Geometria 1 - anno 2015-16

Esercizi 1

1. Consideriamo i punti \(p_1=[1:0:0]\), \(p_2=[0:1:0]\), \(p_3=[0:0:1]\) e \(p_4=[1:1:1]\) di \(\mathbb P^2\).
   1. Trovare esplicitamente una proiettività di \(\mathbb P^2\) che porti i punti \(p_1,p_2,p_3,p_4\) rispettivamente nei punti \(q_1=[1:1:0]\), \(q_2=[1:0:1]\), \(q_3=[0:1:1]\) e \(q_4=[0:1:0]\).
   2. Mostrare che non esistono proiettività di \(\mathbb P^2\) che portino i punti \(p_1,p_2,p_3,p_4\) rispettivamente nei punti \(q_1=[1:1:0]\), \(q_2=[1:0:1]\), \(q_3=[0:1:1]\) e \(q_4=[1:0:-1]\).
2. In \(\mathbb P^3\) con coordinate omogenee \(x_0,x_1,x_2,x_3\) indichiamo con \(H\) l'iperpiano di equazione \(x_0=0\) e con \(K\) quello di equazione \(x_1+x_2-2x_3=0\). Poniamo \(p=[1:0:0:0]\) e \(q=[0:1:2:3]\). Trovare tutte le proiettività \(F\) di \(\mathbb P^3\) tali che \(F(H)=K\) e \(F(p)=q\).