Investimento di capitale

Si consideri il problema di decidere come investire un capitale di $137 k\textgreek{\euro}$ avendo a disposizione gli strumenti finanziari riportati in Tabella ciascuno caratterizzato da una quantità massima acquistabile, e dall'entità della cedola staccata:

Tabella: caratteristiche degli strumenti finanziari

strumento	1	2	3	4	5
disponibilità massima in k	40	12	130	5	400
cedola in k	3.2	1.5	4.2	0.7	17

Le decisioni da prendere riguardano la quantità di ogni strumento finanziario che si desidera acquistare ( $x_i, i=1,\ldots,5$). Questa volta, invece che indicare un valore assoluto il cui limite superiore dovrebbe variare per ciascuna variabile, le variabili $x_i$ rappresentano il valore relativo di ciascun fondo che si acquista, assumendo quindi valori compresi tra 0 e 1. È abbastanza semplice comprendere l'utilizzo di tali variabili guardando il modello completo del problema che ha ovviamente l'obiettivo di massimizzare il guadagno dovuto agli interessi percepiti proporzionalmente all'investimento, con il vincolo di non superare il budget a disposizione.

$$\max 3.2 x_1 + 1.5 x_2 + 4.2 x_3 + 0.7 x_4 + 17 x_5$$

$$40 x_1 + 12 x_2 + 130 x_3 + 5 x_4 + 400 x_5 \leq 137$$

$$0 \leq x_i \leq 1, \;\;\; i=1, \ldots, 5.$$

Variabili che rappresentano valori relativi vengono spesso utilizzate nel formulare problemi di instradamento su reti (stradali o di telecomunicazione) e descrivono la percentuale di traffico che circola su ciascun collegamento della rete. Esercizio Formulare il problema di investimento utilizzando variabili che rappresentano valori assoluti, mettendo in luce le differenze con il modello presentato sopra.

Variabili intere: un esempio

Tornando all'esempio dell'investimento, se imponiamo i vincoli di interezza alle variabili che rappresentano valori relativi stiamo di fatto vincolando le variabili ad assumere valore 0 oppure 1, dando loro una valenza logica. Nel caso del problema di investimento si tratterebbe quindi di scegliere per intero o di scartare i vari strumenti. Viene più naturale pensare allo stesso problema in termini di oggetti, come nel seguente esempio.