Analisi Funzionale

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Prova scritta:
Pubblicati i RISULTATI. Gli studenti iscritti all'appello sono pregati di contattare il docente per fissare la data dell'orale.
Sono disponibili il testo e le soluzioni degli esercizi.

Appelli d'esame. Si ricorda che le date degli appelli riportate sull'area riservata di Ateneo sono puramente indicative, con l'unica eccezione della data corrispondente alla prova scritta. Gli studenti che volessero sostenere l'esame sono dunque invitati a prendere accordi direttamente col docente. È possibile (sebbene non sia consigliato...) sostenere l'esame anche al di fuori delle sessioni ufficiali (ovvero durante il periodo di svolgimento dei corsi). Chi volesse sostenere l'esame è comunque invitato ad iscriversi ad uno degli appelli riportati sull'area riservata, in modo da rendere possibile la registrazione del voto.

Orario. L'orario delle lezioni è il seguente:
Lunedì 14.15-16
Mercoledì 14.15-16
Giovedì 14.15-16
Alcune lezioni aggiuntive saranno svolte di venerdì pomeriggio.

CALENDARIO DELLE LEZIONI

Settimana 0
2. 01/10/15. Introduzione al corso. Norme, spazi normati. Completezza. Spazi di Banach. Esempi. Distanza, spazi metrici. Forme bilineari. Prodotti scalari. Disuguaglianza di Schwartz. Norma indotta da un prodotto scalare (appunti).
   
   Settimana 1
4. 05/10/15. Relazione del parallelogrammo. Operatori lineari e continui su uno spazio vettoriale normato. Spazio L(X,Y). Completezza di L(X,Y). Funzionali lineari. Duale algebrico e topologico. Basi algebriche di uno spazio vettoriale. Richiami sul lemma di Zorn (appunti).
6. 07/10/15. Costruzione di un funzionale lineare non continuo (vedi le note). Equivalenza di norme in dimensione finita (appunti). Richiami di teoria della misura (Beppo-Levi, Fatou, Lebesgue). Definizione degli spazi L^p. Disuguaglianza di Young (Brezis, cap. 4).
8. 08/10/15. Proprietà degli spazi L^p: disuguaglianza di Hölder, disuguaglianza triangolare per la norma L^p; completezza (Brezis, cap. 4). Alcuni esercizi.
10. 09/10/15. I venerdì di Analisi Funzionale: 1 - Norme, spazi normati, completezza, funzionali lineari.
    
    Settimana 2
12. 12/10/15. Teorema di Hahn-Banach: forma analitica reale (Brezis, cap. 1) e complessa (Gilardi). Corollari del teorema di Hahn-Banach, mappa di dualità (Brezis, cap. 1).
14. 14/10/15. Immersione isometrica di L^q in (L^p)'. Mappa di dualità in L^p (appunti). Iperpiani chiusi. Separazione di insiemi convessi. Enunciato della prima forma geometrica di Hahn-Banach (Brezis, cap. 1).
16. 15/10/15. Dimostrazione della prima forma geometrica di Hahn-Banach. Enunciato e dimostrazione della seconda forma geometrica (Brezis, cap. 1). Insiemi convessi, bilanciati, assorbenti. Funzionale di Minkowski e sue proprietà. Caratterizzazione dei sottospazi densi tramite i funzionali lineari (Brezis, cap. 1 e appunti).
    
    Settimana 3
18. 19/10/15. Proprietà delle funzioni convesse, s.c.i., proprie. Funzioni s.c.i. e punti di minimo (appunti). Funzione convessa coniugata e sue proprietà. La coniugata di una funzione convessa s.c.i. è convessa, s.c.i. e propria (Brezis, cap. 1).
20. 21/10/15. Teorema di Fénchel-Moreau e dimostrazione. Corollario: ogni funzione convessa ha una minorante affine (Brezis, cap. 1). Concetto di sottodifferenziale ed osservazioni. Legami tra sottodifferenziabilità e differenziabilità nel caso R^N (appunti).
22. 22/10/15. Ulteriori proprietà del sottodifferenziale. Legami tra il sottodifferenziale e la convessa coniugata. Calcolo esplicito della convessa coniugata e del sottodifferenziale in alcuni casi significativi (appunti).
24. 23/10/15. I venerdì di Analisi Funzionale: 2 - Teorema di Hahn-Banach, funzioni convesse, sottodifferenziali.
    
    Settimana 4
26. 26/10/15. Lemma di Baire e dimostrazione. Teorema di Banach-Steinhaus e dimostrazione. Corollari. Teorema dell'applicazione aperta e prima parte della dimostrazione (Brezis, cap. 2).
28. 28/10/15. Svolgimento di un esercizio (calcolo di coniugata e sottodifferenziale). Teorema dell'applicazione aperta (fine della dimostrazione). Teorema del grafico chiuso e conseguenze. Supplementare topologico (Brezis, cap. 2).
30. 29/10/15. Biduale e immersione canonica. Complemento ortogonale di sottospazi di E e di E'. Teoremi su somme e intersezioni di sottospazi. Operatori lineari non limitati. Operatori chiusi, densamente definiti. Dominio, grafico, immagine, nucleo (Brezis, cap. 2).
    
    Settimana 5
32. 02/11/15. Operatore aggiunto e sue proprietà (Brezis, cap. 2: la dim. del Cor. II.17 è stata fatta procedendo in modo diretto (vedi esercizi); del par. II.7 si è fatto solo il Teorema II.21).
34. 04/11/15. Topologia generata da una famiglia di mappe e sue proprietà. Topologia debole su uno spazio di Banach E. Equivalenza tra topologia forte e debole in dimensione finita. Costruzione di un insieme fortemente ma non debolmente chiuso in dimensione infinita (Brezis, cap. 3).
36. 05/11/15. Proprietà della topologia debole legate alla convessità. Topologia debole-*. Costruzione di un insieme debolmente debolmente-* chiuso in uno spazio non riflessivo (Brezis, cap. 3).
38. 06/11/15. I venerdì di Analisi Funzionale: 3 - Completezza, Banach-Steinhaus, operatori chiusi.
    
    Settimana 6
40. 09/11/15. Caratterizzazione del duale di l^p (Brezis, par. 11.3 dell'edizione in inglese; appunti) . Proprietà della topologia debole-*. Teorema di Kakutani e dimostrazione (Brezis, cap. 3).
42. 11/11/15. Proprietà degli spazi riflessivi. Operatore biaggiunto (Brezis, cap. 3). Esempi di successioni che convergono debolmente ma non fortemente (appunti).
44. 12/11/15. Spazi separabili. Metrizzabilità della topologia debole-*. Teoremi di compattezza debole (Brezis, cap. 3). Riflessività e separabilità degli l^p (Brezis, par. 11.3 dell'edizione in inglese; appunti) .
    
    Settimana 7
46. 16/11/15. Spazi uniformemente convessi. Teorema di Milman e conseguenze (Brezis, cap. 3). Svolgimento di esercizi.
48. 18/11/15. Uniforme convessità di L^p per p maggiore o uguale a 2. Riflessività di L^p. Teorema di rappresentazione di Riesz in L^p e in L¹. Esempi (Brezis, cap. 4).
50. 19/11/15. Riflessività (o meno) e separabilità (o meno) di L^p a seconda dell'esponente p. Prodotto di convoluzione nel caso p=1 (Brezis, cap. 4).
    
    Settimana 8
52. 23/11/15. Prodotto di convoluzione nel caso di p qualsiasi. Spazio L¹_loc. Continuità e derivabilità del prodotto di convoluzione. Mollificatori (Brezis, cap. 4).
54. 25/11/15. Teoremi di regolarizzazione tramite mollificatori (Brezis, cap. 4). Teorema di Ascoli (enunciato e commenti).
56. 26/11/15. Dimostrazione del Teorema di Ascoli (dispensa, da pag. 88 a pag. 94). Criterio di compattezza in L^p di Riesz-Fréchet-Kolmogorov (enunciato, commenti, prima parte della dimostrazione) (Brezis, cap. 4)
58. 27/11/15. I venerdì di Analisi Funzionale: 4 - Topologie deboli, riflessività, separabilità.
    
    Settimana 9
60. 30/11/15. Criterio di compattezza di Riesz-Fréchet-Kolmogorov (fine dimostrazione) (Brezis, cap. 4). Esercizi. Spazi di Hilbert, teorema delle proiezioni (Brezis, cap. 5)
62. 02/12/15. Dimostrazione del teorema delle proiezioni. Identificazione di uno spazio di Hilbert col suo duale. Terne Hilbertiane (cenni). Teorema di Stampacchia (enunciato) (Brezis, cap. 5).
64. 03/12/15. Teoremi di Stampacchia (dimostrazione) e Lax-Milgram. Decomposizioni ortogonali. Somme e basi Hilbertiane. Il caso delle serie di Fourier in R (Brezis, cap. 5).
    
    Settimana 10
66. 10/12/15. Introduzione agli spazi di Sobolev. Rapporti con la teoria delle distribuzioni. Proprietà di base di W^1,p (Brezis, cap. 8)..
    
    Settimana 11
68. 14/12/15. "Teorema fondamentale del calcolo" in W^1,p. Caratterizzazione delle funzioni di W₀^1,p. Prolungamento per riflessione (Brezis, cap. 8).
70. 16/12/15. Approssimazione di funzioni Sobolev con funzioni regolari. Teoremi di immersione continua e di immersione compatta. Regole di calcolo in W^1,p (Brezis, cap. 8)..
72. 17/12/15. Spazi W^m,p, W₀^1,p. Disuguaglianza di Poincaré. Esempi di problemi ai limiti risolti attraverso la formulazione debole (Brezis, cap. 8; appunti).
74. 18/12/15: I venerdì di Analisi Funzionale: 5 - Spazi L^p.
    
    Settimana 12
76. 07/01/16. Svolgimento di esercizi tratti dai temi d'esame.
78. 08/01/16: I venerdì di Analisi Funzionale: 6 - Spazi di Hilbert, spazi di Sobolev, applicazioni.
80. 11/01/16. Svolgimento di esercizi tratti dai temi d'esame.

LIBRI DI TESTO

MODALITÀ D'ESAME

L'esame sarà costituito da una prova orale. È previsto un unico scritto (facoltativo) subito dopo la fine del corso. In ogni caso il mancato svolgimento dello scritto non costituisce una penalizzazione.
Temi d'esame di Analisi Funzionale assegnati dal Prof. Colli negli anni passati: anno 2011, anno 2012, anno 2013.
Tema d'esame assegnato nell'anno 2014.
Tema d'esame assegnato nell'anno 2015.