Algebra 2 - anno 2013-14

Esercizi 6 (11/4/2014)

1. Calcolare i gruppi di Galois dei seguenti polinomi:
   1. \(X^3-10\) su \(\mathbb{Q}\), \(\mathbb{Q}[\sqrt{2}]\) e \(\mathbb{Q}[\sqrt{-3}]\);
   2. \(X^3-X-1\) su \(\mathbb{Q}[\sqrt{-23}]\);
   3. \(X^4-5\) su \(\mathbb{Q}\), \(\mathbb{Q}[\sqrt{5}]\), \(\mathbb{Q}[\sqrt{-5}]\) e \(\mathbb{Q}[\sqrt{-1}]\);
   4. \(X^4+1\) e \(X^8-1\) su \(\mathbb{Q}\);
   5. \((X^2-2)(X^2-3)(X^2-5)(X^2-7)\) su \(\mathbb{Q}\);
   6. \((X^3-2)(X^3-3)(X^2-2)\) su \(\mathbb{Q}[\sqrt{-3}]\).
   In ognuno di questi casi descrivere esplicitamente la corrispondenza di Galois.
2. Mostrare che il discriminante del polinomio quintico \(X^5+pX+q\) è \(\Delta=4^4p^5+5^5q^4\).
3. Calcolare il gruppo di Galois del polinomio \(P(X)=X^5+X+1\in \mathbb{Q}[X]\) e dire se \(P(X)\) è irriducibile.