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Appello della sessione autunnale. La prova scritta avrà luogo il giorno 9 settembre 2010, alle ore 9.30, in Aula A103.

Si ricorda che è necessario iscriversi presso il sito della Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali.

Docenti:

• Giulio Schimperna (lezioni): homepage, 0382/985654 (telefono), e-mail;
• Andrea Fugazzola (esercitazioni): 0382/985612 (telefono), e-mail.

Entrambi i docenti ricevono su appuntamento (mandare un e-mail o telefonare).

Orario delle lezioni:

• Lunedì, 14.15-16
• Martedì, 11.15-13
• Mercoledì, 12.15-13

Si prevede che le lezioni possano terminare entro la fine dell'anno solare 2009.

Libri di testo:

N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone, "Analisi Matematica due", Liguori Editore.

G. Gilardi, "Analisi Matematica di Base", McGraw-Hill Italia.

Riassunto delle lezioni:

• 05/10/09. Introduzione al corso. Definizione di convergenza puntuale e di convergenza uniforme. Esempi vari ed esercizi. Norme e spazi vettoriali normati.
• 06/10/09. Completezza. Rapporti tra convergenza uniforme, continuità e derivabilità. Norma "del sup" e norma "dell'integrale". Teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale nell'ipotesi di convergenza uniforme. Esempi e controesempi.
• 12/10/09. Serie di funzioni. Convergenza totale. Criterio della convergenza totale. Derivazione e integrazione per serie. Esercizi.
• 13/10/09. Serie di potenze. Raggio di convergenza. Teorema del raggio di convergenza. Massimo e minimo limite. Determinazione del raggio di convergenza. Alcuni esempi.
• 14/10/09 (un'ora). Serie di Taylor. Derivazione e integrazione delle serie di Taylor. Condizioni sufficienti per la sviluppabilità in serie di una funzione.
• 19/10/09. Funzioni analitiche. Esempi ed esercizi su serie di potenze e serie di Taylor. Introduzione alle serie di Fourier. Polinomi trigonometrici. Determinazione dei coefficienti di Fourier di una funzione limitata e integrabile. Enunciato del teorema di convergenza "puntuale" delle serie di Fourier.
• 20/10/09 (esercitazione). Esercizi su successioni e serie di funzioni, serie di potenze, serie di Taylor.
• 21/10/09 (un'ora). Disuguaglianza di Bessel. Conseguenze. Considerazioni varie.
• 26/10/09. Teoremi sulla convergenza puntuale e uniforme delle serie di Fourier. Dimostrazioni. Un esercizio (applicazione alle serie numeriche).
• 27/10/09. Integrazione termine a termine delle serie di Fourier. Uguaglianza di Parseval. Convergenza uniforme della serie di Fourier negli "intervalli di continuita`" della funzione limite. Serie di Fourier costruite tramite esponenziali complessi. Considerazioni conclusive. Un esercizio (applicazione dell'uguaglianza di Parseval alle serie numeriche). Curve: introduzione, vettore tangente, sostegno.
• 28/10/09 (un'ora). Curve chiuse, curve semplici. Curve equivalenti. Verso di percorrenza. Lunghezza di una curva. Invarianza della lunghezza per curve equivalenti. Lunghezza di una curva come estremo superiore delle lunghezze associate alle partizioni.
• 03/11/09 (esercitazione). Esercizi su successioni e serie di funzioni, serie di potenze, serie di Fourier.
• 04/11/09 (un'ora). Lunghezza d'arco. Integrali curvilinei. Invarianza per riparametrizzazione. Grafici di funzioni di una variabile come curve nel piano. Ogni curva nel piano è localmente un grafico. Considerazioni varie.
• 09/11/09. Curvatura di una curva piana. Raggio di curvatura. Curvatura di una curva nello spazio tridimensionale. Normale principale. Binormale. Torsione. Formule di Frenet. Esercizi ed esempi vari. Superficie in R³. Spazio tangente e spazio normale.
• 10/11/09. Definizione di area di una superficie. Cenni sulla sua giustificazione. Invarianza rispetto a riparametrizzazioni. Integrali di superficie. Superficie che sono grafico di una funzione di due variabili. Calcolo di alcune aree.
• 11/11/09 (un'ora). Teorema delle funzioni implicite nel caso bidimensionale: considerazioni preliminari, enunciato, dimostrazione.
• 16/11/09. Alcuni esercizi sugli integrali di superficie. Considerazioni geometriche inerenti al teorema delle funzioni implicite. Punti regolari e punti singolari degli insiemi di livello. Passaggio al caso multidimensionale. Spazio tangente e spazio normale di una superficie definita implicitamente.
• 17/11/09 (esercitazione). Esercizi su curve e teorema delle funzioni implicite.
• 18/11/09 (un'ora). Estremi vincolati e moltiplicatori di Lagrange (caso generale in dimensione qualunque). Un esercizio.
• 23/11/09. Ulteriori esempi ed esercizi sui moltiplicatori di Lagrange. Teorema della funzione inversa e dimostrazione. Applicazione: ogni superficie è localmente un grafico. Introduzione alle forme differenziali. Ricerca delle primitive.
• 24/11/09. Curve e cammini. Integrale di una forma differenziale. Forme differenziali esatte. Teorema di caratterizzazione delle forme differenziali esatte. Qualche esercizio sull'integrazione di forme differenziali.
• 25/11/09 (esercitazione, un'ora). Esercizi sugli integrali di superficie.
• 30/11/09. Omotopie. Aperti semplicemente connessi. Invarianza per omotopie dell'integrale di una forma differenziale chiusa su un circuito. Corollario: esattezza delle forme differenziali chiuse in domini semplicemente connessi.
• 01/12/09 (esercitazione). Esercizi su estremi vincolati e forme differenziali.
• 02/12/09 (un'ora). Introduzione alla teoria della misura e dell'integrazione secondo Lebesgue.
• 14/11/09. Spazi di misura. Misura esterna e sue proprietà. Insiemi trascurabili. Definizione di integrale secondo Lebesgue; giustificazione della definizione (cenni). Proprietà elementari dell'integrale di Lebesgue.
• 15/12/09. Passaggio al limite sotto il segno di integrale. Teorema di Beppo Levi. Lemma di Fatou. Teorema di Lebesgue. Funzioni misurabili, integrabili e sommabili.
• 16/12/09 (un'ora). Estensione del teorema di Beppo Levi alla funzioni che possono avere integrale infinito. Misura di Lebesgue e cenni alle sue proprietà fondamentali.
• 11/01/10 (esercitazione). Esercizi sull'integrale di Lebesgue.
• 12/01/10 (esercitazione). Esercizi sull'integrale di Lebesgue e di riepilogo.
• 13/01/10 (un'ora). Calendario degli appelli d'esame. Esercizi conclusivi "a richiesta" degli studenti.

Modalità e argomenti d'esame:

L'esame si svolgerà in forma scritta e orale.

Di regola lo scritto comprenderà 2 esercizi, eventualmente divisi in più domande. La durata della prova scritta potrà variare di appello in appello, a seconda della "lunghezza" degli esercizi, ma sarà in genere compresa tra i 90 e i 120 minuti.

Subito dopo la fine dello scritto si svolgerà una correzione alla lavagna dello stesso. Salvo diversa comunicazione, gli orali inizieranno immediatamente dopo. È in ogni caso possibile, previo accordi col docente, posticipare l'orale (ma non alle calende greche...).

Temi d'esame assegnati nell'Anno Accademico 2008/09:

• Tema d'esame del 20/01/09;
  
• Tema d'esame del 13/02/09;
  
• Tema d'esame del 16/06/09;
  
• Tema d'esame del 16/07/09;
  
• Tema d'esame del 16/09/09.

Altro materiale disponibile:

Dispensa sulle forme differenziali, scritta da Gianni Gilardi.

Dispensa sulle serie di Fourier, scritta da Gianni Arrigo Pozzi.

Dispensa su curve, superfici e integrale di Lebesgue.

Una raccolta di vecchi temi d'esame, preparati prevalentemente da Daniele Boffi, è disponibile a questo indirizzo.