Algebra 2 - anno 2013-14
Esercizi 7 (29/4/2014)
- Si consideri il polinomio \(P(X)=X^5+X+1\in \mathbb{Q}[X]\). Mostrare che \(P(X)=0\) è risolubile per radicali.
- Sia \(K\) una estensione di grado finito di \(\mathbb{Q}\). Mostrare che \(K\) contiene solo un numero finito di radici dell'unità.
- Sia \(K\) un campo, e sia \(n\) un intero dispari positivo. Mostrare che se \(K\) contiene una radice \(n\)-esima primitiva dell'unità, allora contiene anche una radice \(2n\)-esima primitiva dell'unità.
- Mostrare che se \(p\) è primo allora
\[
\Phi_{p^n}(X)=1+X^{p^{n-1}}+X^{2p^{n-1}}+\cdots +X^{(p-1){p^{n-1}}}
\]
- Sia \(\zeta\) una radice \(n\)-esima primitiva dell'unità su \(\mathbb{Q}\), con \(n> 2\). Poniamo \(\eta=\zeta+\zeta^{-1}\). Mostrare che \(\big[\mathbb{Q}[\zeta]:\mathbb{Q}[\eta]\big]=2\), trovare il polinomio minimo di \(\zeta\) su \(\mathbb{Q}[\eta]\) e determinare il gruppo di Galois di \(\mathbb{Q}[\zeta]\) su \(\mathbb{Q}[\eta]\).
- Sia \(P(X)\) un polinomio cubico a coefficienti reali. Mostrare che \(P\) ha tre radici reali se e solo se il suo discriminante è positivo.
- Sia \(K\) un sottocampo di \(\mathbb{R}\), e sia \(P(X)\) un polinomio cubico irriducibile a coefficienti in \(K\) con tre radici reali.
- Poniamo \(F=K[a]\), dove \(a\) è un numero reale tale che \(a^p\in K\) per qualche primo \(p\). Mostrare che \(P\) è irriducibile su \(F\).
- Sia \(L\subset \mathbb{R}\) una estensione per radicali di \(K\). Mostrare che \(P\) è irriducibile su \(L\).