IN EVIDENZA:

Appello del 10/7: gli studenti che devono ancora sostenere l'orale sono convocati per il 26/7 alle ore 9.30 presso il Dipartimento di Matematica. L'aula per gli esami orali sarà fissata al momento.

Appelli d'esame: per gli appelli delle sessioni estiva ed autunnale 2013 sono state fissate le seguenti date: 13/6, 10/7, 18/9. In tutti i casi la prova scritta avrà luogo in aula A101, con inizio alle ore 9.30. Per quanto riguarda l'appello del 13/6, se dovessero esserci problemi di sovrapposizione con corsi non ancora terminati, sono disponibile a spostare la data più avanti (per esempio al 20/6).

Contatti:

• Giulio Schimperna (lezioni): homepage, 0382/985654 (telefono), e-mail.
• Francesco Matticchio (esercitazioni): 0382/985610 (telefono), e-mail.

Orario delle lezioni (da dicembre 2012):

• Martedì, 11.15-13
• Mercoledì, 12.15-13.

Si prevede che le lezioni possano terminare entro la fine del mese di dicembre 2012. A gennaio 2013 potranno essere previste esercitazioni aggiuntive.

Testi di riferimento:

N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone, "Analisi Matematica due", Liguori Editore (FMS).

G. Gilardi, "Analisi Matematica di Base", McGraw-Hill Italia (GGbase).

G. Gilardi, "Analisi 2", McGraw-Hill Italia (GG2).

E. Giusti, "Analisi Matematica due", Bollati-Boringhieri (Giusti).

Calendario delle lezioni e riassunto degli argomenti trattati:

1. 02/10/12. Presentazione del corso e descrizione del programma. Convergenza puntuale e convergenza uniforme. Rapporti tra convergenza puntuale, convergenza uniforme e continuità. Norme e spazi di Banach. Completezza dello spazio delle funzioni continue su un compatto rispetto alla norma della convergenza uniforme (FMS, pp. 13-17 e 19).
2. 03/10/12 (un'ora). Rapporti tra convergenza uniforme, derivazione e integrazione. Definizione di serie di funzioni (FMS, pp. 19-24).
3. 04/10/12. Convergenza totale. Criterio della convergenza totale. Esercizi. Convergenza uniforme sui compatti. Serie di potenze, definizione del raggio di convergenza (FMS, pp. 30-36).
4. 09/10/12. Caratterizzazione del raggio di convergenza. Comportamento delle serie di potenze sul bordo del cerchio di convergenza. Convergenza totale e uniforme delle serie di potenze. Richiami sul massimo limite. Determinazione del raggio di convergenza a partire dalla successione dei coefficienti (FMS, pp. 36-40 e appunti).
5. 10/10/12 (un'ora). Derivazione e integrazione delle serie di potenze. Serie di Taylor. Rapporto tra una funzione e la sua serie di Taylor. Funzione "ultrapiatta" (FMS, pp. 42-46).
6. 11/10/12. Funzioni analitiche e condizioni (necessarie e) sufficienti per l'analiticità (FMS, Teorema 1, pp. 44-45). Svolgimento di esercizi su serie di funzioni e serie di potenze.
7. 16/10/12. Introduzione alle serie di Fourier. Determinazione dei coefficienti. Enunciato dei risultati principali della teoria. Disuguaglianza di Bessel e considerazioni di tipo geometrico. Un lemma tecnico (FMS, pp. 51-59).
8. 17/10/12 (un'ora). Dimostrazione del teorema di convergenza puntuale per le serie di Fourier. Legame tra i coefficienti di Fourier di una funzione regolare e quelli della sua derivata (FMS, pp. 60-62).
9. 18/10/12. Convergenza uniforme delle serie di Fourier; integrazione delle serie di Fourier (FMS, pp. 63-64). Esercizi ed applicazioni (in particolare, convergenza uniforme delle serie di Fourier negli intervalli di continuità (Giusti, pp. 66-67), uguaglianza di Parseval (solo cenni di dimostrazione; appunti)).
10. 23/10/12. Un ulteriore esercizio sulle serie di Fourier. Curve in R^M. Lunghezza di una curva. Curve equivalenti. Integrali su curve. Curve in R² che sono grafici di una funzione di una variabile (Giusti, pp. 275-288 oppure FMS, pp. 311-329).
11. 24/10/12 (un'ora). Lunghezza d'arco. Curvatura di una curva in R². Curvatura e torsione di una curva in R³. Formule di Frenet (FMS, pp. 329-345).
12. 25/10/12. Superficie in R³. Area di una superficie, integrali superficiali, riparametrizzazioni. Piano tangente e vettore normale. Cenni alla situazione in dimensioni superiori (Giusti, pp. 290-298 oppure FMS, pp. 545-569).
13. 30/10/12. Esercizi su curve e superfici. Teorema delle funzioni implicite: enunciato e osservazioni.
14. 31/10/12 (un'ora). Teorema delle funzioni implicite: dimostrazione in dimensione 2; ulteriori osservazioni (Giusti, pp. 302-305 oppure FMS, pp. 591-599).
15. 06/11/12. Teorema delle funzioni implicite: enunciato nel caso generale. Considerazioni geometriche: spazio tangente e spazio normale alla superficie definita implicitamente. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange (Giusti, pp. 308-312 e par. VII.7, oppure FMS, pp. 607-611 e par. 104).
16. 07/11/12 (un'ora). Esercizi su funzioni implicite e moltiplicatori di Lagrange.
17. 08/11/12. Teorema della funzione inversa. Applicazione: ogni superficie è localmente un grafico (Giusti, pp. 316-317, oppure FMS, pp. 616-618). Introduzione alle forme differenziali; integrale di una forma differenziale lungo un cammino (Giusti, par. VIII.1, oppure FMS, pp. 347-352).
18. 13/11/12. Teorema di caratterizzazione delle forme differenziali esatte a coefficienti C⁰. Forme differenziali chiuse. Aperti stellati. Lemma di Poincaré (Giusti, par. VIII.2, oppure FMS, par. 70 e Teorema 3 p. 367).
19. 14/11/12 (un'ora). Ulteriori osservazioni sulle forme differenziali chiuse. Omotopie. Aperti semplicemente connessi (GG2, par. XIII.7, oppure FMS, par. 73).
20. 15/11/12. Esercizi sulle forme differenziali. Introduzione al teorema della divergenza e schema della dimostrazione.
21. 20/11/12 (esercitazione). Esercizi su funzioni implicite, estremi vincolati, forme differenziali.
22. 21/11/12 (un'ora). Dimostrazione del teorema della divergenza (prima parte).
23. 27/11/12. Dimostrazione del teorema della divergenza (conclusione). Conseguenze del teorema della divergenza. Teorema di Stokes (Giusti, parr. VIII.4-5, oppure FMS, par. 100).
24. 28/11/12 (un'ora). Ulteriori considerazioni sul rotore e sulla formula di Stokes. Esercizi.
25. 29/11/12. Introduzione alla teoria della misura e dell'integrazione secondo Lebesgue; considerazioni generali e "storiche". Spazi di misura. Proprietà della misura degli insiemi elementari: σ-additività (GGbase, par. 11.1 (edizione 2001)).
26. 04/12/12. Misura esterna e sue proprietà. Insiemi trascurabili. Costruzione dell'insieme di Cantor. Definizione di integrale secondo Lebesgue. Cenni sulla giustificazione della definizione. Passaggio al limite sotto integrale: enunciato del teorema di Beppo Levi (GGbase, fino a p. 325 (edizione 2001), saltando le dimostrazioni non fatte a lezione).
27. 05/12/12 (un'ora). Dimostrazione del teorema di Beppo Levi. Lemma di Fatou. Enunciato del teorema della convergenza dominata di Lebesgue (GGbase, fino a p. 328 (edizione 2001) e appunti).
28. 11/12/12. Dimostrazione del teorema di Lebesgue. Funzioni misurabili, integrabili, sommabili. Trattazione degli infiniti. Enunciati dei teoremi di Beppo Levi e Fatou nella versione "estesa". Alcuni esercizi (GGbase, par. 11.6 e Oss. 11.8.7 (edizione 2001). Appunti).
29. 12/12/12 (un'ora). Misura di Lebesgue e sue proprietà (σ-additività, continuità). Per funzioni integrabili secondo Riemann, l'integrale di Riemann e quello secondo Lebesgue coincidono(GGbase, pp. 333-334; Teoremi 11.7.16, 11.8.1, 11.8.2, 11.8.3, 11.8.4 (edizione 2001). Appunti).
30. 18/12/12 (esercitazione). Esercizi sul passaggio al limite sotto il segno di integrale.
31. 19/12/12 (un'ora). Ulteriori considerazioni sulla misura di Lebesgue e sugli integrali su insiemi non limitati. Esercizi.
32. 08/01/13 (esercitazione). Esercizi in preparazione alla prova d'esame.
33. 10/01/13 (esercitazione). Esercizi in preparazione alla prova d'esame.

Modalità e argomenti d'esame:

L'esame si svolgerà in forma scritta e orale.

Di regola lo scritto comprenderà 2 esercizi, eventualmente divisi in più domande. La durata della prova scritta potrà variare di appello in appello, a seconda della "lunghezza" degli esercizi, ma sarà in genere compresa tra i 90 e i 120 minuti.

Subito dopo la fine dello scritto si svolgerà una correzione alla lavagna dello stesso. Salvo diversa comunicazione, gli orali inizieranno immediatamente dopo. È in ogni caso possibile, previo accordi col docente, posticipare l'orale.

Temi d'esame assegnati in anni precedenti:

• Tema d'esame del 20/01/09;
• Tema d'esame del 13/02/09;
• Tema d'esame del 16/06/09;
• Tema d'esame del 16/07/09;
• Tema d'esame del 16/09/09;
• Tema d'esame del 18/01/10;
• Tema d'esame del 16/02/10;
• Tema d'esame del 14/07/10;
• Tema d'esame del 09/09/10;
• Tema d'esame del 18/01/11;
• Tema d'esame del 11/02/11;
• Tema d'esame del 15/06/11;
• Tema d'esame del 13/07/11;
• Tema d'esame del 13/09/11.

Ulteriori temi d'esame si possono trovare sulla pagina web dello scorso anno curata dal Prof. Pierluigi Colli.

Altro materiale disponibile:

Dispensa sulle forme differenziali, scritta da Gianni Gilardi.

Dispensa sulle serie di Fourier, scritta da Gianni Arrigo Pozzi.

Dispensa su curve, superfici e integrale di Lebesgue.

Una raccolta di vecchi temi d'esame, preparati prevalentemente da Daniele Boffi, è disponibile a questo indirizzo.