Algebra 2 - anno 2012-13
- Prova scritta del 11-6-2013: Testo e soluzioni
- Prova scritta del 9-7-2013: Testo e soluzioni
- Prova scritta del 24-9-2013: Testo e soluzioni
- Prova scritta del 28-1-2014: Testo e soluzioni | Esito della prova e calendario degli orali
- Descrizione:
Il corso è una introduzione alla teoria di Galois delle equazioni, corredata
da complementi di teoria dei gruppi e di teoria dei moduli su un
anello.
- Programma di massima del corso:
- Moduli su un anello. Costruzioni di moduli. Anello di gruppo e rappresentazioni.
Struttura dei moduli finitamente generati su un anello a ideali principali.
Applicazioni; forma canonica di Jordan e forme canoniche razionali.
- Azioni di gruppi su insiemi. Equazione delle classi. Teoremi di Sylow e
applicazioni. Prodotti semidiretti. Sottogruppi finiti del gruppo moltiplicativo
di un campo. Il gruppo moltiplicativo degli interi modulo \(n\). Gruppi risolubili.
- Estensioni di campi. Campi di spezzamento: esistenza e unicità. Chiusura
algebrica e sua unicità. La corrispondenza di Galois. Estensioni normali.
Estensioni separabili e inseparabili. Estensioni di Galois. Il teorema
fondamentale della teoria di Galois. Il teorema dell'elemento primitivo. Teoria
di Galois dei campi finiti. Polinomi ciclotomici e loro irriducibilità. Il
gruppo di Galois di un polinomio ciclotomico. Estensioni cicliche e loro
caratterizzazione. Criterio di risolubilità per radicali. Il polinomio
generale di grado \(>4\). Equazioni a coefficienti interi che non sono risolubili
per radicali. La cubica e la quartica.
- testi:
- I.N. Herstein, Algebra, terza edizione, Editori Riuniti, Roma 1993
- D.J.H. Garling, A Course in Galois Theory, Cambridge University Press
- C. Procesi, Elementi di Teoria di Galois, Zanichelli
- Note di R. Schoof e B. van Geemen, disponibili in forma elettronica all'indirizzo: http://mate.unipv.it/cornalba/notealgebra.pdf
- altri testi suggeriti:
- M.F. Atiyah, I.G. MacDonald, Introduzione all'algebra commutativa, Feltrinelli, 1981
- M. Artin, Algebra, Bollati Boringhieri, Torino 1997
- I.N. Stewart, Galois Theory, second edition, CRC Press
- note:
- Funzioni simmetriche (pdf)
- Il discriminante di un polinomio (pdf)
- Moduli su un dominio a ideali principali (pdf)
- Il gruppo moltiplicativo di \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) (pdf)
- Il gruppo alterno \(A_n\) è semplice se \(n > 4\) (pdf)
- Esercizi: 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8
- Soluzione dell'esercizio 4a di Esercizi 6
- Diario del corso:
1 (5/3/2013): Introduzione al corso. Polinomi a coefficienti in un UFD \(A\). Contenuto. Polinomi primitivi. Lemma di Gauss. Contenuto di un polinomio a coefficienti nel campo delle frazioni di \(A\). Moltiplicatività del contenuto.
2 (5/3/2013): Caratterizzazione degli elementi invertibili e irriducibili in \(A[X]\), dove \(A\) è un UFD. Se \(A\) è un UFD, anche \(A[X]\) lo è. Criterio di irriducibilità di Eisenstein.
3 (7/3/2013): Ancora sul criterio di Eisenstein e sue varianti. Esempi. Radici razionali di un polinomio a coefficienti interi; analogo per polinomi a coefficienti in un UFD.
4 (7/3/2013): Irriducibilità per polinomi di grado \(\le 3\). Riduzione modulo un primo di un polinomio e suo uso per saggiare l'irriducibilità del medesimo. Indipendenza algebrica.
5 (12/3/2013): Sostanziale unicità dell'anello dei polinomi in \(n\) variabili su un anello commutativo. Omomorfismo di sostituzione.
6 (12/3/2013): Costruzione dell'anello dei polinomi in \(n\) variabili su un anello commutativo.
7 (14/3/2013): Polinomi simmetrici. Funzioni simmetriche elementari \(\sigma_1,\dots,\sigma_n\). Coefficienti di un polinomio come funzioni simmetriche elementari delle radici. Ordinamento lessicografico dei monomi. L'insieme dei polinomi simmetrici è \(A[\sigma_1,\dots,\sigma_n]\).
8 (14/3/2013): Indipendenza algebrica delle funzioni simmetriche elementari. Identità di Newton.
9 (15/3/2013): Esercizi sui criteri di irriducibilità per polinomi.
10 (19/3/2013): Ancora sull'identità di Newton. Teorema di unicità del campo di spezzamento di un polinomio.
11 (19/3/2013): Estensioni normali. Campo di spezzamento di un insieme di polinomi.
12 (21/3/2013): Una estensione è normale se e solo se è un campo di spezzamento. Gruppo di Galois di una estensione di campi.
13 (21/3/2013): La corrispondenza di Galois. Esempi: \(Gal(\mathbb{Q}[\sqrt[4]{2}]\big/\mathbb{Q})\). Una sottoestensione di una estensione normale finita \(L/K\) è normale se e solo se è invariante per \(Gal(L/K)\). Chiusura normale.
14 (22/3/2013): Esercizi sulle funzioni simmetriche. Discriminante di un polinomio. Calcolo del discriminante di un polinomio di terzo grado.
15 (26/3/2013): Metodi di calcolo del discriminante.
16 (26/3/2013): Polinomi separabili. Criterio differenziale di separabilità. Elementi separabili. Estensioni separabili. Campi perfetti. Ogni estensione algebrica di un campo perfetto è separabile. I campi finiti e le estensioni finite di campi perfetti sono perfetti.
17 (4/4/2013): Caratterizzazione dei polinomi inseparabili irriducibili.
18 (4/4/2013): Il numero di immersioni di una estensione finita non supera il grado, ed eguaglia il grado se e solo se l'estensione è separabile; corollari. Transitività della separabilità. Per una estensione normale e separabile il grado è pari all'ordine del gruppo di Galois.
19 (5/4/2013): Esercizi su campi di spezzamento e estensioni normali.
20 (9/4/2013): Il teorema fondamentale della teoria di Galois (inizio).
21 (9/4/2013): Il teorema fondamentale della teoria di Galois (fine).
22 (11/4/2013): Guppo di Galois di un polinomio. Il gruppo di Galois della equazione generale di grado \(n\). Teoria di Galois per campi finiti.
23 (11/4/2013): Gruppo di Galois di un polinomio e discriminante. Teorema dell'elemento primitivo. La cubica.
24 (16/4/2013): Esempi di gruppi di Galois di polinomi cubici e della corrispondenza di Galois per i medesimi.
25 (16/4/2013): Risoluzione per radicali della cubica. Il gruppo di Galois di una cubica.
26 (18/4/2013): Esercizi sulla corrispondenza di Galois.
27 (18/4/2013): Esercizi sulla corrispondenza di Galois. Radici dell'unità. Polinomi ciclotomici. Estensioni ciclotomiche.
28 (23/4/2013): I polinomi ciclotomici hanno coefficienti interi. Irriducibilità sugli interi dei polinomi ciclotomici.
29 (23/4/2013): Ancora sull'irriducibilità sugli interi dei polinomi ciclotomici. Gruppo di Galois di una estensione ciclotomica.
30 (30/4/2013): Ancora sul gruppo di Galois di una estensione ciclotomica. Estensioni cicliche. Gruppo di Galois di una estensione \(K[\sqrt[n]{\vartheta}]\).
31 (30/4/2013): Teorema di Artin sulla indipendenza dei caratteri. Caratterizzazione delle estensioni cicliche. Estensioni per radicali. Risolubilità per radicali. Gruppi risolubili.
32 (2/5/2013): Teorema di Abel sulle estensioni radiciali di esponente primo. Proprietà elementari dei gruppi risolubili.
33 (2/5/2013): Se il gruppo di Galois di una equazione è risolubile, allora l'equazione è risolubile per radicali. Polinomi interi il cui gruppo di Galois è il gruppo simmetrico.
34 (3/5/2013): Polinomi interi il cui gruppo di Galois è il gruppo simmetrico (fine). Se una equazione è risolubile per radicali, allora il suo gruppo di Galois è risolubile.
35 (7/5/2013): Se una equazione è risolubile per radicali, allora il suo gruppo di Galois è risolubile: fine della dimostrazione. Non risolubilità per radicali del polinomio generale di grado \(n\ge 5\). Struttura del gruppo moltiplicativo di \(\mathbb{Z}/(n)\).
36 (7/5/2013): Coniugio nei gruppi. Centralizzante di un elemento di un gruppo. Equazione delle classi. I \(p\)-gruppi finiti hanno centro non banale. I gruppi di ordine \(p^2\) sono abeliani.
37 (9/5/2013): Teorema di Cauchy per gruppi abeliani. Primo teorema di Sylow e varianti. Laterali doppi. Secondo teorema di Sylow.
38 (9/5/2013): Normalizzante di un sottogruppo. Terzo teorema di Sylow. Gruppi di ordine \(pq\).
39 (10/5/2013): Ancora sui gruppi di ordine \(pq\). Costruzione del gruppo non abeliano di ordine \(pq\) come sottogruppo del gruppo di Galois su \(\mathbb{Q}\) di \(X^q-a\), dove \(a\) un numero primo.
40 (14/5/2013): Prodotti semidiretti di gruppi.
41 (14/5/2013): Gruppi di ordine \(pq^2\) e di ordine \(pqr\).
42 (16/5/2013): Non semplicità dei gruppi di ordine non primo \(< 60\). Ogni gruppo abeliano finito è somma diretta dei suoi sottogruppi di Sylow.
43 (16/5/2013): Struttura dei \(p\)-gruppi abeliani finiti. Ogni gruppo abeliano finito è somma diretta di sottogruppi ciclici. Divisori elementari.
44 (17/5/2013): Risultati di unicità per le decomposizioni di un gruppo abeliano finito in somma diretta di gruppi ciclici. Omomorfismi e isomorfismi di prodotti semidiretti.
45 (17/5/2013): Omomorfismi e isomorfismi di prodotti semidiretti (fine). Unicità del gruppo non abeliano di ordine \(pq\) quando \(p\) divide \(q-1\). Automorfismi di \(\mathbb{Z}/(2)^2\). Classificazione dei gruppi di ordine \(12\).
46 (21/5/2013): Moduli su un anello. Sottomoduli. Criteri perché un sottinsieme sia un sottomodulo. Intersezione e somma di sottomoduli. Sottomodulo generato da un sottinsieme.
47 (21/5/2013): Somma diretta di moduli. Moduli liberi. Omomorfismi di moduli. Nucleo di un omomorfismo; criterio di iniettività. Quozienti di moduli. Teorema di omomorfismo per moduli.
48 (23/5/2013): Moduli liberi e basi. Elementi di torsione, sottomodulo di torsione. Annullatore. Il quoziente di un modulo su un dominio per il sottomodulo di torsione non ha torsione. Teoremi di isomorfismo per moduli.
49 (23/5/2013): Corrispondenza tra sottomoduli contenenti un sottomodulo \(N\) e sottomoduli del quoziente modulo \(N\). Moduli e anelli noetheriani. Un modulo è noetheriano se e solo se ogni sottomodulo è finitamente generato. Dato un modulo \(M\) e un sottomodulo \(N\), \(M\) è noetheriano se e solo se lo sono \(N\) e \(M/N\). Un modulo finitamente generato su un anello noetheriano è noetheriano.
50 (24/5/2013): Un modulo finitamente generato senza torsione su un PID è libero. Un modulo finitamente generato su un PID è somma diretta del sottomodulo di torsione e di un sottomodulo libero. Decomposizione di un modulo finitamente generato di torsione su un PID in somma diretta di sottomoduli con annullatori primi fra loro.
51 (28/5/2013): Ancora sulla decomposizione di un modulo finitamente generato di torsione su un PID in somma diretta di sottomoduli con annullatori primi fra loro. Il caso dei gruppi abeliani.
52 (28/5/2013): Decomposizione in somma diretta di moduli ciclici di un modulo finitamente generato su un PID con annullatore potenza di un primo. Proprietà di unicità della decomposizione.
53 (29/5/2013): Applicazioni del teorema di struttura per moduli finitamente generati di torsione su un PID. Forma canonica di Jordan.
54 (30/5/2013): Ancora sulle proprietà di unicità della decomposizione di un modulo finitamente generato su un PID in somma diretta di moduli ciclici. Divisori elementari.
55 (30/5/2013): Unicità dei divisori elementari. Esercizi di Teoria di Galois.
56 (31/5/2013): Esercizi di Teoria di Galois.
