Soluzione dell'esercizio 1f di Esercizi 1

Enunciato:
Decidere se il polinomio \(P(X)=X^6 - 14X^5 + 1\) è irriducibile su \(\mathbb{Q}\).

Soluzione:
Mostriamo che il polinomio \(P\) è irriducibile. La riduzione di \(P\) modulo \(7\) è \(X^6+1\), che non ha radici in \(\mathbb{F}_7\) in quanto il piccole teorema di Fermat dice che \(a^6=1\) per ogni elemento non nullo \(a\in \mathbb{F}_7\). Sempre in \(\mathbb{F}_7\), \((-1)^3=(-2)^3=3^3=-1\), quindi la decomposizione di \(X^6+1\) in fattori irriducibili è \(X^6+1=(X^2+1)(X^2+2)(X^2-3)\). Se \(P\) fosse riducibile avrebbe un fattore irriducibile \(Q\) di grado \(\le 3\) la cui riduzione modulo \(7\) dividerebbe \(X^6+1\) e sarebbe quindi uno dei fattori irriducibili di \(X^6+1\). Inoltre il termine noto di \(Q\) dovrebbe dividere \(1\) e quindi potrebbe essere solo \(\pm 1\). D'altra parte \(\pm 1\) non è congruo né a \(-2\) né a \(3\) modulo \(7\). Quindi la riduzione di \(Q\) modulo \(7\) è \(X^2+1\) e \(Q(X)=X^2+mX+1\) per qualche intero \(m\).
Riducendo modulo \(5\) se ne ricava che \[ X^6+X^5+1=(X^2+aX+1)(X^4+bX^3+cX^2+dX+1)\quad \text{in }\mathbb{F}_5 \] dove \(a,b,c,d\in \mathbb{F}_5\). Uguagliando i coefficienti dei termini di pari grado nei due membri si ricava che \(d=-a\), \(b=1-a\), e infine che: \[ 0=c+a-a^2+1=1-2a+ac=c-a^2+1 \] Ne segue che \(a=0\) e \(1=0\)!! In conclusione \(P\) deve essere irriducibile.