Algebra 2 - anno 2013-14

Esercizi 2 (12/3/2014)

Siano $X_1,\dots,X_n$ indeterminate. Poniamo $$p_k(X_1,\dots,X_n)= \sum_{i=1}^n X_i^k$$ per ogni intero $k$ tale che $0\le k\le n$.

1. Esprimere $p_i$ come polinomio nelle funzioni simmetriche elementari per $i\le 4$.
2. Dimostrare l'identità di Newton $$\sum_{i=0}^n (-1)^i\sigma_ip_{n-i}=0$$
3. Poniamo $$\Sigma(X_1,\dots,X_n)=\prod_{i< j}(X_i+X_j)\ , \quad V(X_1,\dots,X_n)=\prod_{i< j}(X_j-X_i)$$
   1. Mostrare che $\Sigma$ è un polinomio simmetrico.
   2. Mostrare che, se $\tau$ è una permutazione di $\{1,\dots,n\}$, $V(X_{\tau(1)},\dots,X_{\tau(n)})=\epsilon(\tau)V(X_1,\dots,X_n)$, dove $\epsilon(\tau)$ è il segno di $\tau$.
   3. Poniamo $\Delta= V^2$. Mostrare che $\Delta$ è un polinomio simmetrico.
   4. Esprimere $\Sigma$ come polinomio nelle funzioni simmetriche elementari per $n=2,3,4$.
   5. Esprimere $\Delta$ come polinomio nelle funzioni simmetriche elementari per $n=3$.
4. Mostrare che $$\sum_{i,j,k\text{ distinti}}X_i^2X_j^2X_k$$ è un polinomio simmetrico ed esprimerlo come polinomio nelle funzioni simmetriche elementari per $n\le 5$.