| Docente: | Andrea Moiola |
| https://euler.unipv.it/moiola | |
| Email: | andrea.moiola@unipv.it |
| Telefono: | +39 0382 985656 |
| Ufficio: | E15, Dipartimento di Matematica |
| Pagina del corso: | https://euler.unipv.it/moiola/T/MN2025/MN2025.html |
| Pagina ufficiale: | https://unipv.coursecatalogue.cineca.it/insegnamenti/2025/8312/2009/9999/10057 |
| Semestre: | Autunno 2025 |
| Corso di laurea: | Laurea triennale in matematica |
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Ingegneria computazionale e modellistica per materiali, strutture e tecnologie sostenibili
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| Lezioni: | Lunedì 14-16 |
| Mercoledì 14-17 Aula E10 Andremo nel laboratorio informatico del dipartimento di matematica tipicamente il mercoledì dopo le 15. | |
Le registrazioni delle lezioni dell'anno 2020 sono disponibili sulla pagina Kiro/Panopto del corso: https://elearning.unipv.it/course/view.php?id=10094 | |
| Ricevimento: | Dopo le lezioni, oppure su appuntamento (accordandosi per email o a lezione) |
| Crediti formativi: | 6 |
| Ore di lezione: | 56, inclusi i laboratori |
| Esame: | Orale + relazione Matlab. |
| La relazione deve essere lunga al massimo 4 pagine ed essere inviata per email in pdf al massimo 24 ore prima dell'appello. | |
| Modello relazione: | .tex, .pdf |
| Appelli: | TBD |
R.J. LeVeque, Finite Difference Methods for Ordinary and Partial Differential Equations. Steady-state and Time-dependent Problems, SIAM 2007.
A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, P. Gervasio, Matematica Numerica, Springer, 4a edizione, 2014. Capitoli 11-12.
G. Strang, G. Fix, An Analysis of the Finite Element Method, Wellesey–Cambridge press, 2008.
E. Süli, Numerical Solution of Partial Differential Equations, 2024, dispense disponibili su https://courses.maths.ox.ac.uk/course/view.php?id=5523
E. Süli, D.F. Mayers, An introduction to Numerical Analysis, Cambridge University Press, 2003. Capitoli 13-14.
L.N. Trefethen, A. Birkisson, T.A. Driscoll, Exploring ODEs, SIAM, 2018. Pdf e files Matlab disponibili su http://people.maths.ox.ac.uk/trefethen/ExplODE/
A. Tveito, R. Winther, Introduction to Partial Differential Equations. A Computational Approach, Springer 2005.
| Lunedì 29.09.2025 | 2h | E10 | Introduzione al corso. Dettagli pratici.
Problemi ai valori iniziali e problemi ai limiti per equazioni alle derivate ordinarie. Esempio di problema ai limiti lineare ben posto e mal posto a seconda delle condizioni al bordo. Introduzione al metodo di shooting. |
1.1 |
| Mercoledì 1.10.2025 | 1h + 2h | E10 Lab.Inf. |
Il metodo di shooting combinato con il metodo di bisezione. Il metodo di shooting combinato con il metodo di Newton. Esercizio 1.2: uso di ode45 in Matlab. Esercizi 1.3, 1.6, 1.8: implementazione del metodo di shooting con bisezione e Newton. |
1.2 1.2.1 |
| Lunedì 6.10.2025 | 2h | E10 |
Differenziazione numerica. Differenze finite in avanti, all'indietro e centrate per l'approssimazione di \(f'(x)\). Errori di troncamento. Differenze finite centrate per la derivata seconda. Interpretazione geometrica e attraverso l'interpolazione polinomiale. L'errore di arrotondamento: cancellazione, crescita dell'errore quando il passo \(h\) è molto piccolo. Stima dell'ordine di convergenza di un metodo numerico con polyfit. Problemi di diffusione, quantità rilevanti: concentrazione \(u\), sorgente \(f\), flusso \(\mathbf J\). |
3.1 3.2 |
| Mercoledì 8.10.2025 | 1h + 2h | E10 Lab.Inf. |
Derivazione informale delle equazioni di continuità, di Fick, del calore, equazioni generali di diffusione-trasporto-reazione paraboliche. Esempio: equazione di Fisher-Kolmogorov \(\partial_t u-\mathrm{div}(K\nabla u)-\alpha u(1-u)=0\) per la diffusione di proteine mal piegate nel cervello, relazione con le malattie di Alzheimer e di Parkinson. Esercizio 3.6: errore relativo delle differenze finite in avanti e centrate. Errore di troncamento e di roundoff. Stima dell'ordine di convergenza. Esercizi 3.7, 3.8, 3.9: differenze finite del quarto ordine, complex-step, per \(\sin(kx)\). |
2.1.1 2.1.2 2.1.3 |
| Lunedì 13.10.2025 | 2h | E10 |
Equazioni di diffusione-trasporto-reazione lineari: equazioni ellittiche, equazioni di Poisson e Laplace, caso 1-dimensionale. Problemi al bordo lineari in una dimensione. Analogia con problemi algebrici lineari. Esistenza e unicità della soluzione del problema di Dirichlet non omogeneo data l'unicità del problema omogeneo. Dimostrazione dell'unicità della soluzione del problema omogeneo con il metodo dell'energia. |
2.1.4 2.2 2.2.3 2.2.1 |
| Mercoledì 15.10.2025 | 2h + 1h | E10 Lab.Inf. |
Problemi al bordo lineari in una dimensione. Principio del massimo e unicità della soluzione del problema di Dirichlet omogeneo con coefficiente di reazione non-negativo. La funzione di Green per \(-u''=f\) con condizioni di Dirichlet. Stima di stabilità e dipendenza continua della soluzione dai dati in norma \(L^\infty(a,b)\). Esercizi precedenti 3.6-3.9. |
2.2.2 2.2.4 |
| Lunedì 20.10.2025 | 2h | E10 |
Il metodo delle differenze finite in una dimensione. Derivazione del metodo per un problema di diffusione-reazione di Dirichlet. Formulazione matriciale. Matrice simmetrica, sparsa, a bande, implementazione con spdiags. Quali domande ci porremo su questo metodo? Buona positura, convergenza, ordini di convergenza, implementazione efficiente, generalizzazioni. Principio del massimo discreto. Matrici monotone, invertibilità della matrice delle differenze finite. |
4.1 4.2 |
| Mercoledì 22.10.2025 | 1h + 2h | E10 Lab.Inf. |
Proprietà delle matrici monotone: positività e ordinamento delle inverse. Ripasso: il metodo delle differenze finite in una dimensione. Analisi dell'errore per il metodo delle differenze finite. Studio dell'errore di troncamento. Ripasso delle norme vettoriali e matriciali. Esercizio 4.1: implementazione del metodo delle differenze finite per problemi di Dirichlet. Esercizio 4.14: convergenza del metodo delle differenze finite. Esercizio 4.17: metodo delle differenze finite per un problema dipendente da un parametro. |
4.3 |
| Lunedì 27.10.2025 | 2h | E10 |
Studio della stabilità del metodo delle differenze finite: stima della norma dell'inversa della matrice. Stima di convergenza del metodo. Commento sulla convergenza in norme diverse da quella infinito. Problemi di diffusione-reazione con condizioni al bordo di Neumann: mal posti per \(q=0\), ben posti per \(q>0\). Metodo delle differenze finite per il problema di Neumann: approssimazione delle condizioni al bordo con differenze finite in avanti/indietro e con differenze finite centrate. Matrici a predominanza diagonale e a predominanza diagonale stretta. |
4.3 2.2.5 4.4 |
| Mercoledì 29.10.2025 | 1h + 2h | E10 Lab.Inf. |
Teorema dei cerchi di Gershgorin; dimostrazione. Metodo delle differenze finite per il problema di Neumann: stima di stabilità. Diffusione in un anello: problema con condizioni al bordo periodiche, approssimazione con il metodo delle differenze finite. Decomposizione LU di una matrice a bande. Esercizio 4.20: implementazione di due metodi alle differenze finite per il problema di Neumann, confronto degli ordini di convergenza. Esercizio 4.29: metodo delle differenze finite per problemi periodici. |
4.4 4.5 |
| Lezioni sospese nella settimana 3-7.11.2025 | ||||
| Lunedì 10.11.2025 | 2h | E10 | ||
| Mercoledì 12.11.2025 | 1h + 2h | E10 Lab.Inf. |
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| Lunedì 17.11.2025 | 2h | E10 | ||
| Mercoledì 19.11.2025 | 1h + 2h | E10 Lab.Inf. |
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| Lunedì 24.11.2025 | 2h | E10 | ||
| Mercoledì 26.11.2025 | 1h + 2h | E10 Lab.Inf. |
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| Lunedì 1.12.2025 | 2h | E10 | ||
| Mercoledì 3.12.2025 | 1h + 2h | E10 Lab.Inf. |
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| Mercoledì 10.12.2025 | 1h + 2h | E10 Lab.Inf. |
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| Lunedì 15.12.2025 | 2h | E10 | ||
| Mercoledì 17.12.2025 | 1h + 2h | E10 Lab.Inf. |
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