Ricevimento studenti: per appuntamento via
e-mail elisabetta.rocca@unimi.it e cecilia.cavaterra@unimi.it
Per la prova d'esame contattare i docenti via e-mail.
ORARIO DELLE LEZIONI:
Le lezioni si svolgeranno in aula 4.
giovedi': 10.30-12.30
venerdi': 8.30-10.30 (il venerdi' le lezioni si svolgeranno dalle ore 9.00 alle 10.30 senza interruzione)
Presentazione del corso.
Prerequisiti.
Appunti informali su Spazi di Sobolev.
Dispense su equazioni paraboliche ed iperboliche astratte.
Dispense sulla teoria degli attrattori.
Slides su attrattori per equazioni di reazione-diffusione.
Slides su attrattori per equazione di sine-gordon.
Proposte di seminari per esame.
Il Programma in breve (preliminare):
1. Richiami:
1.1. Spazi Lp, spazi di Hilbert. Convergenze deboli e deboli star.
1.2. Spazi di Sobolev.
1.3. Operatori lineari e positivi. Problemi ellittici 2. Equazioni paraboliche:
2.1. Spazi di funzioni a valori in spazi di Banach.
2.2. Formulazione variazionale di problemi ai valori iniziali e al contorno associati.
2.3. Esistenza della soluzione: metodo di Faedo-Galerkin.
2.4. Unicita' della soluzione, dipendenza continua dai dati, regolarita'.
2.5. Equazioni nonlineari di reazione-diffusione. 3. Equazioni iperboliche lineari:
3.1. Formulazione variazionale di problemi ai valori iniziali e al contorno associati.
3.2. Esistenza della soluzione: metodo di discretizzazione in tempo.
3.3. Unicita' della soluzione, dipendenza continua dai dati, regolarita'. 4. Cenni alla teoria degli attrattori:
4.1. Definizione di sistema dinamico. Sistemi dinamici dissipativi.
4.2. Definizioni di traiettoria, traiettoria completa e limitata, punto di equilibrio.
4.3. Insieme omega-limite e sua caratterizzazione. Insieme assorbente. Relazione con i sistemi dinamici dissipativi.
4.4.
Attrattore globale, sua unicitµa e sue proprietµa. Teorema di esistenza
dell'attrattore globale per sistemi dinamici dissipativi.
4.5. Alcune applicazioni alle equazioni di reazione-diffusione, iperboliche non lineari di tipo sine-Gordon. Testi consigliati:
- H. Brezis, Analisi funzionale, Liguori editore.
- J. C. Robinson, Infinite-Dimensional Dynamical Systems,Cambridge University Press.
- S. Salsa, Equazioni a derivate parziali, Springer.
- L.C. Evans, Partial differential equations, American MathematicalSociety.
- Le dispense del corso verranno pubblicate durante il corso.
Testo aggiuntivo:
Per l'approfondimento di alcune parti: R. Temam, Infinite-Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics, Applied
Mathematical Sciences 68, Springer-Verlag.Prerequisiti (in breve): - Spazi di Banach, spazi di Hilbert, spazi L_p,
- Spazi duali, convergenze deboli, operatori compatti e loro spettro. Richiameremo queste definizioni, che trovate
- su [Salsa, Equazioni alle derivate parziali, Springer]
- o su [Brezis, Analisi funzionale, Liguori].
- Inoltre possedere conoscenze di base sulle EDP di tipo ellittico (richiameremo i risultati necessari).
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