Algebra 2 - anno 2012-13

Esercizi 7 (16/5/2013)

  1. Mostrare che un gruppo di ordine \(p^2\), dove \(p\) è primo, è ciclico o isomorfo al prodotto diretto di due gruppi ciclici di ordine \(p\).
  2. Verificare l'equazione delle classi per \(S_3\), \(S_4\) e per il gruppo dei quaternioni.
  3. Verificare l'equazione delle classi per il gruppo diedrale \(D_n\).
  4. Sia \(G\) un gruppo finito. Supponiamo che un elemento \(g \in G\) abbia esattamente due coniugati. Mostrare che \(G\) ha un sottogruppo normale non banale.
    1. Trovare due elementi di \(A_5\) che siano coniugati in \(S_5\) ma non in \(A_5\).
    2. Determinare le classi di coniugio in \(A_5\) e il numero dei loro elementi.
  6. Sia \(p\) un primo. Sia \(G\) un gruppo di ordine \(p^n\), e \(H\) un sottogruppo di ordine \(p^{n-1}\). Mostrare che \(H\) è normale in \(G\).
  7. Mostrare che ogni gruppo di ordine \(35\) è ciclico.
  8. Mostrare che un gruppo di ordine \(28\) ha un sottogruppo normale di ordine \(7\).