Algebra 2 2013-14

Algebra 2 - anno 2013-14

Esercizi 7 (29/4/2014)

Si consideri il polinomio $P(X)=X^5+X+1\in \mathbb{Q}[X]$ . Mostrare che $P(X)=0$ è risolubile per radicali.
Sia $K$ una estensione di grado finito di $\mathbb{Q}$ . Mostrare che $K$ contiene solo un numero finito di radici dell'unità.
Sia $K$ un campo, e sia $n$ un intero dispari positivo. Mostrare che se $K$ contiene una radice $n$ -esima primitiva dell'unità, allora contiene anche una radice $2n$ -esima primitiva dell'unità.
Mostrare che se $p$ è primo allora $\Phi_{p^n}(X)=1+X^{p^{n-1}}+X^{2p^{n-1}}+\cdots +X^{(p-1){p^{n-1}}}$
Sia $\zeta$ una radice $n$ -esima primitiva dell'unità su $\mathbb{Q}$ , con $n> 2$ . Poniamo $\eta=\zeta+\zeta^{-1}$ . Mostrare che $\big[\mathbb{Q}[\zeta]:\mathbb{Q}[\eta]\big]=2$ , trovare il polinomio minimo di $\zeta$ su $\mathbb{Q}[\eta]$ e determinare il gruppo di Galois di $\mathbb{Q}[\zeta]$ su $\mathbb{Q}[\eta]$ .
Sia $P(X)$ un polinomio cubico a coefficienti reali. Mostrare che $P$ ha tre radici reali se e solo se il suo discriminante è positivo.
Sia K un sottocampo di R, e sia P(X) un polinomio cubico irriducibile a coefficienti in K con tre radici reali.
1. Poniamo $F=K[a]$ , dove $a$ è un numero reale tale che $a^p\in K$ per qualche primo $p$ . Mostrare che $P$ è irriducibile su $F$ .
2. Sia $L\subset \mathbb{R}$ una estensione per radicali di $K$ . Mostrare che $P$ è irriducibile su $L$ .