Geometria 1 - anno 2015-16

Esercizi 3

1. Per ognuna delle seguenti coniche nel piano proiettivo reale con coordinate omogenee \(x_0,x_1,x_2\) dire a quale classe appartiene nella classificazione proiettiva e a quale classe appartiene, nella classificazione affine, la sua parte contenuta nello spazio affine \(x_0\neq 0\).
   1. \(x_0^2+2x_1^2-2x_2^2+3x_0x_1+x_0x_2+3x_1x_2=0\)
   2. \(x_0^2+x_1^2+x_2^2+2x_0x_1+4x_1x_2=0\)
   3. \(x_0^2-4x_1^2-x_2^2+2x_0x_2+4x_1x_2=0\)
   4. \(-x_0^2+2x_1^2+x_2^2+2x_0x_1+2x_0x_2+2x_1x_2=0\)

2. In base alla classificazione proiettiva delle quadriche reali individuare a quale classe appartiene ognuna delle seguenti quadriche nello spazio proiettivo reale con coordinate omogenee \(x_0,x_1,x_2,x_3\). Per ognuna dire a quale classe, nella classificazione affine, appartiene la parte di quadrica nello spazio affine \(x_0\neq 0\).
   1. \(x_0^2-x_1^2-x_2^2+x_3^2+2x_0x_3-2x_1x_2=0\)
   2. \(x_1^2-x_2^2+x_3^2-2x_0x_1+2x_0x_2=0\)
   3. \(x_0^2+x_1^2-x_2^2-2x_0x_1+2x_0x_2+2x_0x_3=0\)
   4. \(x_1^2-x_2^2-x_3^2+2x_0x_1+2x_0x_2+2x_0x_3+2x_1x_2+2x_2x_3=0\)