Soluzione dell'esercizio 4a di Esercizi 6

Enunciato:
Sia \(K\) un sottocampo di \(\mathbb{R}\), e sia \(P(X)\) un polinomio cubico irriducibile a coefficienti in \(K\) con tre radici reali. Poniamo \(F=K[a]\), dove \(a\) è un numero reale tale che \(a^p\in K\) per qualche primo \(p\). Mostrare che \(P\) è irriducibile su \(F\).

Soluzione:
Sia \(L\subset \mathbb{R}\) il campo di spezzamento di \(P\) su \(K\). Il campo di spezzamento di \(P\) su \(K[a]\) è \(L[a]\). Dato che \(P\) è irriducibile su \(K\) c'è un automorfismo \(\varphi\in Gal(L/K)\) che permuta ciclicamente le radici di \(P\). Quindi \(\varphi\) ha ordine 3. Il teorema di Abel dice che il polinomio \(X^p-a^p\) è irriducibile su \(L\) oppure ha una radice in \(L\). In questo secondo caso \(a\in L\) dato che un numero reale ha una sola radice \(p\)-esima reale per \(p\) dispari e al più due radici tra loro opposte per \(p=2\).
Per dimostrare che \(P\) è irriducibile su \(K[a]\) basterà mostrare che il suo gruppo di Galois contiene un elemento di ordine 3; infatti se \(P\) fosse riducibile il suo gruppo di Galois sarebbe banale o avrebbe ordine 2. Supponiamo dapprima che \(a\in L\). Dato che \(\varphi(a)\) è una radice reale \(p\)-esima di \(a^p\), per quanto osservato sopra \(\varphi(a)= a\), oppure \(\varphi(a)=\pm a\) per \(p=2\); dato però che \(\varphi^3\) è l'identità, \(\varphi(a)= a\) anche in quest'ultimo caso. Ne segue che \(\varphi\in Gal(L/K[a])=Gal_{K[a]}(P)\).
Supponiamo ora che \(X^p-a^p\) sia irriducibile su \(L\). Per il teorema di estensione degli omomorfismi tra campi \(\varphi\) si estende a \(\eta\in \operatorname{Aut}(L[a])\) tale che \(\eta(a)=a\); in particolare, \(\eta\in Gal(L[a]/K[a])=Gal_{K[a]}(P)\). D'altra parte è chiaro che \(\eta\) ha ordine 3.