Programma (aggiornato al 17/1/20)

1. Insiemi numerici - N, Z, Q, R: proprieta` algebriche.
2. Numeri reali - Ordinamento. Insieme limitato superiormente (inferiormente). Maggiorante, minorante, massimo, minimo, estremo superiore ed estremo inferiore. Assioma di completezza in R. Radici n-sime aritmetiche. Potenze con esponente reale. Valore assoluto.
   
3. Numeri complessi - Definizione di somma e prodotto. Forma algebrica. Piano di Gauss. Modulo di un numero complesso e sue proprieta`. Forma trigonometrica e forma esponenziale. Formule di De Moivre. Radici n-sime. Teorema fondamentale dell'algebra.
4. Funzioni - Funzione reale di variabile reale, dominio, codominio, immagine, grafico. Funzioni limitate, simmetriche, monotone, periodiche. Funzioni elementari e loro grafici:funzioni potenza, esponenziali, logaritmiche, trigonometriche, iperboliche. Operazioni sui grafici. Funzioni composte. Funzioni invertibili. Funzione inversa. Funzioni trigonometriche inverse. Funzioni iperboliche inverse.
5. Successioni - Definizione di successione. Successioni convergenti e unicita` del limite (*). Successioni divergenti, indeterminate. Esempi notevoli {n^a}, {qⁿ}. Teorema sulle successioni monotone (*). Algebra dei limiti. Teorema della permanenza del segno. Teoremi di confronto. Aritmetizzazione di ∞. Forme indeterminate. Limite notevole lim_n (1+1/n)ⁿ = e (*). Ordine di infinito e infinitesimo. Criterio del rapporto. Gerarchia degli infiniti. Studio delle successioni {sin(n)} e {cos(n)}.
6. Limiti di funzioni - Definizione successionale di limite. Asintoti orizzontale, obliquo e verticale. Definizione di funzione continua in un punto. Limite destro e sinistro. Punto di discontinuita` a salto. Esempi di non esistenza del limite. Intorni. Definizione topologica di limite. Unicita` del limite. Teorema della permanenza del segno. Teoremi di confronto. Algebra dei limiti e algebra delle funzioni continue. Continuita` della funzione composta. Limiti notevoli. Stime asintotiche. Gerarchia degli infiniti. Prolungamento continuo. Teorema degli zeri (*) e algoritmo di bisezione. Teorema di Weiestrass. Teorema dei valori intermedi. Limiti delle funzioni monotone. Continuita` e invertibilita`.
7. Serie numeriche - Definizione di serie numerica. Somme parziali e carattere di una serie (convergente, divergente, indeterminata). Serie geometrica (*). Serie telescopiche. Condizione necessaria di convergenza. Serie a termini positivi. Criteri del confronto e del confronto asintotico. Criterio della radice. Criterio del rapporto. Convergenza assoluta. Criterio di Leibniz. Proprieta` associativa e commutativa per le serie (cenni).
8. Derivate - Definizione di funzione derivabile in un punto. Significato geometrico della derivata prima. Derivate delle funzioni elementari. Punti di non derivabilita`: punti angolosi, punti a tangente verticale e cuspidi. Algebra delle derivate. Derivabilita` e continuita`. Derivazione della funzione composta e della funzione inversa. Teorema di Fermat (*). Punti stazionari. Massimi e minimi locali. Teorema di Lagrange e sue applicazioni. Test di monotonia (*). Limite della derivata e derivabilita`. Teorema di de l'Hopital. Funzioni convesse e concave: definizioni, proprieta` e caratterizzazione tramite le derivate. Polinomi di Taylor e formula di Taylor con resto in forma di Peano e in forma di Lagrange. Sviluppi di MacLaurin notevoli. Formula di Taylor con resto in forma di Lagrange.
9. Calcolo integrale - Somme di Cauchy-Riemann e integrale secondo Riemann di una funzione limitata in [a,b]. Interpretazione geometrica dell'integrale. Classi di funzioni integrabili. Esempio di funzione non integrabile. Teorema della media integrale (*). Primitiva di una funzione e teorema fondamentale del calcolo integrale (*). Metodo di sostituzione e metodo di integrazione per parti. Integrazione di funzioni elementari. Funzioni integrali e secondo teorema fondamentale del calcolo integrale. Formula per la lunghezza del grafico di una funzione (*). Integrali generalizzati: definizione e criteri di convergenza (del confronto, del confronto asintotico, di convergenza assoluta). Criterio integrale per serie numeriche.
   
10. Equazioni differenziali ordinarie - Equazioni del primo ordine lineari e loro integrazione. Equazioni del secondo ordine lineari: struttura dell'integrale generale dell'equazione omogenea e dell'equazione completa. Problema di Cauchy per un'equazione lineare del primo/secondo ordine. Determinazione dell'integrale generale di un'equazione lineare del secondo ordine omogenea a coefficienti costanti. Determinazione di un integrale particolare di un'equazione lineare del secondo ordine completa con coefficienti costanti con il metodo di somiglianza. Determinazione di un integrale particolare di un'equazione lineare del secondo ordine completa con coefficienti variabili con il metodo di variazione delle costanti. Oscillazioni libere, smorzate, forzate (risonanza).