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Vacanze estive: sarò assente dal 28/7 al 20/8 compresi e durante questo periodo non leggerò la posta elettronica. BUONE VACANZE A TUTTI!

Appello della sessione autunnale.
La prova scritta avrà luogo martedì 13 settembre alle ore 9.30 in aula A101.
Si ricorda che è necessario iscriversi presso il sito della Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali.

Docenti:

• Giulio Schimperna (lezioni): homepage, 0382/985654 (telefono), e-mail;
• Andrea Fugazzola (esercitazioni): 0382/985612 (telefono), e-mail.

Orario delle lezioni:

• Lunedì, 16.15-18
• Martedì, 11.15-13
• Mercoledì, 12.15-13

Si prevede che le lezioni possano terminare entro la metà del mese di gennaio 2011.

Libri di testo:

N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone, "Analisi Matematica due", Liguori Editore.

G. Gilardi, "Analisi Matematica di Base", McGraw-Hill Italia.

Riassunto delle lezioni:

• 11/10/10. Introduzione al corso. Definizione di convergenza puntuale e di convergenza uniforme. Convergenza uniforme e continuità. Norme e spazi vettoriali normati. Completezza. Norma della convergenza uniforme.
• 12/10/10. Rapporti tra convergenza uniforme, continuità e derivabilità. Serie di funzioni. Convergenza totale. Criterio della convergenza totale. Derivazione e integrazione per serie.
• 13/10/10 (un'ora). Esercizi su successioni e serie di funzioni (in particolare, verifica della convergenza uniforme).
• 18/10/10. Raggio di convergenza e relativo teorema. Richiami sul massimo limite. Formule per la determinazione del raggio di convergenza a partire dai coefficienti della serie di potenze.
• 19/10/10. Derivazione e integrazione delle serie di potenze. Serie di Taylor. Condizioni perché una funzione sia localmente somma della sua serie di Taylor. Funzione "ultrapiatta". Funzioni analitiche. Condizioni necessarie e sufficienti per l'analiticità. Alcuni esercizi.
• 20/10/10 (un'ora). Introduzione alle serie di Fourier. Polinomi trigonometrici. Determinazione dei coefficienti della serie di Fourier di una funzione data.
• 25/10/10. Teoremi di convergenza puntuale, convergenza uniforme e integrazione termine a termine delle serie di Fourier.
• 26/10/10 (esercitazione). Esercizi su successioni e serie di funzioni, convergenza puntuale e convergenza uniforme.
• 27/10/10 (un'ora). Considerazioni finali sulle serie di Fourier. Norma L². Uguaglianza di Parseval. Un esercizio.
• 02/11/10. Curve regolari in R^N. Sostegno. Grafici. Lunghezza di una curva. Riparametrizzazioni e diffeomorfismi. Curve equivalenti. Integrale su una curva. Curvatura e torsione (cenni).
• 03/11/10 (un'ora). Curvatura e torsione (continuazione). Formule di Frenet in R³. Definizione di superficie regolare in R³.
• 08/11/10. Commenti al concetto di superficie. Grafici. Piano tangente e spazio normale. Superfici equivalenti. Area di una superficie. Giustificazione (cenni). Integrali di superficie. Ipersuperficie (cenni).
• 09/11/10. Esercizi su area di una superficie ed integrali superficiali. Teorema delle funzioni implicite in due dimensioni. Dimostrazione. Commenti. Punti regolari e punti singolari di una superficie definita in modo implicito.
• 10/11/10 (un'ora). Sviluppo di Taylor della funzione definita implicitamente. Teorema delle funzioni implicite in dimensione 3. Considerazioni geometriche.
• 15/11/10. Teorema delle funzioni implicite in dimensione qualsiasi (solo enunciato). Moltiplicatori di Lagrange. Un esercizio. Teorema della funzione inversa. Ogni superficie è localmente un grafico.
• 16/11/10 (esercitazione). Esercizi su curve, superfici, funzioni implicite e moltiplicatori di Lagrange.
• 22/11/10. Ulteriori esercizi su funzioni implicite e moltiplicatori di Lagrange. Introduzione alle forme differenziali. Motivazione fisica. Integrale di una forma differenziale. Teorema di caratterizzazione delle forme esatte.
• 23/11/10. Teorema di caratterizzazione delle forme esatte (continuazione). Cammini e circuiti. Forme chiuse. Lemma di Poincaré. Caso in cui l'aperto non è stellato.
• 24/11/10 (un'ora). Considerazioni finali sulle forme differenziali. Esercizi.
• 29/11/10. Ulteriori esercizi sulle forme differenziali. Teorema della divergenza: enunciato e prima parte della dimostrazione.
• 01/12/10 (un'ora). Fine della dimostrazione del teorema della divergenza (localizzazione e partizione dell'unità). Corollario: formula di integrazione per parti.
• 06/12/10. Teorema di Stokes, dimostrazione e commenti. Esempi ed esercizi.
• 07/12/10 (esercitazione). Esercizi sulle forme differenziali.
• 13/12/10. Ulteriori esercizi sui teoremi della divergenza e di Stokes. Introduzione alla teoria della misura e dell'integrazione secondo Lebesgue.
• 14/12/10. Spazi di misura. Misura esterna e sue proprietà. Definizione di integrale secondo Lebesgue. Giustificazione della definizione (cenni). Proprietà elementari dell'integrale. Integrabilità su (0,1) della funzione x^-λ per λ tra 0 e 1.
• 20/12/10. Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale (Beppo Levi, Fatou e Lebesgue). Esempi e commenti vari. Versioni "estese" dei teoremi.
• 21/12/10 (esercitazione). Esercizi sul passaggio al limite sotto il segno di integrale.
• 10/01/11. Misura di Lebesgue e sue proprietà (σ-additività, σ-subadditività, continuità). Funzioni misurabili. Integrabilità su unioni crescenti e unioni disgiunte. Confronto con il concetto di integrale improprio. Esercizi.
• 11/01/11. Esercizi di riepilogo; svolgimento di temi d'esame.

Modalità e argomenti d'esame:

L'esame si svolgerà in forma scritta e orale.

Di regola lo scritto comprenderà 2 esercizi, eventualmente divisi in più domande. La durata della prova scritta potrà variare di appello in appello, a seconda della "lunghezza" degli esercizi, ma sarà in genere compresa tra i 90 e i 120 minuti.

Subito dopo la fine dello scritto si svolgerà una correzione alla lavagna dello stesso. Salvo diversa comunicazione, gli orali inizieranno immediatamente dopo. È in ogni caso possibile, previo accordi col docente, posticipare l'orale.

Temi d'esame assegnati nell'Anno Accademico 2008/09:

• Tema d'esame del 20/01/09;
  
• Tema d'esame del 13/02/09;
  
• Tema d'esame del 16/06/09;
  
• Tema d'esame del 16/07/09;
  
• Tema d'esame del 16/09/09;
  
• Tema d'esame del 18/01/10;
  
• Tema d'esame del 16/02/10;
  
• Tema d'esame del 14/07/10;
  
• Tema d'esame del 09/09/10.

Altro materiale disponibile:

Dispensa sulle forme differenziali, scritta da Gianni Gilardi.

Dispensa sulle serie di Fourier, scritta da Gianni Arrigo Pozzi.

Dispensa su curve, superfici e integrale di Lebesgue.

Una raccolta di vecchi temi d'esame, preparati prevalentemente da Daniele Boffi, è disponibile a questo indirizzo.