Algebra lineare - anno 2013-14

Per ognuna delle seguenti forme quadratiche su \(\mathbb R^4\) calcolare rango, nullità e segnatura; dire anche quali tra queste forme sono semidefinite o definite positive o negative. \[ 2x_1^2+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_1x_4+2x_2^2+2x_2x_3+2x_2x_4+2x_3^2+2x_3x_4+2x_4^2 \] Risposta: rango 4, nullità 0, segnatura \(4\), definita positiva \[ x_1^2-2x_1x_2+2x_1x_3-2x_1x_4+x_2^2+4x_2x_3+2x_2x_4-2x_3x_4+x_4^2 \] Risposta: rango 3, nullità 1, segnatura \(-1\), non semidefinita \[ x_1^2+2x_1x_2+2x_1x_4+2x_2^2+2x_2x_3-4x_2x_4-x_3^2-2x_3x_4-2x_4^2 \] Risposta: rango 4, nullità 0, segnatura \(0\), non semidefinita \[ 3x_1^2-2x_1x_2+2x_1x_3+2x_1x_4+2x_2^2+2x_2x_3-6x_2x_4+2x_3^2-6x_3x_4+7x_4^2 \] Risposta: rango 3, nullità 1, segnatura \(3\), semidefinita positiva, non definita \[ 6x_1^2+10x_1x_2+8x_1x_3+6x_1x_4+4x_2^2+6x_2x_3+4x_2x_4+2x_3^2+2x_3x_4 \] Risposta: rango 2, nullità 2, segnatura \(0\), non semidefinita \[ 2x_1^2+2x_1x_2+2x_2^2+2x_2x_3+2x_3^2+2x_3x_4+x_4^2 \] Risposta: rango 4, nullità 0, segnatura \(4\), definita positiva \[ x_1^2+2x_1x_2+x_2^2+2x_2x_3+x_3^2+2x_3x_4+x_4^2 \] Risposta: rango 4, nullità 0, segnatura \(2\), non semidefinita