Soluzione dell'esercizio 4a di Esercizi 6

Enunciato:
Sia $K$ un sottocampo di $\mathbb{R}$, e sia $P(X)$ un polinomio cubico irriducibile a coefficienti in $K$ con tre radici reali. Poniamo $F=K[a]$, dove $a$ è un numero reale tale che $a^p\in K$ per qualche primo $p$. Mostrare che $P$ è irriducibile su $F$.

Soluzione:
Sia $L\subset \mathbb{R}$ il campo di spezzamento di $P$ su $K$. Il campo di spezzamento di $P$ su $K[a]$ è $L[a]$. Dato che $P$ è irriducibile su $K$ c'è un automorfismo $\varphi\in Gal(L/K)$ che permuta ciclicamente le radici di $P$. Quindi $\varphi$ ha ordine 3. Il teorema di Abel dice che il polinomio $X^p-a^p$ è irriducibile su $L$ oppure ha una radice in $L$. In questo secondo caso $a\in L$ dato che un numero reale ha una sola radice $p$-esima reale per $p$ dispari e al più due radici tra loro opposte per $p=2$.
Per dimostrare che $P$ è irriducibile su $K[a]$ basterà mostrare che il suo gruppo di Galois contiene un elemento di ordine 3; infatti se $P$ fosse riducibile il suo gruppo di Galois sarebbe banale o avrebbe ordine 2. Supponiamo dapprima che $a\in L$. Dato che $\varphi(a)$ è una radice reale $p$-esima di $a^p$, per quanto osservato sopra $\varphi(a)= a$, oppure $\varphi(a)=\pm a$ per $p=2$; dato però che $\varphi^3$ è l'identità, $\varphi(a)= a$ anche in quest'ultimo caso. Ne segue che $\varphi\in Gal(L/K[a])=Gal_{K[a]}(P)$.
Supponiamo ora che $X^p-a^p$ sia irriducibile su $L$. Per il teorema di estensione degli omomorfismi tra campi $\varphi$ si estende a $\eta\in \operatorname{Aut}(L[a])$ tale che $\eta(a)=a$; in particolare, $\eta\in Gal(L[a]/K[a])=Gal_{K[a]}(P)$. D'altra parte è chiaro che $\eta$ ha ordine 3.