Analisi 3,   Equazioni Differenziali e Sistemi Dinamici

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Modalità d'esame per le sessioni estiva e autunnale 2021: sono descritte in dettaglio a questo link.

Appelli d'esame. Le date proposte sono le seguenti:
Mercoledì 27 gennaio, ore 9.30, aula C8;
Martedì 16 febbraio, ore 9.30, aula C8;
Martedì 22 giugno, ore 9.30, aula C8;
Lunedì 12 luglio, ore 9.30, aula C8 (attenzione, data variata);
Lunedì 6 settembre, ore 9.30, aula C8 (attenzione, data variata);
Martedì 21 settembre, ore 9.30, aula C8.
Le date sono da intendersi come indicative: potranno ovviamente esserci variazioni dipendenti dall'evoluzione della situazione sanitaria.

3. 02/10/20. Introduzione al corso. Classificazione delle equazioni differenziali. Problemi principali della teoria: esistenza, unicità regolarità, comportamento qualitativo. Spazi metrici e spazi normati. Completezza. Criterio di Cauchy uniforme.
5. 06/10/20. Teorema delle contrazioni e dimostrazione. Esempi e controesempi. Problema di Cauchy e problematiche relative (dominio, unicità, regolarità della soluzione).
7. 09/10/20. Problemi di Cauchy in avanti e all'indietro. Formulazione integrale del problema di Cauchy. Teorema di esistenza e unicità "in piccolo" e dimostrazione.
9. 13/10/20. Commenti sulla condizione di Lipschitz locale. Prolungamento delle soluzioni. Soluzioni massimali. Un caso in cui manca l'unicità. Teorema sul prolungamento di funzioni Lipschitz tra spazi metrici e dimostrazione.
12. 16/10/20. Criterio di non massimalità. Equazioni a variabili separabili. Vari esempi ed esercizi. Fenomeno dell'esplosione in tempi finiti. Lemma di Gronwall e dimostrazione.
14. 20/10/20. Teorema di esistenza e unicità in grande. Equazioni autonome. Punti di equilibrio. Richiami sul teorema dell'asintoto. Vari esempi.
16. 23/10/20. Teorema di dipendenza continua dai dati e dimostrazione. Alcuni semplici studi qualitativi. Disuguaglianze differenziali (introduzione).
18. 27/10/20. Teorema del confronto e dimostrazione. Esempi ed esercizi. Equazioni omogenee. Esercizi.
21. 30/10/20. Introduzione alle equazioni e ai sistemi lineari. Applicabilità del teorema di esistenza e unicità "in grande". Norme sullo spazio delle matrici. Norme equivalenti. Equivalenza delle norme in dimensione finita. Struttura dell'insieme delle soluzioni (inizio). Svolgimento di uno studio qualitativo.
23. 03/11/20. Struttura dell'insieme delle soluzioni di un'equazione lineare (continuazione). Caso scalare. Formula della variazione delle costanti. Alcuni esempi ed esercizi. Sistemi a coefficienti costanti in forma diagonale.
25. 06/11/20. Matrice esponenziale e sue proprietà. Trattazione dei sistemi a coefficienti costanti diagonalizzabili con autovalori reali. Matrici fondamentali e matrice risolvente. Esempi.
27. 10/11/20. Riduzione dei sistemi non diagonalizzabili alla forma canonica di Jordan. Calcolo della matrice esponenziale nel caso Jordan. Esempi.
30. 13/11/20. Calcolo della matrice esponenziale nel caso di autovalori complessi regolari e non. Esempi ed esercizi. Metodo della variazione delle costanti per i sistemi. Ulteriori esercizi.
32. 17/11/20. Equazioni lineari scalari di ordine superiore al primo, omogenee e non omogenee. Sistema del primo ordine associato. Trattazione diretta tramite polinomio caratteristico. Metodo della variazione delle costanti per le equazioni scalari di ordine superiore al primo (introduzione).
34. 20/11/20. Equazioni lineari scalari con secondi membri di tipo polinomiale, esponenziale, trigonometrico. Risonanza. Considerazioni finali su equazioni e sistemi lineari. Equazioni di Bernoulli.
36. 24/11/20. Introduzione alla teoria della stabilità. Nozione di sistema dinamico. Spazio delle fasi. Stabilità dei sistemi lineari: caratterizzazione delle matrici i cui autovalori hanno tutti parte reale negativa. Osservazione: gli autovettori corrispondono a traiettorie rettilinee.
39. 27/11/20. Stabilità dei sistemi lineari. Decadimento e crescita esponenziale. Classificazione dei punti critici dei sistemi lineari bidimensionali. Esempi vari.
41. 01/12/20. Metodo di linearizzazione. Punti critici isolati e non isolati. Decadimento e crescita esponenziale nel caso non lineare. Alcuni esempi (in particolare, decadimento "polinomiale").
43. 04/12/20. Ulteriori considerazioni sul metodo di linearizzazione. Definizione di punto critico stabile, asintoticamente stabile, instabile. Proprietà "generiche". Relazioni fini tra sistema nonlineare e sistema linearizzato nel caso 2D (senza dimostrazioni).
46. 11/12/20. Studio qualitativo di un sistema nonlineare bidimensionale. Metodo di Liapounov. Funzionali di Liapounov e integrali primi. Metodi per la determinazione di integrali primi. Esempi.
    •• 14/12/20, ore 10-12 (seminario). Esercizi su equazioni e sistemi lineari e non lineari.
48. 15/12/20 Richiami sulla caratterizzazione degli spazi metrici compatti. Teorema di Ascoli e dimostrazione dell'implicazione non banale. Alcuni esempi chiave.
50. 18/12/20 Teorema di Peano e dimostrazione. Conseguenze: sviluppo della teoria generale in caso di assenza di unicità (prolungamenti, soluzioni massimali, ecc.). Soluzioni "minima" e "massima" di un problema di Cauchy (senza dimostrazioni), "pennello" di Peano. Un esercizio.
    •• 08/01/21 (seminario). Esercizi su stabilità lineare e non lineare, integrali primi, funzionali di Liapounov.

2. 01/10/20. Introduzione al corso. Convergenza puntuale e uniforme. La convergenza uniforme conserva continuità e limitatezza.
3. 09/10/20. Teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale. Teorema di derivazione "per serie". Dimostrazioni.
5. 15/10/20. Esempi ed esercizi sulle successioni di funzioni e sui teoremi visti fino ad ora. Serie di funzioni. Convergenza assoluta, convergenza totale. Criterio di Weierstrass o della convergenza totale. Una serie di funzioni che converge uniformemente, ma non totalmente.
7. 19/10/20 (recupero della lezione persa l'8 ottobre). Serie di potenze. Insieme di convergenza. Teorema del raggio di convergenza. Comportamento sul bordo del cerchio di convergenza. Esempi.
9. 22/10/20. Richiami sul massimo e minimo limite. Determinazione del raggio di convergenza. Esempi vari. Derivazione (in R) delle serie di potenze. Funzioni analitiche (definizione).
10. 23/10/20. Funzione ultrapiatta. Condizioni necessarie e sufficienti per l'analiticità. Una funzione reale che è somma di una serie di potenze in un intervallo è analitica (senza dimostrazione).
12. 29/10/20. Prodotto alla Cauchy di due serie di potenze. Un esempio. Introduzione alle funzioni di variabile complessa. Continuità. Derivabilità in campo complesso (introduzione).
    •• 05/11/20 (seminario). Svolgimento di esercizi su successioni e serie di funzioni, convergenza puntuale e uniforme, serie di potenze.
13. 06/11/20. Condizioni di Cauchy-Riemann. Proprietà elementari delle funzioni derivabili in campo complesso.
15. 12/11/20. Integrazione delle funzioni di variabile complessa lungo un cammino e considerazioni varie. Legami tra funzioni olomorfe e forme differenziali.
17. 19/11/20. Teorema di Cauchy in un triangolo e in un aperto stellato. Dimostrazioni e osservazioni varie.
18. 20/11/20. Formula integrale di Cauchy e dimostrazione. Passaggio al limite sotto integrale nel caso di integrali su cammini.
20. 26/11/20. Sviluppabilità in serie di potenze delle funzioni olomorfe. Analiticità in campo complesso. Esempi. Teorema di Liouville. Teorema fondamentale dell'algebra.
    •• 03/12/20 (seminario). Esercizi su integrazione su cammini, teorema e formula di Cauchy.
21. 04/12/20. Teorema di Morera. Zeri di funzioni analitiche. Principio di identità. Relazioni tra analiticità reale e complessa.
23. 10/12/20. Ordine degli zeri delle funzioni olomorfe. Sviluppo in serie di Laurent. Singolarità isolate. Caratterizzazione delle singolarità eliminabili e dei poli. Esempi. Definizione di singolarità essenziale.
25. 17/12/20. Caratterizzazione delle singolarità essenziali: teorema di Casorati-Weierstrass. Un esempio di singolarità non isolata. Indice di avvolgimento. Teorema dei residui (enunciato).
26. 18/12/20. Dimostrazione del teorema dei residui. Formula per il calcolo dei residui nei poli.
28. 22/12/20, ore 10. Calcolo dei residui nei punti di singolarità essenziale. Calcolo di integrali tramite il teorema dei residui (inizio). Funzioni polidrome. Logaritmo in campo complesso. Potenze a esponente non intero.
30. 07/01/21. Integrali con funzioni polidrome (logaritimo, potenze frazionarie). Residuo all'infinito. Ulteriori esercizi.

MATERIALE E LIBRI DI TESTO

TEMI D'ESAME

Prova scritta del 18/02/2020: testo degli esercizi.

Prova scritta del 21/01/2020: testo degli esercizi.

Prova scritta del 05/09/2019: testo degli esercizi.

Prova scritta del 17/06/2019: testo degli esercizi.

Prova scritta del 14/02/2019: testo degli esercizi.

Prova scritta del 21/01/2019: testo degli esercizi.

Prova scritta del 25/09/2018: testo degli esercizi.

Prova scritta del 04/09/2018: testo degli esercizi.

Prova scritta del 26/06/2018: testo degli esercizi.

Prova scritta del 26/02/2018: testo degli esercizi.

Prova scritta del 30/01/2018: testo degli esercizi.

MODALITÀ D'ESAME

L'esame sarà costituito da una prova scritta e da un orale.
Nel caso gli iscritti ad un appello siano non più di 3, la prova scritta viene svolta solo se qualcuno degli studenti iscritti lo richiede esplicitamente. In caso contrario, l'esame si svolge in forma solo orale (in questo caso l'orale avrà una durata maggiore).
Se gli iscritti sono almeno 4, la prova scritta viene svolta in ogni caso.
Si raccomanda dunque di iscriversi con almeno 3 giorni (lavorativi) di anticipo rispetto alla data dell'appello (per esempio se l'appello è fissato per martedì 22, le iscrizioni andrebbero fatte entro la sera di giovedì 17).
Non ci sono soglie di ammissione all'orale, tuttavia l'andamento dello scritto influenzerà il voto finale.
Queste regole si riferiscono a prima dell'emergenza Covid e potrebbero essere modificate a seconda della situazione sanitaria che si verificherà alla data dell'appello.