Algebra 2 - anno 2013-14
- Prova scritta del 17-6-2014: Testo e soluzioni | Esito della prova e calendario degli orali
- Prova scritta del 7-7-2014: Testo e soluzioni | Esito della prova e calendario degli orali
- Prova scritta del 23-9-2014: Testo e soluzioni | Esito della prova e calendario degli orali
- Prova scritta del 16-1-2015: Testo e soluzioni | Esito della prova e calendario degli orali
- Prova scritta del 2-2-2015: Testo e soluzioni | Esito della prova e calendario degli orali
(NB: la soluzione dell'esercizio 2 prima esposta era errata)
- Descrizione:
Il corso è una introduzione alla teoria di Galois delle equazioni, corredata
da complementi di teoria dei gruppi e di teoria dei moduli su un
anello.
- Programma di massima del corso:
- Moduli su un anello. Costruzioni di moduli. Anello di gruppo e rappresentazioni.
Struttura dei moduli finitamente generati su un anello a ideali principali.
Applicazioni; forma canonica di Jordan e forme canoniche razionali.
- Azioni di gruppi su insiemi. Equazione delle classi. Teoremi di Sylow e
applicazioni. Prodotti semidiretti. Sottogruppi finiti del gruppo moltiplicativo
di un campo. Il gruppo moltiplicativo degli interi modulo \(n\). Gruppi risolubili.
- Estensioni di campi. Campi di spezzamento: esistenza e unicità. Chiusura
algebrica e sua unicità. La corrispondenza di Galois. Estensioni normali.
Estensioni separabili e inseparabili. Estensioni di Galois. Il teorema
fondamentale della teoria di Galois. Il teorema dell'elemento primitivo. Teoria
di Galois dei campi finiti. Polinomi ciclotomici e loro irriducibilità. Il
gruppo di Galois di un polinomio ciclotomico. Estensioni cicliche e loro
caratterizzazione. Criterio di risolubilità per radicali. Il polinomio
generale di grado \(>4\). Equazioni a coefficienti interi che non sono risolubili
per radicali. La cubica e la quartica.
- testi:
- I.N. Herstein, Algebra, terza edizione, Editori Riuniti, Roma 1993
- D.J.H. Garling, A Course in Galois Theory, Cambridge University Press
- C. Procesi, Elementi di Teoria di Galois, Zanichelli
- Note di R. Schoof e B. van Geemen, disponibili in forma elettronica all'indirizzo: http://mate.unipv.it/cornalba/notealgebra.pdf
- altri testi suggeriti:
- M.F. Atiyah, I.G. MacDonald, Introduzione all'algebra commutativa, Feltrinelli, 1981
- M. Artin, Algebra, Bollati Boringhieri, Torino 1997
- I.N. Stewart, Galois Theory, second edition, CRC Press
- note:
- Funzioni simmetriche (pdf)
- Il discriminante di un polinomio (pdf)
- Moduli su un dominio a ideali principali (pdf)
- Il gruppo moltiplicativo di \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) (pdf)
- Il gruppo alterno \(A_n\) è semplice se \(n > 4\) (pdf)
- Numero dei polinomi irriducibili a coefficienti in un campo finito (pdf)
- Esercizi:
1
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- Soluzione dell'esercizio 1f di Esercizi 1
- Soluzione dell'esercizio 1 di Esercizi 3 e dell'esercizio 2 di Esercizi 4
- Soluzione dell'esercizio 7 di Esercizi 7
- Diario del corso:
1 (5/3/2014): Elementi invertibili e irriducibili in un dominio. Elementi associati. Domini a fattorizzazione unica (UFD). In un UFD le nozioni di elemento primo e irriducibile coincidono. Massimo comun divisore e minimo comune multiplo in un UFD. Elementi invertibili nell'anello dei polinomi su un dominio.
2 (5/3/2014): Polinomi a coefficienti in un UFD \(A\). Polinomi primitivi. Contenuto. Lemma di Gauss. Contenuto di un polinomio a coefficienti nel campo delle frazioni \(K\) di \(A\). Moltiplicatività del contenuto.
3 (5/3/2014): Caratterizzazione degli elementi irriducibili in \(A[X]\), dove \(A\) è un UFD. \(P\in A[X]\) di grado \(>0\) è irriducibile in \(A[X]\) se e solo se è primitivo e irriducibile in \(K[X]\). Criterio di irriducibilità di Eisenstein.
4 (11/3/2014): Se \(A\) è un UFD, anche \(A[X]\) lo è. Varianti del criterio di Eisenstein. Esempi.
5 (11/3/2014): Radici razionali di un polinomio a coefficienti interi; analogo per polinomi a coefficienti in un UFD. Irriducibilità per polinomi di grado \(\le 3\). Riduzione modulo un primo di un polinomio e suo uso per saggiare l'irriducibilità del medesimo.
6 (12/3/2014): Monomi. Anello \(A[S]\), dove \(A\) è un anello commutativo e \(S\) è un sottoinsieme di un sovraanello commutativo \(B\) di \(A\); descrizone esplicita per \(S\) finito. Indipendenza algebrica. Omomorfismo di sostituzione (o di valutazione).
7 (12/3/2014): Sostanziale unicità dell'anello dei polinomi in \(n\) variabili su un anello commutativo. Esercizi sui criteri di irriducibilità per polinomi.
8 (12/3/2014): Esercizi sui criteri di irriducibilità per polinomi. Costruzione dell'anello dei polinomi in \(n\) variabili su un anello commutativo.
9 (18/3/2014): Polinomi simmetrici. Funzioni simmetriche elementari \(\sigma_1,\dots,\sigma_n\). Coefficienti di un polinomio come funzioni simmetriche elementari delle radici. Ordinamento lessicografico dei monomi. L'insieme dei polinomi simmetrici è \(A[\sigma_1,\dots,\sigma_n]\).
10 (18/3/2014): L'insieme dei polinomi simmetrici è \(A[\sigma_1,\dots,\sigma_n]\) (fine). Indipendenza algebrica delle funzioni simmetriche elementari. Identità di Newton.
11 (19/3/2014): Identità di Newton (fine). Esempi. Richiami sulle estensioni di campi.
12 (19/3/2014): Teorema di unicità del campo di spezzamento di un polinomio.
13 (19/3/2014): Estensioni normali. Campo di spezzamento di un insieme di polinomi. Una estensione è normale se e solo se è un campo di spezzamento.
14 (25/3/2014): Gruppo di Galois di una estensione di campi. Ogni omomorfismo su \(K\) di una estensione normale di \(K\) in sè è suriettivo. Una sottoestensione di una estensione normale \(L/K\) è normale se e solo se è invariante per \(Gal(L/K)\).
15 (25/3/2014): Unicità del campo di spezzamento nel caso di grado non finito.
16 (26/3/2014): Campi algebricamente chiusi. Chiusura algebrica di un campo. Esistenza della chiusura algebrica (senza dimostrazione). Unicità a meno di isomorfismo della chiusura algebrica. Campo dei numeri algebrici. Chiusura normale. Esistenza e unicità della chiusura normale. Caratteristica di un campo. Omomorfismo di Frobenius.
17 (1/4/2014): Classificazione dei campi finiti. Polinomi separabili. Criterio differenziale di separabilità. Elementi separabili. Estensioni separabili. Esempi di polinomi non separabili.
18 (1/4/2014): Caratterizzazione dei polinomi inseparabili irriducibili. Campi perfetti. Ogni polinomio su un campo perfetto è separabile. I campi finiti sono perfetti. Le estensioni algebriche di campi perfetti sono perfette.
19 (2/4/2014): Il numero di immersioni di una estensione finita non supera il grado, ed eguaglia il grado se e solo se l'estensione è separabile; corollari. Transitività della separabilità.
20 (2/4/2014): Estensioni di Galois. Per una estensione di Galois il grado è pari all'ordine del gruppo di Galois. Campo fisso di un sottogruppo del gruppo di Galois. Il teorema fondamentale della teoria di Galois (inizio). Esercizi su campi di spezzamento e estensioni normali.
21 (2/4/2014): Esercizi su campi di spezzamento e estensioni normali.
22 (8/4/2014): Il teorema fondamentale della teoria di Galois (fine).
23 (8/4/2014): Teoria di Galois per campi finiti. Ogni sottogruppo finito del gruppo moltiplicativo di un campo è ciclico.
24 (9/4/2014): Guppo di Galois di un polinomio. Esempi. Il discriminante. Determinante di Vandermonde.
25 (9/4/2014): Discriminante e gruppo di Galois. Calcolo del discriminante di un polinomio di terzo grado.
26 (9/4/2014): Il gruppo di Galois di una cubica. Esercizi sulla corrispondenza di Galois.
27 (15/4/2014): La corrispondenza di Galois per \(X^4-7\) su \(\mathbb Q\). Risoluzione per radicali della cubica.
28 (15/4/2014): Ancora sulla risoluzione per radicali della cubica. Il gruppo di Galois della equazione generale di grado \(n\).
29 (16/4/2014): Polinomi interi il cui gruppo di Galois è il gruppo simmetrico. Caratterizzazione delle estensioni semplici.
30 (16/4/2014): Teorema dell'elemento primitivo. Radici dell'unità. Polinomi ciclotomici. Estensioni ciclotomiche. I polinomi ciclotomici hanno coefficienti interi.
31 (16/4/2014): Irriducibilità sugli interi dei polinomi ciclotomici. Gruppo di Galois di una estensione ciclotomica.
32 (29/4/2014): Estensioni cicliche. Gruppo di Galois di una estensione \(K[\sqrt[n]{\vartheta}]\). Teorema di Abel sulle estensioni radiciali di esponente primo.
33 (29/4/2014): Caratteri. Teorema di Artin sulla indipendenza dei caratteri. Caratterizzazione delle estensioni cicliche. Estensioni per radicali. Risolubilità per radicali. Gruppi risolubili. Ogni sottogruppo di un gruppo risolubile è risolubile.
34 (30/4/2014): Proprietà dei gruppi risolubili. Se \(H\) è un sottogruppo normale di \(G\), allora \(G\) è risolubile se e solo se lo sono \(H\) e \(G/H\). Se una equazione è risolubile per radicali, allora il suo gruppo di Galois è risolubile.
35 (30/4/2014): Se una equazione è risolubile per radicali, allora il suo gruppo di Galois è risolubile: fine della dimostrazione. Se il gruppo di Galois di una equazione è risolubile, allora l'equazione è risolubile per radicali.
36 (30/4/2014): Se il gruppo di Galois di una equazione è risolubile, allora l'equazione è risolubile per radicali: fine della dimostrazione. Non risolubilità per radicali dell'equazione generale di grado \(\ge 5\). Equazioni a coefficienti interi non risolubili per radicali. Semplicità del gruppo alterno \(A_n\) per \(n\ge 5\).
37 (6/5/2014): Il gruppo alterno \(A_n\) è semplice per \(n\ge 5\): fine della dimostrazione. Esercizi su estensioni normali e galoisiane.
38 (6/5/2014): Esercizi: calcolo di gruppi di Galois.
39 (7/5/2014): Esercizi: calcolo di gruppi di Galois.
40 (7/5/2014): Esercizi: calcolo di gruppi di Galois.
41 (7/5/2014): Coniugio nei gruppi. Centralizzante di un elemento di un gruppo. Equazione delle classi. I \(p\)-gruppi finiti hanno centro non banale. Il quoziente di un gruppo modulo il centro non è ciclico non banale. I gruppi di ordine \(p^2\) sono abeliani. Primo teorema di Sylow.
42 (13/5/2014): Primo teorema di Sylow: fine dimostrazione e varianti. Laterali doppi. Secondo teorema di Sylow. Normalizzante di un sottogruppo.
43 (13/5/2014): Terzo teorema di Sylow. Gruppi di ordine \(pq\). Gruppo di Galois di \(X^p-a\) su \(\mathbb{Q}\).
44 (14/5/2014): Costruzione del gruppo non abeliano di ordine \(pq\) come sottogruppo del gruppo di Galois su \(\mathbb{Q}\) di \(X^q-2\). Prodotti semidiretti di gruppi.
45 (14/5/2014): Unicità a meno di isomorfismo del gruppo non abeliano di ordine \(pq\). Gruppi di ordine \(pqr\).
46 (14/5/2014): Gruppi di ordine \(pq^2\). Non semplicità dei gruppi di ordine non primo \(< 60\).
47 (20/5/2014): Esercizi sui teoremi di Sylow. Gruppi di ordine 36. Automorfismi di \(\mathbb{Z}/(2)^2\). Classificazione dei gruppi di ordine \(12\).
48 (20/5/2014): Ogni gruppo abeliano finito è somma diretta dei suoi sottogruppi di Sylow. Struttura dei \(p\)-gruppi abeliani finiti. Ogni gruppo abeliano finito è somma diretta di sottogruppi ciclici.
49 (21/5/2014): Risultati di unicità per le decomposizioni di un \(p\)-gruppo abeliano finito in somma diretta di gruppi ciclici.
50 (21/5/2014): Divisori elementari. Risultati di unicità per le decomposizioni di un gruppo abeliano finito in somma diretta di gruppi ciclici. Esercizi sui gruppi finiti.
51 (21/5/2014): Esercizi sui gruppi finiti.
52 (27/5/2014): Torsione nei gruppi abeliani. Sottogruppo di torsione. Gruppi abeliani noetheriani. Se \(G\) è un gruppo abeliano e \(H\) un sottogruppo, \(G\) è noetheriano se e solo se lo sono \(H\) e \(G/H\). Un gruppo abeliano è noetheriano se e solo se è finitamente generato.
53 (27/5/2014): Gruppi abeliani liberi. Ogni gruppo abeliano finitamente generato senza torsione è libero. Struttura dei gruppi abeliani finitamente generati. Rango di un gruppo abeliano finitamente generato.
54 (28/5/2014): Moduli su un anello. Esempi: spazi vettoriali, gruppi finiti, \(K[X]\)-modulo associato a un endomorfismo di uno spazio vettoriale su \(K\). Omomorfismi di moduli. Generatori, dipendenza lineare. Sottomodulo di torsione. Annullatore. Moduli ciclici. Teorema di struttura per i moduli finitamente generati su un PID.
55 (28/5/2014): Decomposizione di un modulo di torsione su un PID in componenti primarie. Forma canonica di Jordan.
56 (28/5/2014): Esercizi sui gruppi finiti.
