Algebra lineare - anno 2013-14
- Prova scritta del 27-1-2014: Testo e soluzioni | Esito della prova e calendario degli orali
- Prova scritta del 20-2-2014: Testo A con soluzioni | Testo B con soluzioni | Esito della prova e calendario degli orali
- Prova scritta del 16-6-2014: Testo e soluzioni | Esito della prova e calendario degli orali
- Prova scritta del 25-9-2014: Testo e soluzioni | Esito della prova e calendario degli orali

- Descrizione:
Il corso fornirsce le nozioni elementari di algebra lineare con lo scopo di introdurre lo studente al linguaggio dei vettori e delle matrici, con applicazioni ai sistemi lineari e alla geometria analitica

- Programma di massima del corso:
- Vettori geometrici e riferimenti
- Spazi vettoriali, generatori, dipendenza lineare, basi
- Sistemi lineari: metodi di riduzione
- Matrici; rango di una matrice
- Determinanti
- Problemi lineari e applicazioni lineari
- Coordinate e cambiamento di coordinate
- Operatori; autovalori e autovettori; diagonalizzazione
- Rette e piani nello spazio, esempi di curve e superficie (coniche, coni e cilindri)
- Forme bilineari e prodotti scalari

- Programma dettagliato del corso: si veda il Diario del corso e le Parti dei testi illustrate nelle lezioni.

- testi:
- E. Sernesi, Geometria 1, Bollati Boringhieri
- S. Lang, Algebra Lineare, Bollati Boringhieri

- note:
- G.P. Pirola, Dispense di algebra lineare
- Note di algebra lineare

- Esercizi assortiti:
- Esercizi 1
- Esercizi 2
- Esercizi 3
- Esercizi 4
- Esercizi 5
- Esercizi 6
- Esercizi 7
- Esercizi 8
- Esercizi 9
- Esercizi 10
- Esercizi 11
- Esercizi 12

- Prove di esame 2011-12 e 2012-13

- Prove di esame 2010-2011 con soluzioni:
- Prova scritta del 8-2-2011 - Testo e soluzioni: Testo A, Testo B
- Prova scritta del 22-2-2011 - Testo e soluzioni: Testo A, Testo B
- Prova scritta del 4-7-2011 - Testo e soluzioni
- Prova scritta del 21-9-2011 - Testo e soluzioni: Testo A, Testo B

- Diario del corso:

1 (2/10/2013): Introduzione al corso. La nozione di insieme. Appartenenza e inclusione. Uguaglianza tra insiemi. Operazioni su insiemi: unione e intersezione. Associatività di unione e intersezione; distributività di ognuna rispetto all'altra.

2 (2/10/2013): Operazioni su insiemi: complementazione. Formule di de Morgan. Esempi. La nozione di funzione. Dominio e codominio.

3 (3/10/2013): Esempi di applicazioni. Applicazioni iniettive, suriettive e biunivoche. Composizione di applicazioni. Restrizione di una applicazione. Coordinate cartesiane nel piano come applicazione biunivoca.

4 (3/10/2013): Regola del parallelogramma. Somma e prodotto per scalari in \(\mathbb{R}^n\). Le coordinate cartesiane rispettano somma e prodotto per scalari. Struttura di spazio vettoriale reale su \(\mathbb{R}^n\).

5 (8/10/2013): Immagine e immagine inversa. Immagine e immagine inversa di una unione e di una intersezione. Associatività della composizione di applicazioni. Insiemi indicizzati, coppie, terne, \(n\)-uple ordinate. Unioni e intersezioni infinite.

6 (9/10/2013): Proprietà delle unioni e intersezioni infinite; legge di De Morgan. Prodotti di famiglie di insiemi. Assioma della scelta.

7 (9/10/2013): Ancora sulla nozione di coppia ordinata. La nozione di campo. Esempi: razionali. reali, complessi, campo con due elementi. Conseguenze degli assiomi di campo: cancellazione, unicità e altre proprietà di \(0\) e \(1\). Gli interi. Divisione con resto di interi. Massimo comun divisore. Massimo comun divisore di due interi come minima cambinazione lineare non nulla degli stessi.

8 (14/10/2013): La nozione di spazio vettoriale. Conseguenze elementari degli assiomi: cancellazione, unicità di \(0\) e dell'inverso additivo. Altre proprietà di \(0\). Esempi di spazi vettoriali: piano euclideo con origine fissata, \(K^n\), \(K^X\) dove \(X\) è un insieme, spazi di funzioni continue, spazi di polinomi.
Testi: Lang § 8.

9 (14/10/2013): Sottospazi vettoriali. Criterio per decidere se un sottoinsieme è un sottospazio. Combinazioni lineari. Una combinazione lineare di combinazioni lineari è una combinazione lineare. Generatori di uno spazio vettoriale. Spazi vettoriali di dimensione finita e non.
Testi: Lang § 8 e 9.

10 (16/10/2013): Combinazioni lineari di un insieme qualsiasi di vettori. Sottospazio generato da un sottoinsieme di uno spazio vettoriale. Dipendenza lineare.
Testi: Lang § 9.

11 (16/10/2013): Esempi. Dipendenza lineare nel piano e nello spazio euclidei. Sottospazi del piano e nello spazio euclidei e loro generatori.

12 (22/10/2013): La nozione di base di uno spazio vettoriale. Ogni spazio vettoriale di dimensione finita ha una base, anzi ogni suo sistema di generatori contiene una base. In uno spazio vettoriale di dimensione finita il numero massimo di elementi indipendenti non supera il numero di elementi di un qualsiasi sistema di generatori. Due basi di uno stesso spazio vettoriale di dimensione finita contengono lo stesso numero di elementi.
Testi: Lang § 10, Note di Algebra Lineare 1.

13 (23/10/2013): Dimensione di uno spazio vettoriale. Esempi di basi. Base canonica di \(K^n\). Ogni sistema di vettori indipendenti può essere ampliato a una base. In uno spazio \(V\) di dimensione \(n\) un insieme di \(n\) vettori costituisce una base se e solo se genera \(V\) (se e solo se è indipendente).
Testi: Lang § 10, Note di Algebra Lineare 1.

14 (23/10/2013): Come decidere se un sistema di vettori è una base. Esercizi. Operazioni su sottospazi: intersezione e somma. Formula di Grassmann. Esempi.
Testi: Note di Algebra Lineare 1, Lang § 11.

15 (24/10/2013): Ancora sulla formula di Grassmann. Verifiche della formula di Grassmann in \(\mathbb R^4\): calcolo esplicito di intersezioni e somme di piano e retta o di due piani.

16 (24/10/2013): Esempi di calcolo di intersezioni e somme di due piani in \(\mathbb R^4\). Applicazioni lineari. Isomorfismi di spazi vettoriali. La composizione di applicazioni lineari è lineare. Esempi: coordinate cartesiane, valutazione di funzioni.
Testi: Lang § 17 e 20.

17 (29/10/2013): Isomorfismo tra uno spazio vettoriale di dimensione \(n\) sul campo \(K\) e \(K^n\) dato dalla scelta di una base. Inversa di una applicazione biunivoca. Inversa di un isomorfismo di spazi vettoriali.

18 (30/10/2013): Linearità dell'inversa di un isomorfismo di spazi vettoriali. Nucleo e immagine di una applicazione lineare. Criterio di iniettività per applicazioni lineari.
Testi: Lang § 18.

19 (30/10/2013): La dimensione del dominio di una applicazione lineare è uguale alla somma delle dimensioni di nucleo e immagine.
Testi: Lang § 19.

20 (5/11/2013): Dare una applicazione lineare equivale a assegnare le immagini degli elementi di una base del dominio. Matrice associata a una applicazione lineare. Esempi.
Testi: Lang § 17 e 22.

21 (6/11/2013): Somma e moltiplicazione per scalari di applicazioni lineari e matrici. Lo spazio vettoriale delle applicazioni lineari tra due spazi vettoriali fissati di dimensioni \(n\) e \(m\) e quello delle matrici \(m\times n\). Isomorfismo tra i due dato da una scelta di basi.
Testi: Lang § 12, 17, 21 e 22.

22 (6/11/2013): Moltiplicazione di matrici; relazione con la composizione di applicazioni lineari. Esempi. Proprietą formali delle operazioni su applicazioni lineari e su matrici.
Testi: Lang § 14, 22 e 23.

23 (7/11/2013): Ancora sulla corrispondenza tra applicazioni lineari e matrici. Rango di una applicazione lineare e di una matrice. Trasposta di una matrice. Proprietà formali della trasposizione. Duale di uno spazio vettoriale e sua dimensione. Ortogonale di un sottospazio.
Testi: Note di algebra lineare 12, Lang § 12, 14 e 23.

24 (7/11/2013): Se \(W\) è un sottospazio di \(V\) allora \(\dim V=\dim W+\dim W^\perp\). Il rango di una matrice è uguale a quello della sua trasposta.
Testi: Note di algebra lineare 12.

25 (13/11/2013): Ancora sul rango per righe e per colonne. Cambiamenti di base e relative matrici. Esempi.
Testi: Note di algebra lineare 12, Lang § 23.

26 (13/11/2013): Moltiplicazione a blocchi di matrici. Sistemi di equazioni lineari. Teorema di Rouché-Capelli.
Testi: Note di algebra lineare 14 e 11.

27 (14/11/2013): Ancora sul teorema di Rouché-Capelli. Eliminazione Gaussiana. Operazioni elementari per righe. Esempi.
Testi: Note di algebra lineare 4 e 11.

28 (14/11/2013): Riduzione di una matrice a row-echelon form tramite operazioni elementari per righe. Invarianza del rango per operazioni elementari per righe. Inversa di una matrice. Inversa di un prodotto di matrici.
Testi: Note di algebra lineare 4.

29 (19/11/2013): Ancora sull'inversa di una matrice. Rango di un prodotto di matrici. Ogni operazione elementare per righe può essere realizzata moltiplicando a sinistra per una opportuna matrice quadrata. Calcolo dell'inversa di una matrice tramite operazioni elementari per righe.
Testi: Note di algebra lineare 4 e 12.

30 (20/11/2013): Ancora sul calcolo dell'inversa di una matrice tramite operazioni elementari per righe; esempi e esercizi.
Testi: Note di algebra lineare 4.

31 (20/11/2013): Definizione assiomatica del determinante. Unicità del determinante. Determinante delle matrici \(2\times 2\).
Testi: Lang § 24 e 25.

32 (21/11/2013): Ancora sull'unicità del determinante. Permutazioni. Esistenza del determinante.
Testi: Lang § 27, 28 e 29.

33 (21/11/2013): Formula di Laplace per righe. Segno di una permutazione; il segno di un prodotto è il prodotto dei segni dei fattori. Teorema di Binet. Il determinante di una matrice è nullo se e solo se la matrice non ha rango massimo.
Testi: Lang § 28, 29 e 31.

34 (27/11/2013): Il determinante di una matrice è uguale a quello della trasposta. Effetto delle operazioni elementari per riga e per colonna sul determinante. Esempi di calcolo di determinanti.
Testi: Lang § 30.

35 (27/11/2013): Determinante di una matrice triangolare e triangolare a blocchi. Regola di Laplace per colonne. Regola di Cramer.
Testi: Note di algebra lineare 14, Lang § 30 e 32.

36 (28/11/2013): Inversa di una matrice con la regola di Cramer. Risoluzione di sistemi con la regola di Cramer. Esempi pratici. Paragone con l'eliminazione gaussiana
Testi: Lang § 26 e 32.

37 (28/11/2013): Determinante di un endomorfismo. Similitudine di matrici. Autovalori, autovettori, autospazi. Matrici e endomorfismi diagonalizzabili.
Testi: Lang § 33, 23 e 47.

38 (3/12/2013): Esempi pratici di calcolo di autovalori e autovettori. Esempi di matrici diagonalizzabili, non diagonalizzabili, diagonalizzabili su \(\mathbb{C}\) ma non su \(\mathbb{R}\)
Testi: Lang § 47.

39 (4/12/2013): Polinomio caratteristico di una matrice. Traccia di una matrice. Generalità sui polinomi.
Testi: Lang § 45 e 48.

40 (4/12/2013): Grado di un polinomio. Grado di un prodotto. Divisione con resto di polinomi. Regola di Ruffini. Un polinomio di grado \(n\) ha al più \(n\) radici. Molteplicità di una radice. Molteplicità di un autovalore.
Testi: Lang § 45, note di algebra lineare 13.

41 (5/12/2013): Matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico; polinomio caratteristico di un endomorfismo. La dimensione di un autospazio non supera la molteplicità dell'autovalore. Autovettori relativi a autovalori distinti sono indipendenti. Criteri di diagonalizzabilità.
Testi: Note di algebra lineare 13, Lang § 47, 48.

42 (5/12/2013): Esercizi sulla diagonalizzazione di matrici complesse. Ogni matrice complessa è simile a una matrice triangolare.
Testi: Lang § 49.

43 (12/12/2013): Esercizi sul calcolo di autovalori e autovettori e diagonalizzazione.

44 (12/12/2013): Esercizi sul calcolo di autovalori e autovettori, diagonalizzazione e triangolarizzazione.
Altri esercizi proposti

45 (17/12/2013): Polinomi in una matrice. Teorema di Cayley-Hamilton. Polinomio minimo. Ogni polinomio che si annulla su una matrice è divisibile per il polinomio minimo.
Testi: Note 5 fino alla proposizione 5.3 esclusa, Lang § 46 e 50.

46 (18/12/2013): Ogni autovalore è radice del polinomio minimo. Una matrice è diagonalizzabile se e solo se il suo polinomio minimo non ha radici multiple.
Testi: Note di algebra lineare 13 (nuova versione),

47 (18/12/2013): Esercizi sui criteri di diagonalizzabilità. Una matrice è diagonalizzabile se e solo se annulla un polinomio privo di radici multiple. Un polinomio ha radici multiple se e solo se ha radici in comune con la sua derivata. Esempi. Forme bilineari e loro matrici.
Testi: Note di algebra lineare 13 (nuova versione) e 15,

48 (19/12/2013): La traccia è la somma degli autovalori, il determinante è il prodotto degli autovalori. Effetto del cambio di base sulla matrice di uaa forma bilineare. Forme simmetriche. Forme quadratiche; polarizzazione. Riduzione a forma diagonale di forme quadratiche reali.
Testi: Lang § 39, 40, 36 teorema 5, note di algebra lineare 15.

49 (19/12/2013): Forme definite e semidefinite positive. Prodotti scalari su spazi vettoriali reali. Prodotto scalare standard su \(\mathbb{R}^n\). Disuguaglianza di Schwarz e disuguaglianza triangolare.
Testi: Lang § 34, 35, note di algebra lineare 15.

50 (8/1/2014): Spazi vettoriali reali con prodotto scalare. Basi ortogonali e ortonormali. Esistenza di basi ortonormali. Teorema di rappresentazione di Riesz. Aggiunta di una applicazione lineare. Matrice dell'aggiunta
Testi: Lang § 33, 37, 41.

51 (8/1/2014): Teorema spettrale reale. Formulazione matriciale del teorema spettrale.
Testi: Lang § 52, 53.

52 (9/1/2014): Esercizi sulla diagonalizzazione di matrici simmetriche.
Esercizi proposti

53 (9/1/2014): Esercizi sulla diagonalizzazione di matrici simmetriche. Procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt.
Testi: Lang § 35.

54 (14/1/2014): Determinante di una matrice ortogonale. Coefficienti di Fourier. Esercizi sul procedimento di Gram-Schmidt. Esercizi su forme quadratiche e bilineari.
Testi: Lang § 35.

55 (14/1/2014): Esercizi sul procedimento di Gram-Schmidt. Forme quadratiche degeneri e non. Rango di una forma quadratica.
Testi: Note di algebra lineare 15.

56 (14/1/2014): Segnatura di una forma quadratica reale. Legge di inerzia di Sylvester. Esercizi sulle forme quadratiche reali.
Testi: Note di algebra lineare 15.
Esercizi proposti