Analisi Matematica 2 - Complementi di Analisi Matematica 1

IN EVIDENZA:

Questa pagina web non sarà più aggiornata. Per tutte le infomrmazioni riferirsi alla pagina web 2022/23.

Programma: è disponibile la versione aggiornata del programma, dove sono poste in evidenza le differenze tra il corso per Matematica e quello per Fisica. Chiunque trovasse incongruenze rispetto a quanto svolto a lezione è invitato a segnalarle.

Appelli d'esame. Le date proposte per le prove scritte sono le seguenti:
Giovedì 16 giugno, ore 14.30, aula A102;
Mercoledì 6 luglio, ore 9.30, aula A102;
Martedì 26 luglio, ore 9.30, aula A102;
Giovedì 15 settembre, ore 9.30, aula A101;
Mercoledì 18 gennaio 2023, ore 9.30, aula C8;
Mercoledì 15 febbraio 2023, ore 9.30, aula C8.
L'orale potrà essere sostenuto nei giorni immediatamente successivi alla prova scritta, oppure posticipato. Salvo casi eccezionali e motivati, l'orale va comunque sostenuto entro 12 mesi a partire dalla data dello scritto. È fortemente sconsigliato sostenere l'orale durante il periodo di svolgimento delle lezioni. Il calendario degli orali sarà definito dopo ciascuna prova scritta.

RISULTATI delle prove scritte

Appello del 15 febbraio 2023.
RISULTATI COMPLETI consultabili qui (la soglia di ammissione all'orale è stata abbassata a 5/15).

Scritto del 18 gennaio 2023.
RISULTATI COMPLETI consultabili qui (la soglia di ammissione all'orale è stata abbassata a 6/15).

Scritto del 15 settembre 2022.
RISULTATI COMPLETI consultabili qui (la soglia di ammissione all'orale è stata abbassata a 6/15).

Scritto del 26 luglio 2022.
RISULTATI COMPLETI consultabili qui (la soglia di ammissione all'orale è stata abbassata a 6/15).

Scritto del 6 luglio 2022.
RISULTATI COMPLETI consultabili qui.

Scritto del 16 giugno 2022.
RISULTATI COMPLETI consultabili qui.

TUTORATO

Link per assistere al tutorato:
https://us02web.zoom.us/j/85379798838?pwd=a1RFN3ZPeHYxQWZKTzVNMW1sY3RSQT09.
ID riunione: 853 7979 8838
Passcode: 317128

Calendario (provvisorio) delle lezioni e riassunto degli argomenti trattati (valido anche come programma del corso).

1. Mar 01/03/22. Introduzione al corso. Concetto di equazione differenziale. Equazioni differenziali a variabili separabili; formula risolutiva.
2. Mer 02/03/22. Fenomeni legati alle equazioni differenziali non lineari: perdita di unicità, esplosione in tempi finiti. Equazioni lineari scalari del primo ordine a coefficienti variabili "omogenee" e "complete". Struttura dell'insieme delle soluzioni. Formula di variazione delle costanti.
3. Gio 03/03/22. Equazioni lineari scalari del secondo ordine a coefficienti costanti. Trattazione del caso non omogeneo con secondo membro di tipo polinomiale, trigonometrico, esponenziale. Rappresentazione dei punti dello spazio euclideo. Prodotto scalare.
   
   
4. Lun 07/03/22. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Norma in Rⁿ. Punti interni, esterni, di frontiera. Insiemi aperti e chiusi. Intorni. Spazi metrici, spazi normati.
5. Mar 08/03/22. Punti di accumulazione. Caratterizzazione della chiusura di un insieme. Teorema di Bolzano-Weierstrass. Norme || ||₁ e || ||_∞ su Rⁿ.
6. Mer 09/03/22. Completezza. Compattezza e compattezza per successioni. Caratterizzazione dei compatti di Rⁿ (teorema di Heine-Borel).
7. Gio 10/03/22. Insiemi connessi. Topologia indotta. Limiti di funzioni definite su spazi metrici. Continuità in un punto.
   
   
8. Lun 14/03/22. Continuità "globale". Caratterizzazioni della continuità. Continuità in un compatto.
9. Mar 15/03/22. Uniforme continuità. Continutià in un connesso. Verifica della continuità. Derivate parziali e direzionali. Esempi ed esercizi.
10. Mer 16/03/22. Differenziabilità. Significato geometrico del differenziale e del gradiente. Relazioni tra differenziabilità e derivabilità. Teorema del differenziale totale e dimostrazione.
11. Gio 17/03/22. Rappresentazione grafica delle funzioni di più variabili. Matrice Jacobiana. Differenziale della funzione composta. Derivate parziali e direzionali successive. Teorema di Schwarz (solo enunciato). Alcuni esempi significativi. Analogo n-dimensionale del teorema di Lagrange.
    
    
12. Lun 21/03/22. Un esempio di non-applicabilità del teorema di Schwarz. Sviluppi di Taylor (solo primo e secondo ordine). Matrice Hessiana. Funzioni convesse.
13. Mar 22/03/22. Punti di estremo relativo. Teoremi dell'annullamento del differenziale e del differenziale nullo. Determinazione dei massimi e minimi relativi liberi di una funzione di più variabili tramite lo studio della matrice Hessiana. Alcuni esempi.
14. Mer 23/03/22. Svolgimento di alcuni esercizi. Introduzione alla teoria dell'integrazione in più variabili. Definizione di integrale su un rettangolo di R².
15. Gio 24/03/22. Commenti sulla definizione di integrale. Formula di riduzione in R² e dimostrazione. Condizioni per l'integrabilità; integrabilità delle funziseoni co ntinue. Integrabilità su un insieme generico. Misura di Peano-Jordan. Insiemi misurabili. Insiemi di misura nulla.
    
    
16. Lun 28/03/22. Condizioni per la misurabilità dei sottoinsiemi di R². Integrabilità delle funzioni generalmente continue. Un esempio di funzione integrabile l'insieme dei cui punti di discontinuità non è misurabile secondo Peano-Jordan. Insiemi "normali" e formule di riduzione. Alcuni esercizi.
17. Mar 29/03/22 - Seminario didattico n.1. Esercizi su continuità, derivabilità, differenziabilità, massimi e minimi liberi.
18. Mer 30/03/22. Cambiamento di variabile negli integrali doppi (solo idea della dimostrazione). Coordinate polari in R².
19. Gio 31/03/22. Esercizi sugli integrali doppi e sui cambiamenti di variabile. Estensione delle formule di riduzione al caso di più variabili. Coordinate cilindriche e sferiche in R³. Esercizi.
    
    
20. Lun 04/04/22. Ulteriori esercizi sugli integrali multipli. Baricentro. Densità. Curve in Rⁿ: introduzione.
21. Mar 05/04/22. Ogni curva regolare in R² è localmente un grafico. Lunghezza di una curva. Caratterizzazione tramite poligonali inscritte. Curve equivalenti. Orientamento.
22. Mer 06/04/22. Riparametrizzazioni. Cammini e cammini orientati. Lunghezza d'arco. Cenni alla curvatura in R². Integrali curvilinei. Esercizi.
23. Gio 07/04/22. Ulteriori esercizi su curve e integrali curvilinei. Teorema delle funzioni implicite in due dimensioni. Esempi e considerazioni varie.
    
    
24. Lun 11/04/22. Regolarità ulteriore e derivate successive della funzione implicita. Superfici in R³ (introduzione). Linee coordinate.
25. Mar 12/04/22. Area di una superficie. Riparametrizzazioni. Piano tangente. Vettore normale. Prima forma fondamentale di una superficie. Integrazione su superficie.
26. Mer 13/04/22. Teorema delle funzioni implicite in dimensione maggiore di due (solo enunciato e varie considerazioni geometriche). Curve tracciate su una superficie. Spazio tangente e spazio normale.
    
    PASQUA
    
    
27. Gio 21/04/22. Teorema di invertibilità locale (solo enunciato). Massimi e minimi vincolati. Metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Svolgimento di un esercizio.
    
    
28. Mar 26/04/22. Ulteriori esercizi su integrali di superficie ed estremi vincolati. Introduzione alle forme differenziali. Problema della ricerca delle primitive. Integrazione di forme differenziali lungo cammini.
29. Mer 27/04/22. "Algebra" dei cammini orientati. Teorema di caratterizzazione delle forme differenziali esatte e dimostrazione. Forme differenziali chiuse. Alcuni esempi.
30. Gio 28/04/22 - Seminario didattico n.2. Esercizi su massimi e minimi liberi, differenziabilità della funzione composta, criterio della matrice Hessiana.
    
    
31. Lun 02/05/22, 9.30-11, A102 - Lezione (Mat + Fis). Lemma di Poincaré e dimostrazione. Teorema di derivazione sotto il segno di integrale. Aperti semplicemente connessi (cenni). Formule di Gauss-Green nel piano (introduzione).
32. Mar 03/05/22, 9.30-11, E10 / Online - Tutorato n.2 (Mat + Fis).
33. Mer 04/05/22, 14.15-16, A102 - Lezione (Mat + Fis). Formule di Gauss-Green nel piano (continuazione). Divergenza. Rotore. Teorema della divergenza. Teorema di Stokes nel piano e nello spazio (solo enunciato). Esempi.
34. Gio 05/05/22, 11.15-13, E10 - Lezione (solo Mat). "Significato" fisico della divergenza e del rotore. Omotopie. Aperti semplicemente connessi. Invarianza dell'integrale di una forma chiusa rispetto a circuiti omotopi.
35. Gio 05/05/22, 11.15-13, A102 - Tutorato n.1 (solo Fis).
    
    
36. Lun 09/05/22, 16.15-18, E9 - Tutorato n.3 (solo Mat).
37. Mar 10/05/22, 9.30-11, E10 - Lezione (solo Mat). Sviluppi di Taylor di ordine qualunque. Raggruppamento delle derivate analoghe (teorema multinomiale, cenni). Multi-indici. Resto in forma di Lagrange. Se Jf(x₀) è invertibile allora f è iniettiva in un intorno di x₀ (con dimostrazione). Esercizi.
38. Mer 11/05/22, 14.15-16, E10 - Lezione (solo Mat). Teorema di invertibilità locale (con dimostrazione). Integrali impropri in R. Assoluta integrabilità. Comportamento dell'integrale improprio delle potenze ad esponente negativo.
39. Gio 12/05/22, 11.15-13, A102 - Seminario didattico n.3 (Mat + Fis).
    
    
40. Lun 16/05/22, 16.15-18, E9 - Tutorato n.4 (solo Mat).
41. Mar 17/05/22, 9.30-11, E10 - Lezione (solo Mat). Considerazioni ed esempi conclusivi sugli integrali impropri. Convergenza puntuale e convergenza uniforme. Alcuni esempi vari. Norma "della convergenza uniforme". Completezza dello spazio delle funzioni limitate.
42. Mer 18/05/22, 14.15-16, E10 - Lezione (solo Mat). La convergenza uniforme conserva la continuità. Passaggio al limite sotto il segno di integrale. Considerazioni varie ed esempi. Teorema di derivazione "per serie".
43. Mer 18/05/22, 14.15-16, A102 - Tutorato n.3 (solo Fis).
44. Gio 19/05/22, 11.15-13, E10 - Lezione (solo Mat). Ulteriori considerazioni sulla derivazione per serie. Alcuni spazi funzionali importanti. Equivalenza delle norme in dimensione finita.
45. Gio 19/05/22, 11.15-13, A102 - Tutorato n.4 (solo Fis).
    
    
46. Lun 23/05/22, 9.30-11, E9 - Lezione (solo Mat). Serie di funzioni. Criterio di Weierstrass o della convergenza totale. Alcuni esempi ed esercizi. Caratterizzazione degli spazi metrici compatti (enunciato e dimostrazione delle prime due implicazioni).
47. Lun 23/05/22, 16.15-18, E9 - Tutorato n.5 (solo Mat).
48. Mar 24/05/22, 9.30-11, E10 - Lezione (solo Mat). Caratterizzazione degli spazi metrici compatti (dimostrazione della terza implicazione). Considerazioni ed esempi conclusivi. Svolgimento di esercizi su successioni e serie di funzioni.
49. Mer 25/05/22, 14.15-16, A102 - Seminario didattico n.4 (Mat + Fis).
50. Gio 26/05/22, 11.15-13, A102 - Tutorato n.5 (solo Fis).
    
    
51. Lun 30/05/22, 16.15-18, E9 - Tutorato n.6 (solo Mat).
52. Mar 31/05/22, 16.00-17.45, Aula 2 (Edificio viola - tamburo), Lezione con svolgimento di esercizi (Mat+Fis). Esercizi di riepilogo su tutto il programma.
53. Mer 01/06/22, 14.15-16, A102 - Seminario didattico n.5 (Mat + Fis).

LIBRO DI TESTO

Testo in adozione:
Carlo Domenico Pagani - Sandro Salsa, "Analisi Matematica 2", Zanichelli.

Altri testi consigliati:
Enrico Giusti, "Analisi Matematica 2", Bollati - Boringhieri.
Gianni Gilardi, "Analisi due", McGraw - Hill Italia.

TEMI D'ESAME

Appello del 15/02/2023: scritto, prescritto con risultati, traccia di svolgimento scritto.

Appello del 18/01/2023: scritto, prescritto con risultati, traccia di svolgimento scritto.

Appello del 15/09/2022: scritto, prescritto (guardare solo le prime due versioni, nelle altre le costanti non sono controllate).

Appello del 26/07/2022: scritto, prescritto (guardare solo le prime due versioni, nelle altre le costanti non sono controllate), risultati prescritto, traccia di svolgimento scritto.

Appello del 06/07/2022: scritto, prescritto (guardare solo le prime due versioni, nelle altre le costanti non sono controllate), soluzioni.

Appello del 16/06/2022: scritto, prescritto (guardare solo le prime due versioni, nelle altre le costanti non sono controllate), soluzioni.

Sono inoltre disponibili due simulazioni del prescritto (prima prova, seconda prova): ciascun file contiene cinque versioni diverse degli stessi esercizi. Disponibile anche la correzione delle simulazioni preparata dal Dott. Bignardi.