi
  7. Esercizi su integrali in più variabili
  8. Esercizi su integrali di linea e di forme differenziali
  9. Esercizi su massimi e minimi vincolati

TEMI D'ESAME ANNO 2022/23

Appello del 13/09/2023: scritto,

Appello del 24/07/2023: scritto, soluzioni.

Appello del 05/07/2023: scritto, soluzioni.

Appello del 20/06/2023: scritto, soluzioni.

TEMI D'ESAME ANNO 2021/22

Appello del 15/02/2023: scritto, prescritto con risultati, traccia di svolgimento scritto.

Appello del 18/01/2023: scritto, prescritto con risultati, traccia di svolgimento scritto.

Appello del 15/09/2022: scritto, prescritto (guardare solo le prime due versioni, nelle altre le costanti non sono controllate).

Appello del 26/07/2022: scritto, prescritto (guardare solo le prime due versioni, nelle altre le costanti non sono controllate), risultati prescritto, traccia di svolgimento scritto.

Appello del 06/07/2022: scritto, prescritto (guardare solo le prime due versioni, nelle altre le costanti non sono controllate), soluzioni.

Appello del 16/06/2022: scritto, prescritto (guardare solo le prime due versioni, nelle altre le costanti non sono controllate), soluzioni.

Sono inoltre disponibili due simulazioni del prescritto (prima prova, seconda prova): ciascun file contiene cinque versioni diverse degli stessi esercizi. Disponibile anche la correzione delle simulazioni preparata dal Dott. Bignardi.

Ultimo aggiornamento: 3 maggio 2024