Algebra 2 - anno 2013-14
Esercizi 4 (20/3/2014)
- Sia \(\zeta= (-1 + \sqrt{3} i)/2\). Mostrare che \(\mathbb{Q}[\zeta]\) è un campo di spezzamento di \(X^4 + X^2 + 1\) su \(\mathbb{Q}\).
- Per ognuno dei polinomi \(X^4 -3X +2\), \(X^4 +3X -2\) e \(X^4 -3\) trovare un campo di spezzamento
\(K\) su \(\mathbb{Q}\), calcolare \([K : \mathbb{Q}]\) e trovare \(\alpha \in K\) tale che \(K = \mathbb{Q}[\alpha]\).
- Sia \(K\) un campo di spezzamento su \(\mathbb{Q}\) di \(P(X)=X^4-7\). Calcolare il grado di \(K\) su \(\mathbb{Q}\) e trovare tutti i campi intermedi tra \(\mathbb{Q}\) e \(K\).
- Trovare un campo di spezzamento per \(X^3 - 5\) su \(\mathbb{F}_7\), \(\mathbb{F}_{11}\), \(\mathbb{F}_{13}\).
- Sia \(K\) un campo.
- Sia \(L\) una estensione normale finita di \(K\). Sia \(P\) un polinomio irriducibile in \(K[X]\), e siano \(Q\) e \(R\) due fattori monici irriducibili di \(P\) in \(L[X]\). Mostrare che esiste un automorfismo \(\varphi\) di \(L\) su \(K\) tale che \(\varphi(Q)=R\).
- Mostrare con un controesempio che questa conclusione può non essere vera se \(L\) non è normale su \(K\).
- Mostrare con un esempio che, se \(L\) è una estensione normale di \(K\) e \(F\) una estensione normale di \(L\), non è necessariamente vero che \(F\) è una estensione normale di \(K\).
- Sia \(K\) un campo.
- Sia \(L\) una estensione algebrica di \(K\). Mostrare che tra le estensioni normali di \(K\) contenute in \(L\) ne esiste una massima.
- Trovare la massima estensione normale di \(\mathbb{Q}\) in \(\mathbb{Q}[\sqrt[4]{7}]\).