Soluzione dell'esercizio 7 di Esercizi 7

Enunciato:
Sia \(K\) un sottocampo di \(\mathbb{R}\), e sia \(P(X)\) un polinomio cubico irriducibile a coefficienti in \(K\) con tre radici reali.

1. Poniamo \(F=K[a]\), dove \(a\) è un numero reale tale che \(a^p\in K\) per qualche primo \(p\). Mostrare che \(P\) è irriducibile su \(F\).
2. Sia \(L\subset \mathbb{R}\) una estensione per radicali di \(K\). Mostrare che \(P\) è irriducibile su \(L\).

Soluzione:

1. Il discriminante \(\Delta\) di \(P\) è positivo perché tutte le radici di \(P\) sono reali. Sia \(E\) un campo di spezzamento di \(P\) su \(K\). Si sa che \(E=K[\delta,\eta]\), dove \(\delta\in \mathbb{R}\) è una radice quadrata di \(\Delta\) e \(\eta\) è una qualsiasi radice di \(P\). Il polinomio \(P\) è irriducibile anche su \(K[\delta]\). Rimpiazzando \(K\) con \(K[\delta]\) possiamo quindi supporre che \(\delta\in K\); quindi \([E:K]=3\). Il polinomio \(X^p-a^p\) non ha radici in \(K\subset\mathbb{R}\); infatti se ne avesse queste non potrebbero essere che \(\pm a\), e ne seguirebbe che \(F=K\) contro l'ipotesi di irriducibilità di \(P\). Il teorema di Abel dice allora che \(X^p-a^p\) è irriducibile su \(K\). Quindi \([F:K]=p\). Supponiamo per assurdo che \(P\) non sia irriducibile su \(F\). Allora \(F\) contiene una radice di \(P\), e quindi il campo di spezzamento \(E\). Ne segue in particolare che \(3=[E:K]\big| [F:K]=p\). Ne segue che \(p=3\) e che \(E=F\). Ma questo è assurdo dato che \(F\) non è normale su \(K\).
2. La tesi segue applicando ripetutamente il punto a se dimostriamo che ogni estensione per radicali è ottenibile con estrazione di radici di esponente primo. Nel dimostrarlo possiamo chiaramente limitarci a estensioni della forma \(M\subset M[b]\), dove \(M\) è un campo e \(b^n\in M\). Scriviamo \(n=p_1\cdots p_h\), dove i \(p_i\) sono primi. Allora \[ M\subset M_1=M[b_1]\subset M_2=M[b_2]\subset\dots \subset M_h=M[b_h] \] dove \(b_h=b\) e \(b_j=b_{j+1}^{p_{j+1}}\) per \(j< h\). È chiaro che \(M_j=M_{j-1}[b_j]\) e che \(b_j^{p_j}\in M_{j-1}\) per ogni \(j\).