Analisi Funzionale

IN EVIDENZA:

Prova scritta.. Sono disponibili le soluzioni degli esercizi.
Orali.Chi volesse sostenere l'orale, o semplicemente vedere il compito, può presentarsi lunedì 30/1 alle ore 9.30 in aula E10. Sono disponibile per esami orali per l'intera mattinata di lunedì. Naturalmente chi volesse sostenere l'esame più avanti non deve necessariamente venire lunedì, ma può anche contattarmi per email in modo da concordare una data.

Orario delle lezioni:
Lunedì 14-15.45
Mercoledì, 16-17.45
Venerdì, 14-15.45
N.B. (1): le lezioni cominceranno sempre alle 14 o alle 16 precise
N.B. (2): le lezioni "aggiuntive" del giovedì si terranno in linea di massima seguendo il calendario riportato qui sotto.

Appelli d'esame. Si ricorda che le date degli appelli riportate sull'area riservata di Ateneo sono puramente indicative, con l'unica eccezione della data corrispondente alla prova scritta. Gli studenti che volessero sostenere l'esame sono dunque invitati a prendere accordi direttamente col docente. È possibile (sebbene non sia consigliato...) sostenere l'esame anche al di fuori delle sessioni ufficiali (ovvero durante il periodo di svolgimento dei corsi). Chi volesse sostenere l'esame è comunque invitato ad iscriversi ad uno degli appelli riportati sull'area riservata, in modo da rendere possibile la registrazione del voto.

Settimana 1
2. 03/10/16. Introduzione al corso. Spazi metrici, normati, Banach. Esempi di spazi completi e non completi. Operatori e funzionali lineari (appunti).
4. 05/10/16. Operatori lineari e continui. Norma dello spazio degli operatori lineari e continui. Funzionali. Spazio duale. Prodotti scalari. Spazi prehilbertiani e di Hilbert. Disuguaglianza di Schwarz (appunti; vedi anche le note).
6. 06/10/16. Relazione del parallelogrammo. Equivalenza di norme in dimensione finita. Lemma di Zorn. Esistenza di una base algebrica di ogni spazio vettoriale di dimensione infinita. Costruzione di un funzionale lineare non continuo su uno spazio normato di dimensione infinita. Richiami di teoria della misura. (appunti).
8. 07/10/16. Definizione di L^p e sue proprietà elementari. Disuguaglianze di Schwarz, Hölder, Minkowski. Completezza di L^p (Brezis, cap. 4).
   
   Settimana 2
10. 10/10/16. Teorema di Hahn-Banach; caso reale (Brezis, cap. 1) e caso complesso (appunti, libro di Gilardi). Corollari importanti al teorema; mappa di dualità.
12. 12/10/16. Considerazioni sulla mappa di dualità. Per ogni coppia di esponenti coniugati q e p, L^q si immerge isometricamente nel duale di L^p. Mappa di dualità nell'ambito degli spazi L^p (Brezis, cap. 4 e appunti).
14. 14/10/16. Funzionale di Minkowski e sue proprietà (Brezis, cap. 1 e appunti). Prima forma geometrica del teorema di Hahn-Banach e dimostrazione (Brezis, cap. 1).
    
    Settimana 3
16. 17/10/16. Seconda forma geometrica del teorema di Hahn-Banach e dimostrazione. Caratterizzazione dei sottospazi densi (Brezis, cap. 1). Funzioni convesse, semicontinue inferiormente e sequenzialmente semicontinue inferiormente. Caratterizzazioni della semicontinuità inferiore. Epigrafico e insiemi di sottolivello di funzioni convesse e sci (Brezis, cap. 1 e appunti).
18. 19/10/16. Funzioni sci e punti di minimo (appunti). Funzione convessa coniugata. La coniugata di una funzione convessa, sci e propria è anch'essa convessa, sci e propria. Biconiugata. Teorema di Fénchel-Moreau e dimostrazione (Brezis, cap. 1).
20. 20/10/16.   Esercizi:  1 - Norme, spazi normati, completezza, funzionali lineari.
22. 21/10/16. Definizione e proprietà del sottodifferenziale. Legami con la differenziabilità nel senso di Gateaux. Legami tra convessa coniugata e sottodifferenziale. Alcuni esempi (appunti).
    
    Settimana 4
24. 24/10/16. Ulteriori esempi di calcolo di convessa coniugata e sottodifferenziale (appunti). Lemma di Baire e dimostrazione (Brezis, cap. 2).
26. 26/10/16. Teoremi di Banach-Steinhaus e dell'applicazione aperta e dimostrazioni (Brezis, cap. 2).
28. 28/10/16. Corollari al teorema di Banach-Steinhaus. Teorema del grafico chiuso. Criterio per l'equivalenza di norme. Applicazioni del teorema del grafico chiuso; supplementare topologico (Brezis, cap. 2). Svolgimento di alcuni esercizi.
    
    Settimana 5
30. 02/11/16. Ortogonalità negli spazi di Banach. Immersione canonica e spazi riflessivi. Operatori lineari non limitati. Operatori chiusi, densamente definiti. Esempi. Operatore aggiunto. Caso particolare in cui l'operatore è limitato (Brezis, cap. 2; cap. 3 per la definizione di spazio riflessivo).
32. 03/11/16.   Esercizi:  2 - Teorema di Hahn-Banach, funzioni convesse, sottodifferenziali. Il link rimanda ora alla seconda versione contenente un esercizio aggiuntivo.
34. 04/11/16. Svolgimento di esercizi su: operatore aggiunto, teorema dell'applicazione aperta. Relazioni di ortogonalità (cenni) e criterio per la limitatezza di un operatore chiuso e densamente definito (Brezis, cap. 2). Topologia generata da una famiglia di mappe (Brezis, cap. 3).
    
    Settimana 6
36. 07/11/16. Proprietà della topologia generata da una famiglia di mappe. Topologia debole su uno spazio di Banach E e sue proprietà elementari. Intorni nella topologia debole. Esempi di successioni che convergono debolmente ma non fortemente e di insiemi debolmente ma non fortemente chiusi (Brezis, cap. 3 e appunti).
38. 09/11/16. Ulteriori proprietà della topologia debole. Relazioni tra topologia debole e convessità. Topologia debole-* e sue proprietà elementari. Il duale di E' rispetto alla topologia debole-* è E. Costruzione di un insieme debolmente chiuso ma non debolmente-* chiuso (Brezis, cap. 3).
40. 11/11/16. Teorema di Banach-Alaoglu e cenni di dimostrazione. Proprietà degli spazi riflessivi. Teorema di Kakutani e dimostrazione. Costruzione dell'operatore biaggiunto tra spazi riflessivi (Brezis, cap. 3).
    
    Settimana 7
42. 14/11/16. Spazi separabili. Metrizzabilità della topologia debole-* sulla bolla unitaria di E' se E è separabile. Teoremi di compattezza debole (Brezis, cap. 3). Svolgimento di alcuni esercizi.
44. 16/11/16. Spazi uniformemente convessi. Teorema di Milman e conseguenze. (Brezis, cap. 3) Proprietà degli spazi l^p (Brezis, versione in inglese).
46. 17/11/16.   Esercizi:  3 - Completezza, Banach-Steinhaus, operatori chiusi.
48. 18/11/16. Svolgimento di alcuni esercizi. Proprietà di L^p per 1 < p < ∞ (riflessività, separabilità, teorema di rappresentazione di Riesz) (Brezis, cap. 4).
    
    Settimana 8
50. 21/11/16. Teorema di rappresentazione di Riesz in L¹. Non riflessività di L¹. Non separabilità di L^∞. Prodotto di convoluzione e teorema di Young (Brezis, cap. 4).
52. 23/11/16. Regolarizzazione per convoluzione. Mollificatori. Costruzione di un funzionale lineare e continuo su L^∞ non corrispondente a una funzione di L¹ (Brezis, cap. 4).
54. 25/11/16. Teorema di Ascoli, dimostrazione, applicazioni e commenti (dispensa, da pag. 88 a pag. 94). Svolgimento di alcuni esercizi.
    
    Settimana 9
56. 28/11/16. Criterio di compattezza forte in L^p di Riesz-Fréchet-Kolmogorov, dimostrazione, estensioni ed esempi (Brezis, cap. 4).
58. 30/11/16. Svolgimento di alcuni esercizi. Spazi di Hilbert. Teorema delle proiezioni. Teorema di Riesz-Fréchet. Teorema di Stampacchia. Dimostrazioni (Brezis, cap. 5).
60. 01/12/16.   Esercizi:  4 - Topologie deboli, riflessività, separabilità.
62. 02/12/16. Somme e basi Hilbertiane. Esempio: serie di Fourier in R (Brezis, cap. 5). Svolgimento di alcuni esercizi.
    
    Settimana 10
64. 05/12/16. Svolgimento di un esercizio. Introduzione agli spazi di Sobolev (con la derivata debole e con le distribuzioni). Proprietà di base di W^1,p (completezza, riflessività, separabilità) (Brezis, cap. 8 e appunti).
66. 07/12/16. Relazioni tra derivata debole e derivata classica. Proprietà delle funzioni Sobolev: esistenza di un rappresentante continuo; commenti (Brezis, cap. 8 e appunti).
    
    Settimana 11
68. 12/12/16. Teorema di caratterizzazione delle funzioni Sobolev. Approssimazione di funzioni Sobolev tramite funzioni regolari. Immersioni di Sobolev (Brezis, cap. 8 e appunti).
70. 14/12/16. Immersioni di Sobolev (continuazione e controesempi). Regole di derivazione negli spazi di Sobolev. Spazio W₀^m,p e disuguaglianza di Poincaré (Brezis, cap. 8 e appunti).
72. 15/12/16.   Esercizi:  5 - Spazi L^p.
    
    Settimana 12
74. 19/12/16. Applicazioni dei teoremi di Stampacchia e Lax-Milgram alla risoluzione di problemi ai limiti e del problema dell'ostacolo.
76. 21/12/16.   Esercizi:  6 - Spazi di Hilbert, spazi di Sobolev, applicazioni.
78. 09/01/17 ore 11-13. Svolgimento di temi d'esame.
80. 09/01/17 ore 14-16. Svolgimento di temi d'esame.

LIBRI DI TESTO

MODALITÀ D'ESAME

L'esame sarà costituito da una prova orale. È previsto un unico scritto (facoltativo) subito dopo la fine del corso. In ogni caso il mancato svolgimento dello scritto non costituisce una penalizzazione.
Temi d'esame di Analisi Funzionale assegnati dal Prof. Colli negli anni passati: anno 2011, anno 2012, anno 2013.
Tema d'esame assegnato nell'anno 2014.
Tema d'esame assegnato nell'anno 2015.
Tema d'esame assegnato nell'anno 2016.