Soluzione dell'esercizio 7 di Esercizi 7

Enunciato:
Sia $K$ un sottocampo di $\mathbb{R}$, e sia $P(X)$ un polinomio cubico irriducibile a coefficienti in $K$ con tre radici reali.

1. Poniamo $F=K[a]$, dove $a$ è un numero reale tale che $a^p\in K$ per qualche primo $p$. Mostrare che $P$ è irriducibile su $F$.
2. Sia $L\subset \mathbb{R}$ una estensione per radicali di $K$. Mostrare che $P$ è irriducibile su $L$.

Soluzione:

1. Il discriminante $\Delta$ di $P$ è positivo perché tutte le radici di $P$ sono reali. Sia $E$ un campo di spezzamento di $P$ su $K$. Si sa che $E=K[\delta,\eta]$, dove $\delta\in \mathbb{R}$ è una radice quadrata di $\Delta$ e $\eta$ è una qualsiasi radice di $P$. Il polinomio $P$ è irriducibile anche su $K[\delta]$. Rimpiazzando $K$ con $K[\delta]$ possiamo quindi supporre che $\delta\in K$; quindi $[E:K]=3$. Il polinomio $X^p-a^p$ non ha radici in $K\subset\mathbb{R}$; infatti se ne avesse queste non potrebbero essere che $\pm a$, e ne seguirebbe che $F=K$ contro l'ipotesi di irriducibilità di $P$. Il teorema di Abel dice allora che $X^p-a^p$ è irriducibile su $K$. Quindi $[F:K]=p$. Supponiamo per assurdo che $P$ non sia irriducibile su $F$. Allora $F$ contiene una radice di $P$, e quindi il campo di spezzamento $E$. Ne segue in particolare che $3=[E:K]\big| [F:K]=p$. Ne segue che $p=3$ e che $E=F$. Ma questo è assurdo dato che $F$ non è normale su $K$.
2. La tesi segue applicando ripetutamente il punto a se dimostriamo che ogni estensione per radicali è ottenibile con estrazione di radici di esponente primo. Nel dimostrarlo possiamo chiaramente limitarci a estensioni della forma $M\subset M[b]$, dove $M$ è un campo e $b^n\in M$. Scriviamo $n=p_1\cdots p_h$, dove i $p_i$ sono primi. Allora $$M\subset M_1=M[b_1]\subset M_2=M[b_2]\subset\dots \subset M_h=M[b_h]$$ dove $b_h=b$ e $b_j=b_{j+1}^{p_{j+1}}$ per $j< h$. È chiaro che $M_j=M_{j-1}[b_j]$ e che $b_j^{p_j}\in M_{j-1}$ per ogni $j$.