Algebra 2 2013-14

Algebra 2 - anno 2013-14

Esercizi 4 (20/3/2014)

Sia $\zeta= (-1 + \sqrt{3} i)/2$ . Mostrare che $\mathbb{Q}[\zeta]$ è un campo di spezzamento di $X^4 + X^2 + 1$ su $\mathbb{Q}$ .
Per ognuno dei polinomi $X^4 -3X +2$ , $X^4 +3X -2$ e $X^4 -3$ trovare un campo di spezzamento $K$ su $\mathbb{Q}$ , calcolare $[K : \mathbb{Q}]$ e trovare $\alpha \in K$ tale che $K = \mathbb{Q}[\alpha]$ .
Sia $K$ un campo di spezzamento su $\mathbb{Q}$ di $P(X)=X^4-7$ . Calcolare il grado di $K$ su $\mathbb{Q}$ e trovare tutti i campi intermedi tra $\mathbb{Q}$ e $K$ .
Trovare un campo di spezzamento per $X^3 - 5$ su $\mathbb{F}_7$ , $\mathbb{F}_{11}$ , $\mathbb{F}_{13}$ .
Sia K un campo.
1. Sia $L$ una estensione normale finita di $K$ . Sia $P$ un polinomio irriducibile in $K[X]$ , e siano $Q$ e $R$ due fattori monici irriducibili di $P$ in $L[X]$ . Mostrare che esiste un automorfismo $\varphi$ di $L$ su $K$ tale che $\varphi(Q)=R$ .
2. Mostrare con un controesempio che questa conclusione può non essere vera se $L$ non è normale su $K$ .
Mostrare con un esempio che, se $L$ è una estensione normale di $K$ e $F$ una estensione normale di $L$ , non è necessariamente vero che $F$ è una estensione normale di $K$ .
Sia K un campo.
1. Sia $L$ una estensione algebrica di $K$ . Mostrare che tra le estensioni normali di $K$ contenute in $L$ ne esiste una massima.
2. Trovare la massima estensione normale di $\mathbb{Q}$ in $\mathbb{Q}[\sqrt[4]{7}]$ .