Algebra 2 - anno 2012-13

Esercizi 4 (4/4/2013)

1. Trovare il gruppo di Galois di \(X^4 -2\) su \(\mathbb{Q}\), \(\mathbb{F}_3\) e \(\mathbb{F}_7\).
2. Trovare i gruppi di Galois di \(X^3-5\) e di \(X^3+5\) su \(\mathbb{Q}\).
3. Trovare il gruppo di Galois di \(X^5 +1\) e \(X^6 +1\) su \(\mathbb{Q}\).
4. Mostrare che \(X^6 + 3\) è irriducibile su \(\mathbb{Q}\), ma non su \(\mathbb{Q}[\zeta]\), dove \(\zeta\) è una radice sesta primitiva dell'unità.
5. Sia \(L\) un campo di spezzamento si \(X^4 - 13\) su \(\mathbb{Q}\). Calcolare il gruppo di Galois di \(L\) su \(\mathbb{Q}\) e trovare tutti i campi intermedi, individuando tra questi le estensioni normali di \(\mathbb{Q}\).
6. Per ognuno dei seguenti polinomi si determini un campo di spezzamento su \(\mathbb{Q}\) e si espliciti la corrispondenza di Galois.
   1. \(X^3-4X+3\)
   2. \(X^3-3X+3\)
   3. \(X^3-9X-9\)
7. Sia \(K\) un campo di caratteristica prima \(p\), poniamo \(P(X) = X^p -X -\eta\), dove \(\eta\in K\), e sia \(L\) un campo di spezzamento per \(P\). Mostrare che, se \(\alpha\) è una radice di \(P\), le altre radici sono \(\alpha+1,\alpha+2,\dots,\alpha+p-1\). Mostrare che \(P\) si spezza completamente su \(K\) oppure è irriducibile in \(K[X]\), nel qual caso il gruppo di Galois di \(L\) su \(K\) è ciclico di ordine \(p\).