Algebra 2 2013-14

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Algebra 2 - anno 2013-14

- Prova scritta del 17-6-2014: Testo e soluzioni | Esito della prova e calendario degli orali
- Prova scritta del 7-7-2014: Testo e soluzioni | Esito della prova e calendario degli orali
- Prova scritta del 23-9-2014: Testo e soluzioni | Esito della prova e calendario degli orali
- Prova scritta del 16-1-2015: Testo e soluzioni | Esito della prova e calendario degli orali
- Prova scritta del 2-2-2015: Testo e soluzioni | Esito della prova e calendario degli orali (NB: la soluzione dell'esercizio 2 prima esposta era errata)

- Descrizione: Il corso è una introduzione alla teoria di Galois delle equazioni, corredata da complementi di teoria dei gruppi e di teoria dei moduli su un anello.

- Programma di massima del corso:
- Moduli su un anello. Costruzioni di moduli. Anello di gruppo e rappresentazioni. Struttura dei moduli finitamente generati su un anello a ideali principali. Applicazioni; forma canonica di Jordan e forme canoniche razionali.
- Azioni di gruppi su insiemi. Equazione delle classi. Teoremi di Sylow e applicazioni. Prodotti semidiretti. Sottogruppi finiti del gruppo moltiplicativo di un campo. Il gruppo moltiplicativo degli interi modulo

$n$ . Gruppi risolubili.
- Estensioni di campi. Campi di spezzamento: esistenza e unicità. Chiusura algebrica e sua unicità. La corrispondenza di Galois. Estensioni normali. Estensioni separabili e inseparabili. Estensioni di Galois. Il teorema fondamentale della teoria di Galois. Il teorema dell'elemento primitivo. Teoria di Galois dei campi finiti. Polinomi ciclotomici e loro irriducibilità. Il gruppo di Galois di un polinomio ciclotomico. Estensioni cicliche e loro caratterizzazione. Criterio di risolubilità per radicali. Il polinomio generale di grado

$>4$ . Equazioni a coefficienti interi che non sono risolubili per radicali. La cubica e la quartica.

- testi:
- I.N. Herstein, Algebra, terza edizione, Editori Riuniti, Roma 1993
- D.J.H. Garling, A Course in Galois Theory, Cambridge University Press
- C. Procesi, Elementi di Teoria di Galois, Zanichelli
- Note di R. Schoof e B. van Geemen, disponibili in forma elettronica all'indirizzo: http://mate.unipv.it/cornalba/notealgebra.pdf

- altri testi suggeriti:
- M.F. Atiyah, I.G. MacDonald, Introduzione all'algebra commutativa, Feltrinelli, 1981
- M. Artin, Algebra, Bollati Boringhieri, Torino 1997
- I.N. Stewart, Galois Theory, second edition, CRC Press

- note:
- Funzioni simmetriche (pdf)
- Il discriminante di un polinomio (pdf)
- Moduli su un dominio a ideali principali (pdf)
- Il gruppo moltiplicativo di

$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ (pdf)
- Il gruppo alterno

$A_n$ è semplice se

$n > 4$ (pdf)
- Numero dei polinomi irriducibili a coefficienti in un campo finito (pdf)

- Esercizi: 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
- Soluzione dell'esercizio 1f di Esercizi 1
- Soluzione dell'esercizio 1 di Esercizi 3 e dell'esercizio 2 di Esercizi 4
- Soluzione dell'esercizio 7 di Esercizi 7

- Diario del corso:

1 (5/3/2014): Elementi invertibili e irriducibili in un dominio. Elementi associati. Domini a fattorizzazione unica (UFD). In un UFD le nozioni di elemento primo e irriducibile coincidono. Massimo comun divisore e minimo comune multiplo in un UFD. Elementi invertibili nell'anello dei polinomi su un dominio.

2 (5/3/2014): Polinomi a coefficienti in un UFD

$A$ . Polinomi primitivi. Contenuto. Lemma di Gauss. Contenuto di un polinomio a coefficienti nel campo delle frazioni

$K$ di

$A$ . Moltiplicatività del contenuto.

3 (5/3/2014): Caratterizzazione degli elementi irriducibili in

$A[X]$ , dove

$A$ è un UFD.

$P\in A[X]$ di grado

$>0$ è irriducibile in

$A[X]$ se e solo se è primitivo e irriducibile in

$K[X]$ . Criterio di irriducibilità di Eisenstein.

4 (11/3/2014): Se

$A$ è un UFD, anche

$A[X]$ lo è. Varianti del criterio di Eisenstein. Esempi.

5 (11/3/2014): Radici razionali di un polinomio a coefficienti interi; analogo per polinomi a coefficienti in un UFD. Irriducibilità per polinomi di grado

$\le 3$ . Riduzione modulo un primo di un polinomio e suo uso per saggiare l'irriducibilità del medesimo.

6 (12/3/2014): Monomi. Anello

$A[S]$ , dove

$A$ è un anello commutativo e

$S$ è un sottoinsieme di un sovraanello commutativo

$B$ di

$A$ ; descrizone esplicita per

$S$ finito. Indipendenza algebrica. Omomorfismo di sostituzione (o di valutazione).

7 (12/3/2014): Sostanziale unicità dell'anello dei polinomi in

$n$ variabili su un anello commutativo. Esercizi sui criteri di irriducibilità per polinomi.

8 (12/3/2014): Esercizi sui criteri di irriducibilità per polinomi. Costruzione dell'anello dei polinomi in

$n$ variabili su un anello commutativo.

9 (18/3/2014): Polinomi simmetrici. Funzioni simmetriche elementari

$\sigma_1,\dots,\sigma_n$ . Coefficienti di un polinomio come funzioni simmetriche elementari delle radici. Ordinamento lessicografico dei monomi. L'insieme dei polinomi simmetrici è

$A[\sigma_1,\dots,\sigma_n]$ .

10 (18/3/2014): L'insieme dei polinomi simmetrici è

$A[\sigma_1,\dots,\sigma_n]$ (fine). Indipendenza algebrica delle funzioni simmetriche elementari. Identità di Newton.

11 (19/3/2014): Identità di Newton (fine). Esempi. Richiami sulle estensioni di campi.

12 (19/3/2014): Teorema di unicità del campo di spezzamento di un polinomio.

13 (19/3/2014): Estensioni normali. Campo di spezzamento di un insieme di polinomi. Una estensione è normale se e solo se è un campo di spezzamento.

14 (25/3/2014): Gruppo di Galois di una estensione di campi. Ogni omomorfismo su

$K$ di una estensione normale di

$K$ in sè è suriettivo. Una sottoestensione di una estensione normale

$L/K$ è normale se e solo se è invariante per

$Gal(L/K)$ .

15 (25/3/2014): Unicità del campo di spezzamento nel caso di grado non finito.

16 (26/3/2014): Campi algebricamente chiusi. Chiusura algebrica di un campo. Esistenza della chiusura algebrica (senza dimostrazione). Unicità a meno di isomorfismo della chiusura algebrica. Campo dei numeri algebrici. Chiusura normale. Esistenza e unicità della chiusura normale. Caratteristica di un campo. Omomorfismo di Frobenius.

17 (1/4/2014): Classificazione dei campi finiti. Polinomi separabili. Criterio differenziale di separabilità. Elementi separabili. Estensioni separabili. Esempi di polinomi non separabili.

18 (1/4/2014): Caratterizzazione dei polinomi inseparabili irriducibili. Campi perfetti. Ogni polinomio su un campo perfetto è separabile. I campi finiti sono perfetti. Le estensioni algebriche di campi perfetti sono perfette.

19 (2/4/2014): Il numero di immersioni di una estensione finita non supera il grado, ed eguaglia il grado se e solo se l'estensione è separabile; corollari. Transitività della separabilità.

20 (2/4/2014): Estensioni di Galois. Per una estensione di Galois il grado è pari all'ordine del gruppo di Galois. Campo fisso di un sottogruppo del gruppo di Galois. Il teorema fondamentale della teoria di Galois (inizio). Esercizi su campi di spezzamento e estensioni normali.

21 (2/4/2014): Esercizi su campi di spezzamento e estensioni normali.

22 (8/4/2014): Il teorema fondamentale della teoria di Galois (fine).

23 (8/4/2014): Teoria di Galois per campi finiti. Ogni sottogruppo finito del gruppo moltiplicativo di un campo è ciclico.

24 (9/4/2014): Guppo di Galois di un polinomio. Esempi. Il discriminante. Determinante di Vandermonde.

25 (9/4/2014): Discriminante e gruppo di Galois. Calcolo del discriminante di un polinomio di terzo grado.

26 (9/4/2014): Il gruppo di Galois di una cubica. Esercizi sulla corrispondenza di Galois.

27 (15/4/2014): La corrispondenza di Galois per

$X^4-7$ su

$\mathbb Q$ . Risoluzione per radicali della cubica.

28 (15/4/2014): Ancora sulla risoluzione per radicali della cubica. Il gruppo di Galois della equazione generale di grado

$n$ .

29 (16/4/2014): Polinomi interi il cui gruppo di Galois è il gruppo simmetrico. Caratterizzazione delle estensioni semplici.

30 (16/4/2014): Teorema dell'elemento primitivo. Radici dell'unità. Polinomi ciclotomici. Estensioni ciclotomiche. I polinomi ciclotomici hanno coefficienti interi.

31 (16/4/2014): Irriducibilità sugli interi dei polinomi ciclotomici. Gruppo di Galois di una estensione ciclotomica.

32 (29/4/2014): Estensioni cicliche. Gruppo di Galois di una estensione

$K[\sqrt[n]{\vartheta}]$ . Teorema di Abel sulle estensioni radiciali di esponente primo.

33 (29/4/2014): Caratteri. Teorema di Artin sulla indipendenza dei caratteri. Caratterizzazione delle estensioni cicliche. Estensioni per radicali. Risolubilità per radicali. Gruppi risolubili. Ogni sottogruppo di un gruppo risolubile è risolubile.

34 (30/4/2014): Proprietà dei gruppi risolubili. Se

$H$ è un sottogruppo normale di

$G$ , allora

$G$ è risolubile se e solo se lo sono

$H$ e

$G/H$ . Se una equazione è risolubile per radicali, allora il suo gruppo di Galois è risolubile.

35 (30/4/2014): Se una equazione è risolubile per radicali, allora il suo gruppo di Galois è risolubile: fine della dimostrazione. Se il gruppo di Galois di una equazione è risolubile, allora l'equazione è risolubile per radicali.

36 (30/4/2014): Se il gruppo di Galois di una equazione è risolubile, allora l'equazione è risolubile per radicali: fine della dimostrazione. Non risolubilità per radicali dell'equazione generale di grado

$\ge 5$ . Equazioni a coefficienti interi non risolubili per radicali. Semplicità del gruppo alterno

$A_n$ per

$n\ge 5$ .

37 (6/5/2014): Il gruppo alterno

$A_n$ è semplice per

$n\ge 5$ : fine della dimostrazione. Esercizi su estensioni normali e galoisiane.

38 (6/5/2014): Esercizi: calcolo di gruppi di Galois.

39 (7/5/2014): Esercizi: calcolo di gruppi di Galois.

40 (7/5/2014): Esercizi: calcolo di gruppi di Galois.

41 (7/5/2014): Coniugio nei gruppi. Centralizzante di un elemento di un gruppo. Equazione delle classi. I

$p$ -gruppi finiti hanno centro non banale. Il quoziente di un gruppo modulo il centro non è ciclico non banale. I gruppi di ordine

$p^2$ sono abeliani. Primo teorema di Sylow.

42 (13/5/2014): Primo teorema di Sylow: fine dimostrazione e varianti. Laterali doppi. Secondo teorema di Sylow. Normalizzante di un sottogruppo.

43 (13/5/2014): Terzo teorema di Sylow. Gruppi di ordine

$pq$ . Gruppo di Galois di

$X^p-a$ su

$\mathbb{Q}$ .

44 (14/5/2014): Costruzione del gruppo non abeliano di ordine

$pq$ come sottogruppo del gruppo di Galois su

$\mathbb{Q}$ di

$X^q-2$ . Prodotti semidiretti di gruppi.

45 (14/5/2014): Unicità a meno di isomorfismo del gruppo non abeliano di ordine

$pq$ . Gruppi di ordine

$pqr$ .

46 (14/5/2014): Gruppi di ordine

$pq^2$ . Non semplicità dei gruppi di ordine non primo

$< 60$ .

47 (20/5/2014): Esercizi sui teoremi di Sylow. Gruppi di ordine 36. Automorfismi di

$\mathbb{Z}/(2)^2$ . Classificazione dei gruppi di ordine

$12$ .

48 (20/5/2014): Ogni gruppo abeliano finito è somma diretta dei suoi sottogruppi di Sylow. Struttura dei

$p$ -gruppi abeliani finiti. Ogni gruppo abeliano finito è somma diretta di sottogruppi ciclici.

49 (21/5/2014): Risultati di unicità per le decomposizioni di un

$p$ -gruppo abeliano finito in somma diretta di gruppi ciclici.

50 (21/5/2014): Divisori elementari. Risultati di unicità per le decomposizioni di un gruppo abeliano finito in somma diretta di gruppi ciclici. Esercizi sui gruppi finiti.

51 (21/5/2014): Esercizi sui gruppi finiti.

52 (27/5/2014): Torsione nei gruppi abeliani. Sottogruppo di torsione. Gruppi abeliani noetheriani. Se

$G$ è un gruppo abeliano e

$H$ un sottogruppo,

$G$ è noetheriano se e solo se lo sono

$H$ e

$G/H$ . Un gruppo abeliano è noetheriano se e solo se è finitamente generato.

53 (27/5/2014): Gruppi abeliani liberi. Ogni gruppo abeliano finitamente generato senza torsione è libero. Struttura dei gruppi abeliani finitamente generati. Rango di un gruppo abeliano finitamente generato.

54 (28/5/2014): Moduli su un anello. Esempi: spazi vettoriali, gruppi finiti,

$K[X]$ -modulo associato a un endomorfismo di uno spazio vettoriale su

$K$ . Omomorfismi di moduli. Generatori, dipendenza lineare. Sottomodulo di torsione. Annullatore. Moduli ciclici. Teorema di struttura per i moduli finitamente generati su un PID.

55 (28/5/2014): Decomposizione di un modulo di torsione su un PID in componenti primarie. Forma canonica di Jordan.

56 (28/5/2014): Esercizi sui gruppi finiti.