Corso di Laurea Magistrale in Matematica

Anno Accademico 2014/2015

Analisi Funzionale

docente Giulio Schimperna

Prova scritta:
Pubblicati i RISULTATI.
Sono disponibili il testo e le soluzioni degli esercizi.
Calendario orali:
Agliardi: 22/1, ore 9.00, E9;
Lunghi: 22/1, ore 9.00, E9;
Tinelli: 22/1, ore 10.00, E9;
Agosti: 26/1, ore 9.00, C8;
Beatrici: 26/1, ore 9.00, C8;
Bergamaschi: 26/1, ore 10.00, C8;
Consonni: 26/1, ore 10.30, C8;
Gugiatti: 26/1, ore 11.00, C8;
Visinoni: 26/1, ore 14.00, C8;
De Toma: 27/1, ore 11.45, E10;
Nonna: 27/1, ore 11.45, E10.
Gli studenti Bosoni, Caradonna, Grechi, Perazzi, Regazzetti e Schiavi sono pregati di contattare il docente per fissare l'orale.
Gli studenti Bugatti, Luise e Montardini sono pregati di contattare il docente per registrare il voto.

Appelli d'esame. Si ricorda che le date degli appelli riportate sull'area riservata di Ateneo sono puramente indicative, con l'unica eccezione della data del 20/1 corrispondente alla prova scritta. Gli studenti che volessero sostenere l'esame sono dunque invitati a prendere accordi direttamente col docente. È possibile (sebbene non sia consigliato...) sostenere l'esame anche al di fuori delle sessioni ufficiali. Chi volesse sostenere l'esame è comunque invitato ad iscriversi ad uno degli appelli riportati sull'area riservata, in modo da rendere possibile la registrazione del voto.

Orario. L'orario delle lezioni è il seguente:
Lunedì 14.00-15.45
Mercoledì 14.00-15.45
Giovedì 14.00-15.45
Venerdì 14.00-14.45.
Tutte le lezioni avranno luogo in Aula E9.
Presumbilmente, alcuni venerdì verranno saltati (vedi calendario provvisorio qui sotto).

Programma del corso. Una descrizione piuttosto dettagliata degli argomenti che saranno trattati si può trovare consultando la pagina web dello scorso anno.

CALENDARIO DELLE LEZIONI

Settimana 0
2. 03/10/14. Richiami su spazi vettoriali, metrici, normati, Banach, Hilbert. Esempi. Disuguaglianza di Schwarz e regola del parallelogrammo (appunti) (lezione tenuta da Pierluigi Colli).
   
   Settimana 1
4. 06/10/14. Introduzione al corso e descrizione del programma e delle modalità d'esame. Operatori lineari e continui tra spazi vettoriali normati (appunti).
6. 08/10/14. Se Y è completo anche L(X,Y) è completo. Duale topologico di uno spazio vettoriale normato. Lemma di Zorn. Basi algebriche di uno spazio vettoriale di dimensione infinita. Esempio di un funzionale lineare non continuo (appunti e note). Definizione di L^p per p < ∞. Commenti (Brezis).
8. 09/10/14. Disuguaglianze di Young e Holder. L^p è uno spazio normato (disuguaglianza di Minkovski). L^p è completo (dimostrazione nel caso p < ∞) (Brezis).
   
9. 10/10/14 (un'ora). Completezza di L^∞. Conseguenze della completezza di L^p. Disuguaglianza di Holder generalizzata e disuguaglianza di interpolazione in L^p (Brezis).
   
   Settimana 2
11. 13/10/14. Teorema di Hahn-Banach; dimostrazione nel caso reale (Brezis) e nel caso complesso (Gilardi). Seminorme. Conseguenze del teorema di Hahn-Banach; mappa di dualità (Brezis).
13. 15/10/14. Ulteriori conseguenze di Hahn-Banach (Brezis). Biduale ed immersione canonica. Considerazioni ed esercizi sulla mappa di dualità (appunti).
15. 16/10/14. Funzionale di Minkowski e sue proprietà (Brezis e appunti). Prima forma geometrica del Teorema di Hahn-Banach e dimostrazione.
    
    Settimana 3
17. 20/10/14. Seconda forma geometrica del Teorema di Hahn-Banach e dimostrazione. Applicazione: se un sottospazio F di E non è denso esiste sempre un funzionale lineare e continuo identicamente nullo su F ma non identicamente nullo su E (Brezis). Teorema: il duale di L^p contiene una copia isometrica di L^q se p e q sono esponenti coniugati. Applicazione: mappa di dualità in L^p (appunti).
19. 22/10/14. Mappa di dualità in l^∞ (appunti). Funzioni semicontinue inferiormente (Gilardi, par. 5.10). Richiami sulle funzioni convesse.
21. 23/10/14. Funzione convessa coniugata e sue proprietà. Ogni funzione convessa sci ammette una minorante affine. Teorema di Fénchel-Moreau e dimostrazione (Brezis). Concetto di sottodifferenziale e osservazioni (appunti).
    
22. 24/10/14 (un'ora). Ulteriori considerazioni sul sottodifferenziale (appunti). Alcuni esercizi sul calcolo della funzione convessa coniugata e del sottodifferenziale.
    
    Settimana 4
24. 27/10/14. Ulteriori esercizi sul calcolo della funzione convessa coniugata e del sottodifferenziale. Lemma di Baire: enunciato e dimostrazione (Brezis).
26. 29/10/14. Teorema di Banach-Steinhaus e dimostrazione. Conseguenze del teorema: caso delle successioni di operatori; caratterizzazione dei sottoinsiemi limitati di E e di E'. Svolgimento di alcuni esercizi. Teorema dell'applicazione aperta: enunciato e prima parte della dimostrazione (Brezis).
28. 30/10/14. Dimostrazione del teorema dell'applicazione aperta (seconda parte). Conseguenze del teorema. Norme equivalenti. Teorema del grafico chiuso e dimostrazione. Supplementare topologico e proiettori. Esistenza del supplementare topologico per sottospazi di dimensione finita (Brezis).
    
    Settimana 5
30. 03/11/14. Aggiunto di un operatore lineare e continuo (Gilardi). Ortogonalità negli spazi di Banach. Intersezioni e somme di sottospazi chiusi (Brezis). Svolgimento di alcuni esercizi su applicazione aperta e grafico chiuso.
32. 05/11/14. Operatori lineari non limitati. Aggiunto di un operatore lineare non limitato e sue proprietà (Brezis). Svolgimento di alcuni esercizi.
34. 06/11/14. Svolgimento di esercizi su operatori lineari non limitati, operatore aggiunto.
    
35. 07/11/14 (un'ora). Relazioni tra il grafico di un operatore non limitato e il grafico dell'aggiunto. Caratterizzazione degli operatori limitati. Topologia generata da una famiglia di mappe (Brezis).
    
    Settimana 6
37. 10/11/14. Definizione e proprietà fondamentali della topologia debole su uno spazio di Banach. Convergenza forte e convergenza debole. Relazioni tra topologia forte e topologia debole in dimensione finita e infinita (Brezis).
39. 12/11/14. Comportamento di insiemi e funzioni convesse nel quadro della topologia debole. Topologia debole-* su E' e sue proprietà. Relazioni tra le topologie forte, debole e debole-*. Definizone di spazio riflessivo. Il duale di E' dotato della topologia debole-* è E (Brezis).
41. 13/11/14. La topologia debole è, in generale, più fine della topologia debole-*. Teorema di Banach-Alaoglu (enunciato e cenni di dimostrazione). Teorema di Kakutani (enunciato e dimostrazione). Conseguenze (Brezis).
    
    Settimana 7
43. 17/11/14. Ulteriori conseguenze del teorema di Kakutani. Operatore biaggiunto. Spazi separabili. Metrizzabilità della topologia debole-* sulla bolla unitaria chiusa del duale di un Banach separabile (Brezis).
45. 19/11/14. Conseguenze del teorema di metrizzabilità. Ulteriori proprietà degli spazi di Banach separabili. Teoremi di compattezza sequenziale debole. Spazi uniformemente convessi e teorema di Milman (Brezis). La convergenza debole e la convergenza delle norme implicano la convergenza forte negli spazi uniformemente convessi (Gilardi).
47. 20/11/14. Svolgimento di esercizi su topologia e convergenza debole.
    
48. 21/11/14 (un'ora). Svolgimento di esercizi su topologia e convergenza debole.
    
    Settimana 8
50. 24/11/14. Richiami sulle proprietà elementari di L^p. Prima disuguaglianza di Clarkson. Riflessività di L^p per 1 < p < ∞. Separabilità di L^p per p < ∞ (Brezis).
52. 26/11/14. Panoramica sugli spazi l^p, c, c₀ (Brezis, cap. 11 versione inglese). Teorema di rappresentazione di Riesz, caso L¹. L¹ non è riflessivo (Brezis).
54. 27/11/14. Studio dello spazio L^∞. Convoluzioni. Supporto di una convoluzione (Brezis).
    
    Settimana 9
56. 01/12/14. Mollificatori. Regolarizzazione per convoluzione. Teoremi di densità (Brezis).
58. 03/12/14. Richiami sugli spazi metrici compatti. Teorema di Ascoli, dimostrazione, commenti ed esempi (dispensa di Equazioni Differenziali). Criterio di compattezza forte in L^p (introduzione).
60. 04/12/14. Criterio di Riesz-Fréchet-Kolmogorov per la compattezza forte in L^p (enunciato, dimostrazione e commenti) (Brezis). Svolgimento di esercizi sugli spazi L^p.
    
61. 05/12/14 (un'ora). Svolgimento di esercizi sugli spazi L^p.
    
    Settimana 10
63. 10/12/14. Spazi di Hilbert. Teorema delle proiezioni e dimostrazione. Caso della proiezione su un sottospazio chiuso. Teorema di rappresentazione di Riesz-Fréchet. Teorema di Stampacchia e dimostrazione (Brezis).
65. 11/12/14. Teorema di Lax-Milgram e dimostrazione. Ortogonalità negli spazi di Hilbert. Somme e basi Hilbertiane. Caso di un sistema ortonormale non completo. Esempio: serie di Fourier in L²(-π,π) (Brezis e Gilardi).
67. 12/12/14 (DUE ore). Svolgimento di esercizi sugli spazi di Hilbert. Introduzione agli spazi di Sobolev. Concetto di derivata debole. Unicità della derivata debole (Brezis e appunti).
    
    Settimana 11
69. 15/12/14. Proprietà fondamentali dello spazio di Sobolev W^1,p. "teorema fondamentale del calcolo" in W^1,p(Brezis).
71. 17/12/14. Caratterizzazione delle funzioni Sobolev tramite traslazioni. Prolungamento. Risultati di densità in W^1,p (Brezis).
73. 18/12/14. Immersioni di Sobolev. Concetto di immersione compatta. Regole di derivazione (prodotto, funzione composta) in W^1,p. Spazio W^1,p₀ (Brezis).
    
    Settimana 12
75. 07/01/15. Spazi di Sobolev W^m,p con m>1. Disuguaglianza di Poincaré (Brezis). Svolgimento di esercizi.
77. 08/01/15. Svolgimento di esercizi in preparazione all'esame.
    
78. 09/01/15 (un'ora). Svolgimento di esercizi in preparazione all'esame.

LIBRI DI TESTO

MODALITÀ D'ESAME

L'esame sarà costituito da una prova orale. È previsto un unico scritto (facoltativo) subito dopo la fine del corso. In ogni caso il mancato svolgimento dello scritto non costituisce una penalizzazione.
Temi d'esame di Analisi Funzionale assegnati dal Prof. Colli negli anni passati: anno 2011, anno 2012, anno 2013.
Tema d'esame assegnato nell'anno 2014.