Algebra 2 - anno 2012-13

Esercizi 8 (21/5/2013)

  1. Descrivere i sottogruppi di Sylow di \(S_3\), \(S_4\) e \(A_5\).
  2. Quanti possono essere gli \(11\)-Sylow e i \(3\)-Sylow in un gruppo di ordine \(3\cdot 11^3\)?
  3. Mostrare che ogni gruppo di ordine \(5\cdot 7\cdot 11\) ha un unico \(11\)-Sylow e un unico \(7\)-Sylow. Quanti possono essere i \(5\)-Sylow?
  4. Mostrare che ogni gruppo \(G\) di ordine \(25\cdot 49\) ha un sottogruppo normale di ordine \(25\) e uno di ordine \(49\). Dedurne che \(G\) è abeliano.
  5. Sia \(G\) un gruppo di ordine \(231\). Mostrare che l'\(11\)-Sylow è contenuto nel centro di \(G\).
    1. Sia \(G\) un gruppo di ordine \(30\). Mostrare che \(G\) ha sottogruppi normali di ordini \(3, 5, 15\).
    2. Classificare, a meno di isomorfismo, tutti i gruppi di ordine \(30\).
  7. Sia \(G\) un gruppo finito, e sia \(H\) un suo sottogruppo di Sylow. Mostrare che \(N(N(H)) = N(H)\).