Algebra 2 - anno 2013-14
Esercizi 3 (20/3/2014)
- Sia \(p\) un primo. Mostrare che il polinomio
\[
X^{p-1} + X^{p-2} + \ldots + X + 1
\]
è irriducibile in \(\mathbb Z[X]\).
Più in generale, per \(n\) intero, \(n \geq 1\), mostrare che il polinomio
\[
\frac{X^{p^n}-1}{X^{p^{n-1}}-1}
\]
è irriducibile in \(\mathbb Z[X]\).
- Sia \(p\) un primo, e sia \(\mathbb F_p\) il campo con \(p\) elementi. Contare i polinomi monici irriducibili in \(\mathbb F_p[X]\) di grado \(1\), \(2\) e \(3\).