| Docente: | Andrea Moiola |
| https://euler.unipv.it/moiola | |
| Email: | andrea.moiola@unipv.it |
| Telefono: | +39 0382 985656 |
| Ufficio: | E15, Dipartimento di Matematica |
| Pagina del corso: | https://euler.unipv.it/moiola/T/MN2025/MN2025.html |
| Pagina ufficiale: | https://unipv.coursecatalogue.cineca.it/insegnamenti/2025/8312/2009/9999/10057 |
| Semestre: | Autunno 2025 |
| Corso di laurea: | Laurea triennale in matematica |
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Ingegneria computazionale e modellistica per materiali, strutture e tecnologie sostenibili
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| Lezioni: | Lunedì 14-16 |
| Mercoledì 14-17 Aula E10 Andremo nel laboratorio informatico del dipartimento di matematica tipicamente il mercoledì dopo le 15. Dal 17 novembre andremo in laboratorio anche il lunedì dalle 16 alle 17. | |
Le registrazioni delle lezioni dell'anno 2020 sono disponibili sulla pagina Kiro/Panopto del corso: https://elearning.unipv.it/course/view.php?id=10094 | |
| Ricevimento: | Dopo le lezioni, oppure su appuntamento (accordandosi per email o a lezione) |
| Crediti formativi: | 6 |
| Ore di lezione: | 56, inclusi i laboratori |
| Esame: | Orale + relazione Matlab. |
| La relazione deve essere lunga al massimo 4 pagine ed essere inviata per email in pdf al massimo 24 ore prima dell'appello. | |
| Modello relazione: | .tex, .pdf |
| Appelli: | Martedì 27 gennaio 2026, ore 10.00, aula ex biblioteca, piano E, dipartimento di matematica |
| Mercoledì 11 febbraio 2026, ore 10.00, aula ex biblioteca, piano E, dipartimento di matematica |
R.J. LeVeque, Finite Difference Methods for Ordinary and Partial Differential Equations. Steady-state and Time-dependent Problems, SIAM 2007.
A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, P. Gervasio, Matematica Numerica, Springer, 4a edizione, 2014. Capitoli 11-12.
G. Strang, G. Fix, An Analysis of the Finite Element Method, Wellesey–Cambridge press, 2008.
E. Süli, Numerical Solution of Partial Differential Equations, 2024, dispense disponibili su https://courses.maths.ox.ac.uk/course/view.php?id=5523
E. Süli, D.F. Mayers, An introduction to Numerical Analysis, Cambridge University Press, 2003. Capitoli 13-14.
L.N. Trefethen, A. Birkisson, T.A. Driscoll, Exploring ODEs, SIAM, 2018. Pdf e files Matlab disponibili su http://people.maths.ox.ac.uk/trefethen/ExplODE/
A. Tveito, R. Winther, Introduction to Partial Differential Equations. A Computational Approach, Springer 2005.
| Lunedì 29.09.2025 | 2h | E10 | Introduzione al corso. Dettagli pratici.
Problemi ai valori iniziali e problemi ai limiti per equazioni alle derivate ordinarie. Esempio di problema ai limiti lineare ben posto e mal posto a seconda delle condizioni al bordo. Introduzione al metodo di shooting. |
1.1 |
| Mercoledì 1.10.2025 | 1h + 2h | E10 Lab.Inf. |
Il metodo di shooting combinato con il metodo di bisezione. Il metodo di shooting combinato con il metodo di Newton. Esercizio 1.2: uso di ode45 in Matlab. Esercizi 1.3, 1.6, 1.8: implementazione del metodo di shooting con bisezione e Newton. |
1.2 1.2.1 |
| Lunedì 6.10.2025 | 2h | E10 |
Differenziazione numerica. Differenze finite in avanti, all'indietro e centrate per l'approssimazione di \(f'(x)\). Errori di troncamento. Differenze finite centrate per la derivata seconda. Interpretazione geometrica e attraverso l'interpolazione polinomiale. L'errore di arrotondamento: cancellazione, crescita dell'errore quando il passo \(h\) è molto piccolo. Stima dell'ordine di convergenza di un metodo numerico con polyfit. Problemi di diffusione, quantità rilevanti: concentrazione \(u\), sorgente \(f\), flusso \(\mathbf J\). |
3.1 3.2 |
| Mercoledì 8.10.2025 | 1h + 2h | E10 Lab.Inf. |
Derivazione informale delle equazioni di continuità, di Fick, del calore, equazioni generali di diffusione-trasporto-reazione paraboliche. Esempio: equazione di Fisher-Kolmogorov \(\partial_t u-\mathrm{div}(K\nabla u)-\alpha u(1-u)=0\) per la diffusione di proteine mal piegate nel cervello, relazione con le malattie di Alzheimer e di Parkinson. Esercizio 3.6: errore relativo delle differenze finite in avanti e centrate. Errore di troncamento e di roundoff. Stima dell'ordine di convergenza. Esercizi 3.7, 3.8, 3.9: differenze finite del quarto ordine, complex-step, per \(\sin(kx)\). |
2.1.1 2.1.2 2.1.3 |
| Lunedì 13.10.2025 | 2h | E10 |
Equazioni di diffusione-trasporto-reazione lineari: equazioni ellittiche, equazioni di Poisson e Laplace, caso 1-dimensionale. Problemi al bordo lineari in una dimensione. Analogia con problemi algebrici lineari. Esistenza e unicità della soluzione del problema di Dirichlet non omogeneo data l'unicità del problema omogeneo. Dimostrazione dell'unicità della soluzione del problema omogeneo con il metodo dell'energia. |
2.1.4 2.2 2.2.3 2.2.1 |
| Mercoledì 15.10.2025 | 2h + 1h | E10 Lab.Inf. |
Problemi al bordo lineari in una dimensione. Principio del massimo e unicità della soluzione del problema di Dirichlet omogeneo con coefficiente di reazione non-negativo. La funzione di Green per \(-u''=f\) con condizioni di Dirichlet. Stima di stabilità e dipendenza continua della soluzione dai dati in norma \(L^\infty(a,b)\). Esercizi precedenti 3.6-3.9. |
2.2.2 2.2.4 |
| Lunedì 20.10.2025 | 2h | E10 |
Il metodo delle differenze finite in una dimensione. Derivazione del metodo per un problema di diffusione-reazione di Dirichlet. Formulazione matriciale. Matrice simmetrica, sparsa, a bande, implementazione con spdiags. Quali domande ci porremo su questo metodo? Buona positura, convergenza, ordini di convergenza, implementazione efficiente, generalizzazioni. Principio del massimo discreto. Matrici monotone, invertibilità della matrice delle differenze finite. |
4.1 4.2 |
| Mercoledì 22.10.2025 | 1h + 2h | E10 Lab.Inf. |
Proprietà delle matrici monotone: positività e ordinamento delle inverse. Ripasso: il metodo delle differenze finite in una dimensione. Analisi dell'errore per il metodo delle differenze finite. Studio dell'errore di troncamento. Ripasso delle norme vettoriali e matriciali. Esercizio 4.1: implementazione del metodo delle differenze finite per problemi di Dirichlet. Esercizio 4.14: convergenza del metodo delle differenze finite. Esercizio 4.17: metodo delle differenze finite per un problema dipendente da un parametro. |
4.3 |
| Lunedì 27.10.2025 | 2h | E10 |
Studio della stabilità del metodo delle differenze finite: stima della norma dell'inversa della matrice. Stima di convergenza del metodo. Commento sulla convergenza in norme diverse da quella infinito. Problemi di diffusione-reazione con condizioni al bordo di Neumann: mal posti per \(q=0\), ben posti per \(q>0\). Metodo delle differenze finite per il problema di Neumann: approssimazione delle condizioni al bordo con differenze finite in avanti/indietro e con differenze finite centrate. Matrici a predominanza diagonale e a predominanza diagonale stretta. |
4.3 2.2.5 4.4 |
| Mercoledì 29.10.2025 | 1h + 2h | E10 Lab.Inf. |
Teorema dei cerchi di Gershgorin; dimostrazione. Metodo delle differenze finite per il problema di Neumann: stima di stabilità. Diffusione in un anello: problema con condizioni al bordo periodiche, approssimazione con il metodo delle differenze finite. Decomposizione LU di una matrice a bande. Esercizio 4.20: implementazione di due metodi alle differenze finite per il problema di Neumann, confronto degli ordini di convergenza. Esercizio 4.29: metodo delle differenze finite per problemi periodici. |
4.4 4.5 |
| Lezioni sospese nella settimana 3-7.11.2025 | ||||
| Lunedì 10.11.2025 | 2h | E10 |
Decomposizione LU di una matrice tridiagonale e soluzione del sistema lineare corrispondente con costo lineare in \(n\). Soluzione di un sistema lineare che è perturbazione di rango uno di un sistema risolvibile in modo efficiente. Applicazione al metodo delle differenze finite per il problema periodico. Problemi di diffusione e trasporto. Modello minimo di problema di diffusione e trasporto: \(-\epsilon u''+p u'=0\) in \((0,1)\), \(u(0)=0,u(1)=1\). Due casi limite: diffusione dominante \(0\lt p\ll\epsilon\) (perturbazione regolare) e trasporto dominante \(0\lt\epsilon\ll p\) (perturbazione singolare). Discretizzazione di problemi di diffusione e trasporto con il metodo delle differenze finite centrate. Oscillazioni spurie del metodo delle differenze finite centrate. |
4.5.1 4.5.2 4.6.1 |
| Mercoledì 12.11.2025 | 1h + 2h | E10 Lab.Inf. |
Discretizzazione di problemi di diffusione e trasporto con il metodo delle differenze finite centrate. Oscillazioni spurie del metodo delle differenze finite centrate, numero di Péclet locale, predominanza diagonale. Calcolo della soluzione esatta del metodo delle differenze finite centrate per il problema modello; verifica della monotonia della soluzione discreta solo per numero di Péclet locale minore di uno. Discretizzazione di problemi di diffusione e trasporto con il metodo upwind: definizione attraverso differenze finite in avanti e all'indietro. Viscosità numerica: il metodo upwind coincide con il metodo alle differenze centrate per un problema perturbato, con numero di Péclet locale minore di uno. Esercizio 4.33: funzione x=TridiagSolver(a,b,c,y) per la risoluzione efficiente di un sistema tridiagonale, test del codice, confronto dei tempi computazionali contro backslash e spdiags. Uso di TridiagSolver con il metodo delle differenze finite. Esercizio 4.37: risoluzione efficiente della perturbazione di rango 1 di un sistema tridiagonale; applicazione al metodo delle differenze finite per problemi periodici. Esercizio 4.42: metodo delle differenze finite centrate per il problema modello di diffusione e trasporto. Esercizio 4.49: confronto tra metodo upwind e differenze centrate. |
4.6.2 4.6.3 |
| Lunedì 17.11.2025 | 2h + 1h | E10 Lab.Inf. |
Autovalori e autofunzioni di \(-u''=\lambda u\) con condizioni di Dirichlet. Approssimazione con il metodo delle differenze finite: autovettori e autovalori discreti. Stima dell'errore commesso dal metodo delle differenze finite. Estensione dell'idea di matrice autoaggiunta (e delle sue proprietà spettrali) agli operatori differenziali: problemi di Sturm-Liouville. Proprietà degli operatori differenziali di Sturm-Liouville, dei loro autovalori e autofunzioni. Esercizio 4.56: autovalori e autofunzioni di \(-u''=\lambda u\) con condizioni di Dirichlet. Esercizio 4.64: autovalori e autofunzioni di \(-u''+qu=\lambda u\) con potenziali \(q\) a singolo e doppio pozzo. |
4.7 4.7.1 |
| Mercoledì 19.11.2025 | 2h + 1h | E10 Lab.Inf. |
Perché i problemi differenziali agli autovalori sono interessanti: motivi dalla matematica (espansione in autofunzioni, stabilità), dalla fisica (meccanica quantistica), dall'ingegneria (risonanze). Differenze finite per problemi non lineari. Il metodo delle differenze finite combinato con il metodo di Newton per l'equazione del pendolo. Differenza tra il residuo \(\|\mathbf G(\mathbf U^k)\|_\infty\) del metodo di Newton e l'errore \(\|\mathbf u-\mathbf U^k\|_\infty\) del metodo delle differenze finite. Metodo delle differenze finite in 2 dimensioni: idee generali. Aspetti positivi e negativi del metodo delle differenze finite; nelle prossime lezioni cercheremo un metodo che converga più velocemente e la cui incognita sia una funzione, siamo disposti a rinunciare alla sparsità della matrice. Esercizio 4.68: differenze finite per un problema al bordo per l'equazione (non lineare) del pendolo. Esercizio 4.70: differenze finite per un problema non lineare che coinvolge anche la derivata prima della soluzione. |
4.8 |
| Lunedì 24.11.2025 | 2h + 1h | E10 Lab.Inf. |
Metodo di collocazione per il problema di Dirichlet. Il metodo di collocazione spettrale polinomiale, i polinomi di Legendre integrati. Il metodo di collocazione spettrale trigonometrico: la base di funzioni trigonometriche e quella di esponenziali complessi. Un esempio con convergenza esponenziale e un esempio con convergenza algebrica. Esercizi 5.11 e 5.12: il metodo di collocazione spettrale per due problemi al bordo periodici; errore in norma \(L^\infty(0,2\pi)\) e \(L^2(0,2\pi);\) plot della convergenza. |
5.1 5.2 5.3 |
| Mercoledì 26.11.2025 | 2h + 1h | E10 Lab.Inf. |
Il metodo di collocazione spettrale trigonometrico: ripasso. Uso della matrice di Fourier per risolvere il sistema lineare del metodo di collocazione con un prodotto matrice-vettore. La trasformata di Fourier discreta (DFT). La trasformata di Fourier veloce (FFT): l'algoritmo di Cooley e Tuckey. Esercizi 5.19 e 5.21: confronto dei tempi di calcolo del metodo di collocazione e della DFT implementati in modi diversi. |
5.3.1 5.3.2 |
| Lunedì 1.12.2025 | 2h + 1h | E10 Lab.Inf. |
Motivazioni per estendere la formulazione di un problema al bordo al caso con soluzioni che non sono di classe \(C^2\). Definizione degli spazi di Sobolev \(H^1(a,b),H^2(a,b),H^1_0(a,b)\) e delle norme corrispondenti. Formulazione debole di un problema al bordo. Unicità della soluzione debole. Le soluzioni classiche sono anche soluzioni deboli. Formulazione di un problema variazionale astratto. Proprietà di continuità e coercività, Teorema di Lax-Milgram. Dipendenza continua dai dati per la soluzione del problema astratto. Principio di Ritz in astratto: il problema variazionale (simmetrico) è equivalente a un problema di minimo. Esercizi rimasti dai laboratori precedenti |
6.1 6.1.1 6.1.2 6.2 |
| Mercoledì 3.12.2025 | 3h | E10 |
Riassunto: problemi al bordo classici, deboli, variazionali astratti e relazioni tra di loro. Disuguaglianza di Poincaré-Friedrichs per un intervallo. Verifica delle ipotesi del Teorema di Lax-Milgram per la forma debole del problema al bordo. Esistenza, unicità e dipendenza continua dai dati della soluzione del problema di diffusione-reazione in forma debole. Il metodo di Galerkin per un problema variazionale astratto. Forma matriciale. Proprietà del metodo di Galerkin per un problema variazionale astratto: buona posizione, matrice definita positiva, stabilità, ortogonalità, quasi-ottimalità (Lemma di Céa). Applicazione del metodo di Galerkin al problema di diffusione e reazione in forma debole. Condizioni al bordo non omogenee. Breve accenno al metodo spettrale polinomiale usando polinomi di Legendre integrati. Il metodo degli elementi finiti: spazi di funzioni polinomiali a tratti. |
6.3 6.4 6.4.1 6.4.2 6.5 6.6 |
| Mercoledì 10.12.2025 | 2h + 1h | Biblioteca Lab.Inf. |
Riassunto: il metodo di Galerkin per un problema di diffusione-reazione, elementi finiti. Elementi finiti lineari: funzioni di base a tenda, costruzione e proprietà della matrice, approssimazione degli integrali. Elementi finiti quadratici: spazio discreto, funzioni di base nodali e a bolla, diverso ordinamento delle funzioni di base, matrice pentadiagonale. Cenno al caso 2D: maggiore flessibilità del metodo degli elementi finiti rispetto a quelli delle differenze finite per domini non rettangolari. Esercizio 6.33: metodo degli elementi finiti per soluzioni lisce. |
6.6.1 6.6.2 |
| Lunedì 15.12.2025 | 2h + 1h | E10 Lab.Inf. |
Proprietà di approssimazione dell'interpolazione lineare a tratti. Stima di approssimazione e di convergenza per il metodo degli elementi finiti lineari. Equazione del calore. Problema ai valori iniziali con condizioni al bordo di Dirichlet omogenee. Metodo di Fourier della separazione delle variabili: caso di un dato iniziale sinusoidale, soluzione generale. Proprietà della soluzione: decadimento in tempo, diversa velocità di decadimento delle diverse frequenze. Commenti sull'estensione del metodo di separazione delle variabili a casi più generali; necessità di calcolare (esattamente o numericamente) autofunzioni e autovalori dell'operatore in spazio. Semidiscretizzazione con differenze finite in spazio del problema ai valori iniziali con condizioni di Dirichlet per l'equazione del calore. Discretizzazione in tempo: il theta-metodo. Tre casi importanti: il metodo di Eulero esplicito, il metodo di Eulero implicito, il metodo di Crank-Nicolson. Esercizio 7.4: soluzione dell'equazione del calore con il metodo di Fourier. Esercizio 7.13: approssimazione della soluzione dell'equazione del calore con differenze finite e \(\theta\)-metodo. |
6.6.3 7.2 7.3 7.3.1 |
| Mercoledì 17.12.2025 | 2h + 1h | E10 Lab.Inf. |
