Algebra lineare - anno 2013-14
Per ognuna delle seguenti matrici reali simmetriche \(A\) trovare una matrice ortogonale \(M\) tale che \(\phantom{.}^tMAM\) sia diagonale (possibili risposte a lato):
\[
A=\begin{pmatrix}
1&1&-1\\
1&1&2\\
-1&2&1
\end{pmatrix}
\qquad\text{risposta: }
M=\begin{pmatrix}
0&\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{2}\sqrt{3+\sqrt{3}}}&\frac{1-\sqrt{3}}{\sqrt{2}\sqrt{3+\sqrt{3}}}\\
\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}\sqrt{3+\sqrt{3}}}&\frac{1}{\sqrt{2}\sqrt{3-\sqrt{3}}}\\
\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{-1}{\sqrt{2}\sqrt{3+\sqrt{3}}}&\frac{-1}{\sqrt{2}\sqrt{3-\sqrt{3}}}
\end{pmatrix}
\ ,\quad
\phantom{.}^tMAM=\begin{pmatrix}
3&0&0\\
0&\sqrt{3}&0\\
0&0&-\sqrt{3}
\end{pmatrix}
\]
\[
A=\begin{pmatrix}
0&-\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\\
-\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\
\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}
\end{pmatrix}
\qquad\text{risposta: }
M=\begin{pmatrix}
0&\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\\
\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{-1}{2}&\frac{1}{2}\\
\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{2}&\frac{-1}{2}
\end{pmatrix}
\ ,\quad
\phantom{.}^tMAM=\begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&-1
\end{pmatrix}
\]
\[
A=\begin{pmatrix}
-1&\frac{3}{2}&\frac{1}{2}\sqrt {3}\\
\frac{3}{2}&\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\sqrt {3}\\
\frac{1}{2}\sqrt{3}&\frac{3}{4}\sqrt{3}&\frac{-5}{4}
\end{pmatrix}
\qquad\text{risposta: }
M=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2}&\frac{3}{\sqrt{13}}&\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{13}}\\
\frac{3}{4}&\frac{-2}{\sqrt{13}}&\frac{3\sqrt{3}}{4\sqrt{13}}\\
\frac{\sqrt{3}}{4}&0&\frac{-\sqrt{13}}{4}
\end{pmatrix}
\ ,\quad
\phantom{.}^tMAM=\begin{pmatrix}
2&0&0\\
0&-2&0\\
0&0&-2
\end{pmatrix}
\]