Geometria 1 2015-16

Geometria 1 - anno 2015-16

- Prova scritta del 23-2-2017: Testo e soluzioni | Esito della prova
- Prova scritta del 23-1-2017: Testo e soluzioni | Esito della prova
- Prova scritta del 26-9-2016: Testo e soluzioni | Esito della prova
- Prova scritta del 13-9-2016: Testo e soluzioni | Esito della prova
- Prova scritta del 4-7-2016: Testo e soluzioni | Esito della prova
- Prova scritta del 13-6-2016: Testo e soluzioni | Esito della prova | Calendario degli orali

- Prossimi appelli di esame:
- 23 febbraio 2017 ore 14:30 aula E10

- Descrizione del corso: La parte principale del corso è una introduzione alla topologia generale e alle prime nozioni di topologia algebrica. Una seconda parte è una introduzione alla geometria proiettiva.

- Programma di massima del corso:
Spazi topologici; aperti, chiusi, intorni e nozioni collegate. Funzioni continue. Spazi connessi; connessione e applicazioni continue. Spazi compatti; compattezza e applicazioni continue. Spazi di Hausdorff; spazi T3 e T4. Funzioni continue tra spazi di Hausdorff e/o compatti. Costruzione di spazi topologici: sottospazi, quoziente di uno spazio topologico modulo una relazione di equivalenza, prodotto di spazi topologici. Spazi metrici; funzioni continue tra spazi metrici. Completezza; completamento di uno spazio metrico. Caratterizzazione della compattezza per gli spazi metrici. Funzioni uniformemente continue tra spazi metrici. Teorema di Baire. Teorema di Ascoli. Omotopia tra applicazioni continue. Spazi semplicemente connessi. Rivestimenti; teorema di sollevamento delle omotopie. Il gruppo fondamentale di uno spazio topologico. Gruppo fondamentale del cerchio e delle sfere. Cenni al teorema di Van Kampen. Richiami sulle isometrie nel piano euclideo. Introduzione alla geometria proiettiva; motivazioni storiche. Spazio proiettivo associato a uno spazio vettoriale (su un campo qualunque, ma con particolare riferimento al campo reale); sottospazi proiettivi; coordinate omogenee. Immersione del piano euclideo nel piano proiettivo reale. Proiettività; proprietà proiettive. Coniche; classificazioni proiettiva e affine; polarità. Cenni alle quadriche.

- testi:
- topologia:
  - C. Kosniowski, Introduzione alla topologia algebrica, Zanichelli, Bologna 1988
  - Marco Manetti, Topologia, Springer
  - M. Cornalba, Complementi sugli spazi metrici, scaricabile qui

- geometria proiettiva:
  - E. Sernesi, Geometria 1, seconda edizione, Bollati Boringhieri, Torino 2000

- note:
- Basi (pdf)
- Spazi normati localmente compatti (pdf)
- Sollevamento di omotopie (pdf)
- Piccola introduzione alla geometria proiettiva (pdf)
- Linearità delle isometrie di $\mathbb{R}^n$ (pdf)
- Quadriche (pdf)

- Modalità di esame: prova scritta di 3 ore, orale su richiesta del docente o dello studente
- Esercizi proposti:

1 (per 11/3/2016). Kosniowski: 1.3 (b), (d), (e); 1.8 (b), (d); 2.2 (b); 2.3 (a), (b), (e)

2 (per 18/3/2016). Kosniowski: 2.8 (a), (b); 2.9 (c), (d), (f); 3.2 (b), (d); 4.5 (f), (h), (i);
  Esercizi 1.

3 (per 23/3/2016). Kosniowski: 6.2 (d); 6.6 (g), (j); 7.5 (c); 7.13 (a), (f)

4 (per 19/4/2016). Kosniowski: 5.3 (d), (f); 5.13 (a), (b); 9.8 (d), (e), (f), (h), (i), (j)

5 (per 29/4/2016). Note sugli spazi metrici: 2.2, 3.1, 3.2, 3.3, 3.5, 3.6;
  Esercizi 2.

6 (per 6/5/2016). Note sugli spazi metrici: 5.1, 5.2, 5.3, 6.1, 6.3, 7.1

7 (per 20/5/2016). Esercizi 3.

- Diario del corso:

1 (1/3/2016): Introduzione al corso. La nozione di topologia. Spazi topologici. Funzioni continue. La composizione di funzioni continue è continua. Esempi di spazi topologici: topologia banale, topologia discreta, topologia dei complementari di sottoinsiemi finiti. Spazi metrici; topologia metrica. Caratterizzazioni degli aperti in uno spazio metrico. Richiamo su spazi vettoriali euclidei e disuguaglianza di Schwarz. Norme su uno spazio vettoriale reale. Esempio: norma indotta da un prodotto scalare positivo definito. Distanza indotta da una norma. Esempio: topologia data dalla metrica euclidea su $\mathbb R$ e suoi sottinsiemi. Continuità di una funzione in un punto. Una funzione è continua se e solo se è continua in ogni punto.

2 (2/3/2016): Continuità puntuale in spazi metrici; condizione di continuità in termini di $\varepsilon$ e $\delta$. Esempi di metriche: metrica banale su un insieme qualsiasi, metrica euclidea su $\mathbb R^n$ e suoi sottoinsiemi, metrica $\rm L_\infty$ sullo spazio delle funzioni limitate su un insieme. Metriche equivalenti e norme equivalenti. Metriche equivalenti danno la stessa topologia. Esempi di metriche non equivalenti che danno la stessa topologia. Spazi di Hausdorff. Esempi di spazi non di Hausdorff: topologia dei complementari di insiemi finiti, topologia delle semirette aperte su $\mathbb R$. Gli spazi metrici sono di Hausdorff.

3 (3/3/2016): Norme $\rm L_1$ e $\rm L_\infty$ su $\mathbb R^n$; loro equivalenza con la norma euclidea. Chiusi e loro proprietà. Intorni. Topologia indotta.

4 (4/3/2016): Continuità e sottospazi. La topologia indotta su un sottospazio di uno spazio metrico è la topologia metrica. Funzioni Lipschitziane e continuità delle medesime. La distanza da un punto in uno spazio metrico è continua; distanza da un sottinsieme; la distanza da un sottinsieme è continua. Esempi di continuità: funzioni semicontinue e localmente costanti. Caratterizzazione della continuità tramite i chiusi. Chiusura. Esempi di chiusura. Caratterizzazione della continuità tramite la chiusura.

5 (8/3/2016): Parte interna, frontiera. Caratterizzazione di chiusura e frontiera mediante gli intorni. Introduzione alla geometria proiettiva. Prospettività tra piani. Spazio proiettivo su uno spazio vettoriale. Dimensione proiettiva. Coordinate omogenee e affini. Sottospazi proiettivi. Intersezione tra sottospazi; versione proiettiva della formula di Grassmann. Esempio: due rette nel piano proiettivo si intersecano sempre.

6 (9/3/2016): Proiettività. Collineazioni. Le proiettività sono collineazioni. Dati due insiemi $\{p_0,\dots,p_n\}$ e $\{q_0,\dots,q_n\}$ di punti a $n$ a $n$ indipendenti in $\mathbb P^{n-1}$ esiste una e una sola proiettività $f$ tale che $f(p_i)=q_i$ per ogni $i$. Tipi particolari di proiettività: traslazioni e applicazioni lineari in $K^n$. Le proiettività che portano l'iperpiano all'infinito in sè sono affinità. Additività delle collineazioni di $K^n$ che lasciano fissa l'origine quando $n\ge 2$. Le collineazioni di $K^n$, $n\ge 2$, sono affinità quando $K$ è il campo razionale; questo è falso quando $K$ è il campo complesso.

7 (10/3/2016): Per ogni collineazione $f$ di uno spazio vettoriale sul campo $K$ che porta l'origine nell'origine esiste un automorfismo $\sigma$ di $K$ tale che $f$ sia $\sigma$-lineare. Il solo automorfismo del campo reale è l'identità. Corollario: ogni collineazione di uno spazio vettoriale reale è una trasformazione affine.

8 (11/3/2016): Esercizi su spazi metrici e spazi topologici. Compattezza. I chiusi di uno spazio compatto sono compatti.

9 (15/3/2016): L'immagine di un compatto tramite una applicazione continua è un compatto. I compatti in uno spazio di Hausdorff sono chiusi. Applicazioni aperte, applicazioni chiuse. Esempi di applicazioni continue non aperte e/o non chiuse. Una applicazione continua da uno spazio compatto in uno di Hausdorff è chiusa. Omeomorfismi. Una applicazione continua e biunivoca da uno spazio compatto in uno di Hausdorff è un omeomorfismo. In uno spazio di Hausdorff i punti sono chiusi. Spazi T3 e T4. Uno spazio compatto di Hausdorff è T4. Compattezza degli intervalli chiusi. I compatti in $\mathbb R$ sono i chiusi limitati.

10 (16/3/2016): La topologia prodotto nel caso di prodotti finiti. Le proiezioni sui fattori sono continue e aperte. Criterio di continuità per le applicazioni in un prodotto. Associatività e commutatività del prodotto di spazi topologici. La topologia prodotto su $\mathbb R^n$ coincide con la topologia euclidea. Basi di una topologia. Caratterizzazione delle famiglie di sottinsiemi che sono basi di una topologia. Dati uno spazio topologico $X$ e una sua base $\mathcal B$, $X$ è compatto se e solo se ogni suo ricoprimento con elementi di $\mathcal B$ ha un sottoricoprimento finito.

11 (17/3/2016): Un prodotto di spazi topologici è di Hausdorff se e solo se lo sono i fattori. Un prodotto di spazi topologici è compatto se e solo se lo sono i fattori. I compatti in $\mathbb R^n$ sono i chiusi limitati. Le funzioni continue a valori reali su un compatto hanno massimo e minimo.

12 (18/3/2016): Esercizi sulle proiettività, l'operatore di chiusura e le funzioni continue.

13 (22/3/2016): Esercizi. Proiezione stereografica della sfera. $X$ è di Hausdorff se e solo se la diagonale in $X\times X$ è chiusa. Unicità del limite per applicazioni continue in spazi di Hausdorff. Spazi connessi. Gli intervalli chiusi sono connessi.

14 (23/3/2016): La chiusura di un connesso è connessa. Una unione di connessi con intersezione non vuota è connessa; corollari e varianti. L'immagine di un connesso tramite una applicazione continua è connessa. Sottinsiemi connessi della retta reale. Applicazione: teorema dei valori intermedi. Un prodotto di spazi topologici è connesso se e solo se lo sono i fattori. Cammini in uno spazio topologico. Spazi connessi per archi. Gli spazi connessi per archi sono connessi. Gli spazi connessi in cui ogni punto ha un intorno connesso per archi sono connessi per archi.

15 (5/4/2016): Componenti connesse. Le componenti connesse sono chiuse; se sono in numero finito sono anche aperte. Un esempio di spazio connesso ma non connesso per archi. Topologia quoziente. Proprietà universale della topologia quoziente. Quoziente modulo un sottinsieme. Esempi: quozienti non di Hausdorff di spazi di Hausdorff, la "cerniera lampo".

16 (6/4/2016): L'immagine di una mappa continua aperta (o chiusa) ha la topologia quoziente. Topologia quoziente sullo spazio proiettivo reale o complesso $n$-dimensionale. Richiamo sulla continuità delle operazioni elementari. Esercizi su omeomorfismi e compattezza.

17 (7/4/2016): Esempi di quozienti. Sfera $n$-dimensionale come quoziente della palla chiusa $n$-dimensionale modulo il bordo.

18 (8/4/2016): Spazio proiettivo reale $n$-dimensionale come quoziente della sfera, dello spazio $(n+1)$-dimensionale meno l'origine o della palla chiusa modulo identificazione dei punti antipodali del bordo; equivalenza tra le tre definizioni. Azioni di gruppi. Azioni topologiche. Quoziente modulo una azione di gruppo. Esempi: spazi proiettivi, cerchio unitario, cilindro, nastro di Möbius.

19 (12/4/2016): L'applicazione quoziente modulo una azione topologica di gruppo è aperta; è anche chiusa se il gruppo è finito. Toro $n$-dimensionale. Richiamo sull'algoritmo euclideo. L'immagine nel toro bidimensionale di una retta nel piano con coefficiente angolare irrazionale è densa.

20 (13/4/2016): Spazio topologico ottenuto incollando due spazi tramite una applicazione continua da un sottospazio del primo al secondo. Una applicazione da una unione di due chiusi (o di due aperti) a un altro spazio topologico è continua se e solo se lo sono le restrizioni ai due chiusi (o aperti). Piano proiettivo come disco cucito a un nastro di Möbius. Bottiglia di Klein. La bottiglia di Klein come unione di due nastri di Möbius cuciti lungo i bordi. Formula di Grassmann per sottospazi proiettivi di uno spazio proiettivo. Corollari.

21 (14/4/2016): Duale di uno spazio vettoriale. Il doppio duale di uno spazio di dimensione finita è canonicamente isomorfo all'originale. Ortogonale di un sottospazio. Dimensione dell'ortogonale.

22 (15/4/2016): Il passaggio all'ortogonale scambia la somma di sottospazi con l'intersezione di sottospazi. Dualità in spazi proiettivi di dimensione finita. Principio di dualità. Spazi metrici: distanza tra un punto e un sottinsieme, disuguaglianza triangolare per la medesima, distanza tra due sottinsiemi. Caratterizzazione della chiusura tramite la distanza. La distanza da un sottinsieme è Lipschitziana di costante 1. Convergenza di successioni. Continuità per successioni.

23 (19/4/2016): Esercizi su quozienti e connessione.

24 (20/4/2016): Esercizi sulla connessione. Esempio di chiusi disgiunti in uno spazio metrico con distanza zero. Un compatto e un chiuso disgiunti hanno distanza positiva. Una applicazione da uno spazio metrico a uno spazio topologico è continua se e solo se è continua per successioni. Funzioni uniformemente continue e Lipschitziane tra spazi metrici. Compattezza per successioni. Ogni spazio metrico compatto è compatto per successioni. Ogni funzione continua da uno spazio metrico compatto in uno spazio metrico è uniformemente continua.

25 (21/4/2016): Ogni funzione continua da uno spazio metrico compatto in uno spazio metrico è uniformemente continua (fine). Caratterizzazione della chiusura in uno spazio metrico tramite le successioni. Successioni di Cauchy. Ogni successione convergente è di Cauchy. Spazi metrici completi. Esempi di spazi metrici completi e non. Ogni spazio metrico compatto è completo. I sottinsiemi completi di uno spazio metrico sono chiusi, i chiusi in uno spazio metrico completo sono completi.

26 (26/4/2016): Metriche equivalenti su un prodotto di spazi metrici. Il prodotto di spazi metrici completi è completo. Lo spazio $\ell_\infty$. La palla unitaria chiusa in $\ell_\infty$ è completa e limitata ma non compatta. Spazi metrici totalmente limitati. Uno spazio compatto per successioni è totalmente limitato. Uno spazio compatto per successioni è completo. Uno spazio totalmente limitato contiene un sottinsieme numerabile denso.

27 (27/4/2016): Uno spazio metrico è compatto se e solo se è compatto per successioni se e solo se è completo e totalmente limitato. Numero di Lebesgue di un ricoprimento aperto di uno spazio metrico. Il numero di Lebesgue di un ricoprimento aperto di uno spazio metrico compatto è strettamente positivo. Estensione di funzioni uniformemente continue. Completamento di uno spazio metrico.

28 (28/4/2016): Unicità del completamento. Costruzione del completamento di uno spazio metrico.

29 (29/4/2016): Costruzione del completamento di uno spazio metrico (fine). Esercizi sugli spazi metrici.

30 (3/5/2016): Esercizi di geometria proiettiva. Funzioni a valori in uno spazio metrico; metrica e topologia della convergenza uniforme. Completezza della metrica uniforme sullo spazio delle funzioni a valori in uno spazio metrico completo.

31 (4/5/2016): Il sottospazio delle funzioni limitate è chiuso; idem per il sottospazio delle funzioni continue da uno spazio topologico a uno spazio metrico. Famiglie equicontinue di funzioni tra spazi metrici $X$ e $Y$. Equicontinuità uniforme. Se $X$ è compatto l'equicontinuità implica l'equicontinuità uniforme. Teorema di Ascoli: una famiglia di funzioni continue tra spazi metrici compatti $X$ e $Y$ è compatta se e solo se è chiusa e equicontinua.

32 (5/5/2016): Teorema di Baire. Applicazioni dei teoremi di Ascoli e di Baire.

33 (6/5/2016): Dimostrazione del teorema di Baire. Applicazioni del lemma delle contrazioni alla soluzione di equazioni differenziali ordinarie. Minimizzazione di funzionali tramite il teorema di Ascoli. Esercizi sugli spazi metrici.

34 (10/5/2016): Esercizi sugli spazi metrici. Le collineazioni dello spazio proiettivo costruito su uno spazio vettoriale $V$ sono indotte da automorfismi semilineari di $V$. Luoghi in uno spazio proiettivo definiti da sistemi di equazioni omogenee.

35 (11/5/2016): Quadriche. Supporto di una quadrica. Classificazione proiettiva delle quadriche: il caso complesso e il caso reale. Quadriche non degeneri. Riduzione della classificazione delle quadriche degeneri a quella delle quadriche non degeneri in dimensione minore. Esempi: quadriche sulla retta, coniche, quadriche nello spazio tridimensionale.

36 (12/5/2016): Ipersuperfici algebriche: caso affine e proiettivo e passaggio dall'uno all'altro. Classificazione affine delle quadriche (inizio).

37 (13/5/2016): Classificazione affine delle quadriche reali e complesse. Il caso delle coniche e quello delle quadriche nello spazio tridimensionale. Cammini in uno spazio topologico; composizione di cammini.

38 (17/5/2016): Omotopia, omotopia relativa. L'omotopia è una relazione di equivalenza. Omotopia di cammini con estremi fissi. Riparametrizzazione di cammini; la riparametrizzazione non cambia la classe di omotopia. Prodotto di classi di cammini e sue proprietà formali. Il gruppoide fondamentale. Gruppo fondamentale; omomorfismo tra gruppi fondamentali indotto da una applicazione continua. Spazi omeomorfi hanno gruppi fondamentali isomorfi. Il gruppo fondamentale di un convesso in $\mathbb R^n$ è banale. Esercizi su coniche e quadriche.

39 (18/5/2016): Esercizi su coniche e quadriche. Rivestimenti. Unicità del sollevamento. Sollevamento di omotopie: unicità. Esistenza del sollevamento di cammini.

40 (19/5/2016): Teorema di sollevamento delle omotopie.

41 (20/5/2016): Teorema di sollevamento delle omotopie (fine). Calcolo del gruppo fondamentale del cerchio. Isomorfismo tra i gruppo fondamentali rispetto a punti base diversi connessi da un cammino; dipendenza dell'isomorfismo dalla classe di omotopia del cammino.

42 (24/5/2016): Esercizi su coniche e quadriche. Invarianza per omotopia dell'omomorfismo tra gruppi fondamentali indotto da una mappa continua. Applicazioni del teorema di sollevamento delle omotopie: iniettività dell'omomorfismo indotto da un rivestimento, un cammino chiuso non è omotopicamente banale se un suo sollevamento a un rivestimento non è chiuso.

43 (25/5/2016): Equivalenze omotopiche, retratti, retratti di deformazione, spazi contraibili. Una comoposizione di equivalenze omotopiche è una equivalenza omotopica. Spazi omotopicamente equivalenti hanno gruppi fondamentali isomorfi. Un esempio di spazio con gruppo fondamentale non abeliano. Cenni sui gruppi liberi. Il gruppo libero su due generatori contiene sottogruppi isomorfi al gruppo libero su $n$ generatori per ogni $n$ (cenni).

44 (26/5/2016): Prima parte del teorema di van Kampen. Gruppi fondamentali delle sfere.

45 (27/5/2016): Gruppo fondamentale di un prodotto. Il teorema di van Kampen (cenni). Esempio di applicazione del teorema di van Kampen: gruppo fondamentale del toro.

46 (30/5/2016): Polarità rispetto a una quadrica non degenere. Centro di una quadrica; diametri. Le isometrie di $\mathbb R^n$ sono trasformazioni affini.

47 (31/5/2016): Seconda parte del teorema di van Kampen (enunciato). Il gruppo fondamentale di un bouquet di $n$ cerchi è il gruppo libero su $n$ generatori. Classificazione metrica delle quadriche.