Corsi di Laurea Triennale in Matematica e in Fisica

Anno Accademico 2022/2023

Analisi Matematica 2 - Complementi di Analisi Matematica 1

docente Giulio Schimperna


IN EVIDENZA:

Scritto del 14 febbraio 2024.
RISULTATI della prova scritta.
Date per orali:
- giovedì 15/2 ore 14-16, aula E10;
- mercoledì 21/2 ore 14-18, aula E10;
- martedì 27/2 ore 9-16, aula E9 (solo in subordine agli orali di scienze biologiche);
date successive potranno eventualmente essere concordate col docente. È possibile posticipare l'orale fermo restando che la validità massima della prova scritta è di 12 mesi.
Si ricorda che per prenotarsi per l'orale occorre in ogni caso contattare il docente.

Appelli d'esame sessione invernale. Le date delle prove scritte d'esame sono le seguenti:
Mercoledì 17 gennaio 2024, ore 9.30, Aula C8;
Mercoledì 14 febbraio 2024, ore 9.30, Aula C8.
Il calendario degli orali sarà definito nei giorni immediatamente successivi a ciascuna prova scritta, ferma restando la possibilità di posticipare l'orale. Si ricorda comunque che, salvo casi eccezionali e motivati, l'orale va comunque sostenuto entro 12 mesi a partire dalla data dello scritto. È inotre fortemente sconsigliato sostenere l'orale durante il periodo di svolgimento delle lezioni.

Programma: è disponibile la versione aggiornata del programma.

Simulazione prova scritta. È disponibile una simulazione (versione aggiornata, con soluzioni) della prova scritta d'esame, nel formato stabilito per il 2022/23.

Modalità d'esame. La prova scritta sarà organizzata come segue:

Parte comune:
2 esercizi a risposta secca (indicare solo il risultato);
1 esercizio sinteticamente commentato (indicare solo i punti principali dello svolgimento);
1 esercizio esteso (verrà valutato anche lo svolgimento);

Studenti di Fisica (oltre alla parte comune):
3 domande di teoria.
N.B.: per gli studenti di Fisica l'orale è facoltativo (voto massimo ottenibile senza orale: 28/30).

Studenti di Matematica (oltre alla parte comune):
un ulteriore esercizio suddiviso in diversi punti (da svolgere su foglio a parte).
N.B.: per gli studenti di Matematica l'orale è obbligatorio.

Registrazioni delle lezioni. Le registrazioni delle lezioni 2020/21 sono disponibili al seguente link.

RISULTATI delle prove scritte

Appello del 17 gennaio 2024.
RISULTATI della prova scritta.

Appello del 13 settembre 2023.
RISULTATI della prova scritta.

Appello del 24 luglio 2023.
RISULTATI della prova scritta.

Appello del 5 luglio 2023.
RISULTATI della prova scritta.

Appello del 20 giugno 2023.
RISULTATI della prova scritta.

TUTORATO

Tutorato: il tutorato si svolgerà il venerdì in orario 14.15-16, aula A102.

Materiale per tutorato (a cura del tutore Giovanni Bracchi):
  1. Esercizi su equazioni differenziali, spazi metrici
  2. Esercizi su limiti e continuità in più variabili
  3. Esercizi su derivabilità e differenziabilità
  4. Esercizi su massimi e minimi liberi, convessità
  5. Esercizi su teoria dell'integrazione e integrali multipli
  6. Esercizi su funzioni implicite, curve e superfici
  7. Esercizi su massimi e minimi vincolati
  8. Esercizi sulle forme differenziali
  9. Esercizi su divergenza, rotore, analisi vettoriale
  10. Esercizi su integrali di linea e superficie, flussi

Calendario (parziale e provvisorio) delle lezioni e riassunto degli argomenti trattati (valido anche come programma del corso).

  1. Mer 01/03/23. Considerazioni introduttive. Classificazione delle equazioni differenziali. Principali problemi della teoria delle equazioni differenziali ordinarie. Problema di Cauchy.
  2. Gio 02/03/23. Equazioni a variabili separabili e formule risolutive. Considerazioni teoriche su: soluzioni stazionarie, esplosione in tempi finiti, violazione dell'unicità, caso autonomo.

  3. Lun 06/03/23. Introduzione al corso. Ulteriori considerazioni ed esempi sulle equazioni a variabili separabili. Equazioni lineari del primo ordine a coefficienti variabili. Struttura dell'insieme delle soluzioni nel caso omogeneo e nel caso completo.
  4. Mar 07/03/23. Metodo della variazione delle costanti. Esempi ed esercizi. Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti omogenee. Polinomio caratteristico. Equazioni non omogenee con secondi membri di tipo polinomiale, esponenziale, trigonometrico.
  5. Mer 08/03/23. Ulteriori considerazioni ed esempi sulle equazioni lineari a coefficienti costanti. Fenomeno della risonanza. Prodotto scalare e modulo in RN. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Spazi metrici e spazi normati. Punti interni, esterni, di frontiera. Insiemi aperti, interno di un insieme.
  6. Gio 09/03/23. Insiemi aperti e topologia. Chiusura di un insieme e sua caratterizzazione. Punti di accumulazione. Successioni di Cauchy e convergenti. Completezza. Teorema di Bolzano-Weierstrass e dimostrazione.

  7. Lun 13/03/23. Un insieme è chiuso se e solo se contiene tutti i suoi punti limite. Compattezza e compattezza per successioni. Relazioni tra "compatto", "completo", "chiuso". In RN compatto equivale a chiuso e limitato. Limiti e continuità di funzioni definite e a valori in spazi metrici.
  8. Mar 14/03/23. Varie caratterizzazioni della continuità (utilizzando gli intorni, utilizzando la topologia, utilizzando le successioni). Norme equivalenti. Norme || ||1 e || ||∞ su RN.Insiemi connessi (definizione utilizzando gli insiemi separati). Topologia indotta. Caratterizzazione degli insiemi connessi utilizzando la topologia indotta.
  9. Mer 15/03/23. Ulteriori osservazioni sugli insiemi connessi. In R i connessi sono gli intervalli (senza dim.). Le funzioni continue mandano compatti in compatti e connessi in connessi. Uniforme continuità e teorema di Heine. Alcuni esempi ed osservazioni.
  10. Gio 16/03/23. Esempio di una metrica non completa su R che induce la topologia euclidea. Rappresentazione grafica delle funzioni di più variabili. Derivate parziali e derivate direzionali. Alcuni esempi.

  11. Lun 20/03/23. La deriviabilità parziale o direzionale non implica la continuità. Differenziabilità. Unicità del differenziale. Differenziabile implica continua. Gradiente e matrice Jacobiana. Interpretazione del gradiente come direzione di massima variazione.
  12. Mar 21/03/23. Ulteriori proprietà delle funzioni differenziabili. Piano tangente. Teorema "del differenziale totale". Differenziabile non implica C1. Alcuni esempi. Differenziale della funzione composta.
  13. Mer 22/03/23. Esempi espliciti di calcolo del differenziale della composta. Derivate successive. Teorema di Schwartz (solo enunciato). Un esempio di funzione con derivate seconde miste che non coincidono in un punto. Estremi relativi. Punti stazionari e teorema di annullamento del gradiente.
  14. Gio 23/03/23. Teorema del gradiente nullo. Analogo N-dimensionale del teorema di Lagrange. Formula di Taylor (secondo ordine) con resto di Peano. Matrice Hessiana e studio della forma quadratica associata.

  15. Lun 27/03/23. Formula di Taylor di ordine superiore al secondo (cenni). Determinazione dei massimi e dei minimi tramite lo studio della matrice Hessiana. Casi particolari, esempi e controesempi. Funzioni convesse (introduzione).
  16. Mar 28/03/23. Funzioni convesse (continuazione); determinazione della convessità; funzioni monotone in più variabili (cenni). Esercizi su differenziabilità, massimi e minimi liberi.
  17. Mer 29/03/23. Teoria dell'integrazione in più variabili: introduzione, definizione di integrale secondo Riemann su un rettangolo di R2). Teorema di riduzione e dimostrazione. Considerazioni varie
  18. Gio 30/03/23. Insiemi misurabili. Insiemi di misura nulla. Condizioni per la misurabilità di un insieme. Proprietà fondamentali dell'integrale (linearità) e della misura (comportamento rispetto a intersezioni e unioni finite). Integrabilità delle funzioni "generalmente continue" su un rettangolo.

  19. Lun 03/04/23. Commenti sulla classe delle funzioni integrabili. Funzione di Dirichlet "modificata". Cenni alla misura di Lebesgue. Il grafico di una funzione integrabile di una variabile ha misura bidimensionale nulla. Integrale di una funzione definita su un insieme limitato e misurabile di R2. Insiemi "normali" rispetto agli assi. Teorema di cambiamento di variabile negli integrali doppi (introduzione).
  20. Mar 04/04/23. Teorema di cambiamento di variabile negli integrali doppi (continuazione). Un'osservazione sulle ipotesi del teorema di riduzione. Alcuni esercizi. Coordinate curvilinee ortogonali. Coordinate polari in R2. Coordinate sferiche in R3. Alcuni esempi ed esercizi.
  21. Mer 05/04/23. Estensione della teoria dell'integrazione al caso tridimensionale. Integrazione "per strati e per fili". Solidi di rotazione, baricentro. Svolgimento di alcuni esercizi.

    PASQUA

  22. Mer 12/04/23. Curve in RN. Lunghezza di una curva. Rettificabilità. Considerazioni sulla regolarità. Riparametrizzazioni. Lunghezza di una curva come estremo superiore delle lunghezze delle poligonali inscritte.
  23. Gio 13/04/23. Ulteriori considerazioni geometriche sulle curve. Lunghezza d'arco. Curvatura di una curva piana. Integrali su curve. Insiemi connessi per archi. Ogni aperto connesso è connesso per archi. Alcuni esercizi.

  24. Lun 17/04/23. Teorema delle funzioni implicite in due variabili, dimostrazione e considerazioni varie. Punti "regolari" e punti "singolari" degli insiemi di livello. Derivate successive e sviluppo di Taylor della funzione definita implicitamente.
  25. Mar 18/04/23. Alcuni esercizi sul teorema delle funzioni implicite. Superfici in R3. Linee coordinate, piano tangente. Area di una superficie e considerazioni geometriche collegate. Ipersuperfici (cenni). Considerazioni varie.
  26. Mer 19/04/23. Spazio tangente e spazio normale a una superficie. Orientabilità (cenni). Integrali di superficie. Invarianza dell'integrale e dell'area rispetto a riparametrizzazioni. Alcuni esercizi. Estensione del teorema delle funzioni implicite al caso tridimensionale.
  27. Gio 20/04/23. Teorema delle funzioni implicite in dimensione qualunque (cenni). Estremi vincolati. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange, anche nel caso di più vincoli. Considerazioni varie, esempi ed esercizi.

  28. Mer 26/04/23 - MAT + FIS. Teorema di invertibilità locale. Esempi e controesempi (in particolare, non vale un enunciato "globale"). Ogni superficie regolare è localmente un grafico.
  29. Gio 27/04/23 - MAT + FIS. Cammini orientati. Forme differenziali. Integrazione di una forma differenziale su un cammino. Forme differenziali "chiuse" ed "esatte". Considerazioni varie, anche legate alla fisica. Esatta implica chiusa.

  30. Mar 02/05/23 - MAT + FIS. Teorema di caratterizzazione delle forme esatte (esatta se e solo se l'integrale lungo ogni circuito è nullo). Omotopie. Aperti semplicemente connessi. Invarianza dell'integrale di una forma chiusa su una coppia di circuiti omotopi.
  31. Mer 03/05/23 - MAT + FIS. Esempi ed esercizi sulle forme differenziali. Formule di Gauss-Green nel piano; teorema della divergenza nel piano.
  32. Gio 04/05/23 - MAT + FIS. Teorema della divergenza nello spazio. Superfici con bordo; orientamento di una superficie. Teorema di Stokes (enunciato e commenti).

  33. Mar 09/05/23 (seminario) - MAT + FIS, Aula A102.
  34. Mer 10/05/23 - solo MAT, Aula A102. Equiavalenza delle norme in dimensione finita. Alcuni esempi significativi. Teorema di caratterizzazione degli spazi metrici compatti (enunciato e dimostrazione delle prime due implicazioni).
  35. Gio 11/05/23 - solo MAT, Aula E10. Teorema di caratterizzazione degli spazi metrici compatti (dimostrazione della terza implicazione). Ulteriori esempi. Svolgimento di alcuni esercizi.

  36. Mar 16/05/23 - solo MAT, Aula E10. Integrali dipendenti da parametro. Applicazione: integrale della gaussiana. Complementi sulle forme differenziali (con dimostrazione dell'esattezza di una forma che ha integrale nullo sulle curve chiuse). Lemma di Poincaré per aperti stellati.
  37. Mer 17/05/23 - solo MAT, Aula A102. Dimostrazione dell'invarianza dell'integrale di una forma chiusa su curve omotope. Fine dimostrazione delle formule di Gauss-Green nel piano. Applicazione al calcolo di aree.
  38. Gio 18/05/23 - solo MAT, Aula E10. Dimostrazione del Teorema della divergenza in tre dimensioni in un caso particolare. Un esercizio sui flussi.

  39. Mar 23/05/23 - solo MAT, Aula E10. Cenno all'inquadramento del Teorema di Stokes e della divergenza nell'ambito delle forme differenziali di grado più alto. Un esercizio sul Teorema di Stokes.
  40. Mer 24/05/23 - solo MAT, Aula A102. Definizione di integrale improprio in una dimensione in presenza di un punto di singolarità (eventualmente all'infinito). Criteri del confronto e del confronto asintotico.
  41. Gio 25/05/23 - solo MAT, Aula E10. Integrali impropri unidimensionali in presenza di più punti di singolarità. Integrale in valor principale. Funzione Gamma e alcune proprietà. Estensione del concetto di integrale improprio a dimensione più alta. Esempio della potenza del modulo.

  42. Mar 30/05/23 - solo MAT, Aula E10. Misura della palla unitaria in dimensione N. Formula di integrazione per le funzioni radiali. Applicazione: estensione degli esempi base di singolarità integrabili a dimensione N.
  43. Mer 31/05/23 (seminario) - MAT + FIS, Aula A102.
  44. Gio 01/06/23 (seminario) - MAT + FIS, Aula A102.

  45. Mar 06/06/23 - MAT + FIS, Aula A102. Esercitazione in preparazione all'esame
  46. Mer 07/06/23 - MAT + FIS, Aula A102. Esercitazione in preparazione all'esame
In rosso le ore tenute dal Prof. Vitali.

LIBRO DI TESTO

Testo in adozione:
Carlo Domenico Pagani - Sandro Salsa, "Analisi Matematica 2", Zanichelli.

Altri testi consigliati:
Enrico Giusti, "Analisi Matematica 2", Bollati - Boringhieri.
Gianni Gilardi, "Analisi due", McGraw - Hill Italia.

RACCOLTA DI ESERCIZI SVOLTI

  1. Esercizi su topologia di RN, spazi metrici
  2. Esercizi su limiti e continuità
  3. Esercizi su derivabilità e differenziabilità (prima parte)
  4. Esercizi su derivabilità e differenziabilità (seconda parte)
  5. Esercizi sui polinomi di Taylor
  6. Esercizi su massimi e minimi liberi
  7. Esercizi su integrali in più variabili
  8. Esercizi su integrali di linea e di forme differenziali
  9. Esercizi su massimi e minimi vincolati

TEMI D'ESAME ANNO 2022/23

Appello del 13/09/2023: scritto,

Appello del 24/07/2023: scritto, soluzioni.

Appello del 05/07/2023: scritto, soluzioni.

Appello del 20/06/2023: scritto, soluzioni.

TEMI D'ESAME ANNO 2021/22

Appello del 15/02/2023: scritto, prescritto con risultati, traccia di svolgimento scritto.

Appello del 18/01/2023: scritto, prescritto con risultati, traccia di svolgimento scritto.

Appello del 15/09/2022: scritto, prescritto (guardare solo le prime due versioni, nelle altre le costanti non sono controllate).

Appello del 26/07/2022: scritto, prescritto (guardare solo le prime due versioni, nelle altre le costanti non sono controllate), risultati prescritto, traccia di svolgimento scritto.

Appello del 06/07/2022: scritto, prescritto (guardare solo le prime due versioni, nelle altre le costanti non sono controllate), soluzioni.

Appello del 16/06/2022: scritto, prescritto (guardare solo le prime due versioni, nelle altre le costanti non sono controllate), soluzioni.

Sono inoltre disponibili due simulazioni del prescritto (prima prova, seconda prova): ciascun file contiene cinque versioni diverse degli stessi esercizi. Disponibile anche la correzione delle simulazioni preparata dal Dott. Bignardi.

Ultimo aggiornamento: 15 febbraio 2024