Capacità di una rete di telecomunicazione

Nel dimensionamento delle reti di telecomunicazione spesso si pone il problema di allocare capacità di trasmissione sui collegamenti diretti tra due centri. Considerato un collegamento $l$, la variabile con la quale decidiamo la capacità di tale link è $w_l$ che può assumere uno solo tra i valori $d_1, d_2,\ldots, d_r$ caratteristici della capacità di trasmissione e dipendenti dalla tecnologia adottata: $w_l \in \{d_1, d_2,\ldots, d_r\}$. Questa caratteristica può essere espressa introducendo $r$ variabili logiche $\{0,1\}$ ($y_i$)che rappresentano la scelta o meno di uno degli $r$ valori di capacità e ponendo la variabile reale $w_l$ uguale alla seguente espressione:

$$w_l = d_1 y_1 + d_2 y_ 2 + \ldots + d_r y_r.$$

Ovviamente è necessario aggiungere un vincolo che assicura il fatto che uno solo dei valori $d_1, d_2,\ldots, d_r$ sia attribuito alla variabile $w_l$, cioè:

$$y_1 + y_2 + \ldots + y_r = 1.$$

Quest'ultimo caso vede già la necessità di introdurre dei vincoli per permettere alle variabili di assumere il significato voluto, cosa che verrà approfondita nel prossimo paragrafo. Ora invece discutiamo brevemente delle trasformazioni a cui possiamo sottoporre le variabili.

Una prima semplice trasformazione riguarda il segno delle variabili. Se una variabile x è ristretta ad assumere valori non positivi e, per comodità di notazione o altri motivi, abbiamo bisogno di avere nel modello una variabile non negativa, possiamo introdurre una nuova variabile $x'$, che poniamo uguale a $-x$ e operare le dovute sostituzioni in tutto il modello. La nuova variabile $x'$ è ristretta ad assumere valori non negativi. La stessa trasformazione può avvenire anche nel verso contrario e trasformare una variabile non negativa in una non positiva. Più delicata è la trasformazione di una variabile libera in segno in una vincolata. In tal caso è necessario introdurre una coppia di variabili. Per semplicità consideriamo l'esempio dell'orario dei treni visto in precedenza.