Algebra 2 2012-13

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Algebra 2 - anno 2012-13

- Prova scritta del 11-6-2013: Testo e soluzioni
- Prova scritta del 9-7-2013: Testo e soluzioni
- Prova scritta del 24-9-2013: Testo e soluzioni
- Prova scritta del 28-1-2014: Testo e soluzioni | Esito della prova e calendario degli orali

- Descrizione: Il corso è una introduzione alla teoria di Galois delle equazioni, corredata da complementi di teoria dei gruppi e di teoria dei moduli su un anello.

- Programma di massima del corso:
- Moduli su un anello. Costruzioni di moduli. Anello di gruppo e rappresentazioni. Struttura dei moduli finitamente generati su un anello a ideali principali. Applicazioni; forma canonica di Jordan e forme canoniche razionali.
- Azioni di gruppi su insiemi. Equazione delle classi. Teoremi di Sylow e applicazioni. Prodotti semidiretti. Sottogruppi finiti del gruppo moltiplicativo di un campo. Il gruppo moltiplicativo degli interi modulo

$n$ . Gruppi risolubili.
- Estensioni di campi. Campi di spezzamento: esistenza e unicità. Chiusura algebrica e sua unicità. La corrispondenza di Galois. Estensioni normali. Estensioni separabili e inseparabili. Estensioni di Galois. Il teorema fondamentale della teoria di Galois. Il teorema dell'elemento primitivo. Teoria di Galois dei campi finiti. Polinomi ciclotomici e loro irriducibilità. Il gruppo di Galois di un polinomio ciclotomico. Estensioni cicliche e loro caratterizzazione. Criterio di risolubilità per radicali. Il polinomio generale di grado

$>4$ . Equazioni a coefficienti interi che non sono risolubili per radicali. La cubica e la quartica.

- testi:
- I.N. Herstein, Algebra, terza edizione, Editori Riuniti, Roma 1993
- D.J.H. Garling, A Course in Galois Theory, Cambridge University Press
- C. Procesi, Elementi di Teoria di Galois, Zanichelli
- Note di R. Schoof e B. van Geemen, disponibili in forma elettronica all'indirizzo: http://mate.unipv.it/cornalba/notealgebra.pdf

- altri testi suggeriti:
- M.F. Atiyah, I.G. MacDonald, Introduzione all'algebra commutativa, Feltrinelli, 1981
- M. Artin, Algebra, Bollati Boringhieri, Torino 1997
- I.N. Stewart, Galois Theory, second edition, CRC Press

- note:
- Funzioni simmetriche (pdf)
- Il discriminante di un polinomio (pdf)
- Moduli su un dominio a ideali principali (pdf)
- Il gruppo moltiplicativo di

$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ (pdf)
- Il gruppo alterno

$A_n$ è semplice se

$n > 4$ (pdf)

- Esercizi: 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8
- Soluzione dell'esercizio 4a di Esercizi 6

- Diario del corso:

1 (5/3/2013): Introduzione al corso. Polinomi a coefficienti in un UFD

$A$ . Contenuto. Polinomi primitivi. Lemma di Gauss. Contenuto di un polinomio a coefficienti nel campo delle frazioni di

$A$ . Moltiplicatività del contenuto.

2 (5/3/2013): Caratterizzazione degli elementi invertibili e irriducibili in

$A[X]$ , dove

$A$ è un UFD. Se

$A$ è un UFD, anche

$A[X]$ lo è. Criterio di irriducibilità di Eisenstein.

3 (7/3/2013): Ancora sul criterio di Eisenstein e sue varianti. Esempi. Radici razionali di un polinomio a coefficienti interi; analogo per polinomi a coefficienti in un UFD.

4 (7/3/2013): Irriducibilità per polinomi di grado

$\le 3$ . Riduzione modulo un primo di un polinomio e suo uso per saggiare l'irriducibilità del medesimo. Indipendenza algebrica.

5 (12/3/2013): Sostanziale unicità dell'anello dei polinomi in

$n$ variabili su un anello commutativo. Omomorfismo di sostituzione.

6 (12/3/2013): Costruzione dell'anello dei polinomi in

$n$ variabili su un anello commutativo.

7 (14/3/2013): Polinomi simmetrici. Funzioni simmetriche elementari

$\sigma_1,\dots,\sigma_n$ . Coefficienti di un polinomio come funzioni simmetriche elementari delle radici. Ordinamento lessicografico dei monomi. L'insieme dei polinomi simmetrici è

$A[\sigma_1,\dots,\sigma_n]$ .

8 (14/3/2013): Indipendenza algebrica delle funzioni simmetriche elementari. Identità di Newton.

9 (15/3/2013): Esercizi sui criteri di irriducibilità per polinomi.

10 (19/3/2013): Ancora sull'identità di Newton. Teorema di unicità del campo di spezzamento di un polinomio.

11 (19/3/2013): Estensioni normali. Campo di spezzamento di un insieme di polinomi.

12 (21/3/2013): Una estensione è normale se e solo se è un campo di spezzamento. Gruppo di Galois di una estensione di campi.

13 (21/3/2013): La corrispondenza di Galois. Esempi:

$Gal(\mathbb{Q}[\sqrt[4]{2}]\big/\mathbb{Q})$ . Una sottoestensione di una estensione normale finita

$L/K$ è normale se e solo se è invariante per

$Gal(L/K)$ . Chiusura normale.

14 (22/3/2013): Esercizi sulle funzioni simmetriche. Discriminante di un polinomio. Calcolo del discriminante di un polinomio di terzo grado.

15 (26/3/2013): Metodi di calcolo del discriminante.

16 (26/3/2013): Polinomi separabili. Criterio differenziale di separabilità. Elementi separabili. Estensioni separabili. Campi perfetti. Ogni estensione algebrica di un campo perfetto è separabile. I campi finiti e le estensioni finite di campi perfetti sono perfetti.

17 (4/4/2013): Caratterizzazione dei polinomi inseparabili irriducibili.

18 (4/4/2013): Il numero di immersioni di una estensione finita non supera il grado, ed eguaglia il grado se e solo se l'estensione è separabile; corollari. Transitività della separabilità. Per una estensione normale e separabile il grado è pari all'ordine del gruppo di Galois.

19 (5/4/2013): Esercizi su campi di spezzamento e estensioni normali.

20 (9/4/2013): Il teorema fondamentale della teoria di Galois (inizio).

21 (9/4/2013): Il teorema fondamentale della teoria di Galois (fine).

22 (11/4/2013): Guppo di Galois di un polinomio. Il gruppo di Galois della equazione generale di grado

$n$ . Teoria di Galois per campi finiti.

23 (11/4/2013): Gruppo di Galois di un polinomio e discriminante. Teorema dell'elemento primitivo. La cubica.

24 (16/4/2013): Esempi di gruppi di Galois di polinomi cubici e della corrispondenza di Galois per i medesimi.

25 (16/4/2013): Risoluzione per radicali della cubica. Il gruppo di Galois di una cubica.

26 (18/4/2013): Esercizi sulla corrispondenza di Galois.

27 (18/4/2013): Esercizi sulla corrispondenza di Galois. Radici dell'unità. Polinomi ciclotomici. Estensioni ciclotomiche.

28 (23/4/2013): I polinomi ciclotomici hanno coefficienti interi. Irriducibilità sugli interi dei polinomi ciclotomici.

29 (23/4/2013): Ancora sull'irriducibilità sugli interi dei polinomi ciclotomici. Gruppo di Galois di una estensione ciclotomica.

30 (30/4/2013): Ancora sul gruppo di Galois di una estensione ciclotomica. Estensioni cicliche. Gruppo di Galois di una estensione

$K[\sqrt[n]{\vartheta}]$ .

31 (30/4/2013): Teorema di Artin sulla indipendenza dei caratteri. Caratterizzazione delle estensioni cicliche. Estensioni per radicali. Risolubilità per radicali. Gruppi risolubili.

32 (2/5/2013): Teorema di Abel sulle estensioni radiciali di esponente primo. Proprietà elementari dei gruppi risolubili.

33 (2/5/2013): Se il gruppo di Galois di una equazione è risolubile, allora l'equazione è risolubile per radicali. Polinomi interi il cui gruppo di Galois è il gruppo simmetrico.

34 (3/5/2013): Polinomi interi il cui gruppo di Galois è il gruppo simmetrico (fine). Se una equazione è risolubile per radicali, allora il suo gruppo di Galois è risolubile.

35 (7/5/2013): Se una equazione è risolubile per radicali, allora il suo gruppo di Galois è risolubile: fine della dimostrazione. Non risolubilità per radicali del polinomio generale di grado

$n\ge 5$ . Struttura del gruppo moltiplicativo di

$\mathbb{Z}/(n)$ .

36 (7/5/2013): Coniugio nei gruppi. Centralizzante di un elemento di un gruppo. Equazione delle classi. I

$p$ -gruppi finiti hanno centro non banale. I gruppi di ordine

$p^2$ sono abeliani.

37 (9/5/2013): Teorema di Cauchy per gruppi abeliani. Primo teorema di Sylow e varianti. Laterali doppi. Secondo teorema di Sylow.

38 (9/5/2013): Normalizzante di un sottogruppo. Terzo teorema di Sylow. Gruppi di ordine

$pq$ .

39 (10/5/2013): Ancora sui gruppi di ordine

$pq$ . Costruzione del gruppo non abeliano di ordine

$pq$ come sottogruppo del gruppo di Galois su

$\mathbb{Q}$ di

$X^q-a$ , dove

$a$ un numero primo.

40 (14/5/2013): Prodotti semidiretti di gruppi.

41 (14/5/2013): Gruppi di ordine

$pq^2$ e di ordine

$pqr$ .

42 (16/5/2013): Non semplicità dei gruppi di ordine non primo

$< 60$ . Ogni gruppo abeliano finito è somma diretta dei suoi sottogruppi di Sylow.

43 (16/5/2013): Struttura dei

$p$ -gruppi abeliani finiti. Ogni gruppo abeliano finito è somma diretta di sottogruppi ciclici. Divisori elementari.

44 (17/5/2013): Risultati di unicità per le decomposizioni di un gruppo abeliano finito in somma diretta di gruppi ciclici. Omomorfismi e isomorfismi di prodotti semidiretti.

45 (17/5/2013): Omomorfismi e isomorfismi di prodotti semidiretti (fine). Unicità del gruppo non abeliano di ordine

$pq$ quando

$p$ divide

$q-1$ . Automorfismi di

$\mathbb{Z}/(2)^2$ . Classificazione dei gruppi di ordine

$12$ .

46 (21/5/2013): Moduli su un anello. Sottomoduli. Criteri perché un sottinsieme sia un sottomodulo. Intersezione e somma di sottomoduli. Sottomodulo generato da un sottinsieme.

47 (21/5/2013): Somma diretta di moduli. Moduli liberi. Omomorfismi di moduli. Nucleo di un omomorfismo; criterio di iniettività. Quozienti di moduli. Teorema di omomorfismo per moduli.

48 (23/5/2013): Moduli liberi e basi. Elementi di torsione, sottomodulo di torsione. Annullatore. Il quoziente di un modulo su un dominio per il sottomodulo di torsione non ha torsione. Teoremi di isomorfismo per moduli.

49 (23/5/2013): Corrispondenza tra sottomoduli contenenti un sottomodulo

$N$ e sottomoduli del quoziente modulo

$N$ . Moduli e anelli noetheriani. Un modulo è noetheriano se e solo se ogni sottomodulo è finitamente generato. Dato un modulo

$M$ e un sottomodulo

$N$ ,

$M$ è noetheriano se e solo se lo sono

$N$ e

$M/N$ . Un modulo finitamente generato su un anello noetheriano è noetheriano.

50 (24/5/2013): Un modulo finitamente generato senza torsione su un PID è libero. Un modulo finitamente generato su un PID è somma diretta del sottomodulo di torsione e di un sottomodulo libero. Decomposizione di un modulo finitamente generato di torsione su un PID in somma diretta di sottomoduli con annullatori primi fra loro.

51 (28/5/2013): Ancora sulla decomposizione di un modulo finitamente generato di torsione su un PID in somma diretta di sottomoduli con annullatori primi fra loro. Il caso dei gruppi abeliani.

52 (28/5/2013): Decomposizione in somma diretta di moduli ciclici di un modulo finitamente generato su un PID con annullatore potenza di un primo. Proprietà di unicità della decomposizione.

53 (29/5/2013): Applicazioni del teorema di struttura per moduli finitamente generati di torsione su un PID. Forma canonica di Jordan.

54 (30/5/2013): Ancora sulle proprietà di unicità della decomposizione di un modulo finitamente generato su un PID in somma diretta di moduli ciclici. Divisori elementari.

55 (30/5/2013): Unicità dei divisori elementari. Esercizi di Teoria di Galois.

56 (31/5/2013): Esercizi di Teoria di Galois.