| Docente: | Andrea Moiola |
| https://euler.unipv.it/moiola | |
| Email: | andrea.moiola@unipv.it |
| Telefono: | +39 0382 985656 |
| Ufficio: | E15, Dipartimento di Matematica |
| Pagina del corso: | https://euler.unipv.it/moiola/T/MN2023/MN2023.html |
| Pagina ufficiale: | https://unipv.coursecatalogue.cineca.it/insegnamenti/2023/20863-2/2023/9999/10675 |
| https://unipv.coursecatalogue.cineca.it/insegnamenti/2023/8312/2009/9999/10057 | |
| Semestre: | Autunno 2023 |
| Corso di laurea: | Laurea triennale in matematica |
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Ingegneria computazionale e modellistica per materiali, strutture e tecnologie sostenibili
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| Lezioni: | Lunedì 14-16, laboratorio informatico del dipartimento di matematica |
| Mercoledì 14-17, aula E10 | |
Le registrazioni delle lezioni dell'anno 2020 sono disponibili su Google Drive, il link per accedere si trova sulla pagina Kiro del corso: https://elearning.unipv.it/mod/page/view.php?id=135059 | |
| Ricevimento: | Dopo le lezioni, oppure su appuntamento (accordandosi per email o a lezione) |
| Crediti formativi: | 6 |
| Ore di lezione: | 56, inclusi i laboratori |
| Esame: | Orale + relazione Matlab. |
| La relazione deve essere lunga al massimo 4 pagine ed essere inviata per email in pdf al massimo 24 ore prima dell'appello. | |
| Modello relazione: | .tex, .pdf |
| Appelli: | Venerdì 26 gennaio 2024 |
| Venerdì 16 febbraio 2024 Lunedì 24 giugno 2024 Venerdì 19 luglio 2024 Martedì 3 settembre 2024 Martedì 17 settembre 2024 |
A. Iserles, A First Course in the Numerical Analysis of Differential Equations, Cambridge University Press, 2a edizione, 2009.
R.J. LeVeque, Finite Difference Methods for Ordinary and Partial Differential Equations. Steady-state and Time-dependent Problems, SIAM 2007.
A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, P. Gervasio, Matematica Numerica, Springer, 4a edizione, 2014. Capitoli 11-12.
G. Strang, G. Fix, An Analysis of the Finite Element Method, Wellesey–Cambridge press, 2008.
E. Süli, An introduction to the Numerical Analysis of Partial Differential Equations, 2005, dispense disponibili su http://people.maths.ox.ac.uk/suli/nspde.ps.
E. Süli, D.F. Mayers, An introduction to Numerical Analysis, Cambridge University Press, 2003. Capitoli 13-14.
L.N. Trefethen, A. Birkisson, T.A. Driscoll, Exploring ODEs, SIAM, 2018. Pdf e files Matlab disponibili su http://people.maths.ox.ac.uk/trefethen/ExplODE/
A. Tveito, R. Winther, Introduction to Partial Differential Equations. A Computational Approach, Springer 2005.
| Lunedì 2.10.2023 | 2h | E10 |
Introduzione al corso. Dettagli pratici.
Problemi ai valori iniziali e problemi ai limiti per equazioni alle derivate ordinarie. Esempio di problema ai limiti lineare ben posto e mal posto a seconda delle condizioni al bordo. Introduzione al metodo di shooting. |
1.1 |
| Mercoledì 4.10.2023 | 3h | E10 |
Il metodo di shooting. Il metodo di shooting combinato con il metodo di bisezione. Il metodo di shooting combinato con il metodo di Newton. Derivazione informale delle equazioni di continuità, di Fick, del calore, di Poisson, Laplace, e più generali equazioni di diffusione-trasporto-reazione lineari paraboliche ed ellittiche. Problemi al bordo lineari in una dimensione. Analogia con problemi algebrici lineari. |
1.2 2.1 |
| Lunedì 9.10.2023 | 2h | Lab.Inf |
Esercizio 1.2: uso di ode45 in Matlab. Esercizi 1.3, 1.6, 1.8: implementazione del metodo di shooting con bisezione e Newton. |
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| Mercoledì 11.10.2023 | 3h | E10 |
Differenziazione numerica. Differenze finite in avanti, all'indietro e centrate per l'approssimazione di \(f'(x)\). Gli errori di troncamento. Differenze finite centrate per la derivata seconda. Interpretazione geometrica e attraverso l'interpolazione polinomiale. L'errore di arrotondamento: cancellazione, crescita dell'errore quando il passo \(h\) è molto piccolo. Problemi al bordo lineari in una dimensione. Dimostrazione dell'unicità della soluzione del problema omogeneo con il metodo dell'energia. Principio del massimo e unicità della soluzione del problema di Dirichlet omogeneo. Esistenza e unicità della soluzione del problema di Dirichlet non omogeneo data l'unicità del problema omogeneo. |
2.2.1 2.2.2 2.2.3 3.1 3.2 |
| Lunedì 16.10.2023 | 2h | Lab.Inf |
Esercizio 3.6: errore relativo delle differenze finite in avanti e centrate.
Errore di troncamento e di roundoff. Esercizi 3.7, 3.8, 3.9: differenze finite del quarto ordine, complex-step, per \(\sin(kx)\). Stima dell'ordine di convergenza con polyfit. |
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| Mercoledì 18.10.2023 | 3h | E10 |
La funzione di Green per \(-u''=f\) con condizioni di Dirichlet e la dipendenza continua della soluzione dai dati. Problemi di diffusione-reazione con condizioni al bordo di Neumann: mal posti per \(q=0\), ben posti per \(q>0\). Condizioni al bordo di Robin e periodiche. Il metodo delle differenze finite in una dimensione. Derivazione del metodo per un problema di diffusione-reazione di Dirichlet. Formulazione matriciale. Quali domande ci porremo su questo metodo? Buona positura, convergenza, ordini di convergenza, implementazione efficiente, generalizzazioni. Principio del massimo discreto. |
2.2.4 2.2.5 4.1 |
| Lunedì 23.10.2023 | 2h | Lab.Inf |
Esercizio 4.1: implementazione del metodo delle differenze finite per problemi di Dirichlet. Extra: Esercizio 4.14: convergenza del metodo delle differenze finite. |
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| Mercoledì 25.10.2023 | 3h | E10 |
Ripasso: il metodo delle differenze finite in una dimensione. Invertibilità della matrice delle differenze finite. Matrici monotone e loro proprietà. Analisi dell'errore per il metodo delle differenze finite. Studio dell'errore di troncamento. Ripasso delle norme vettoriali e matriciali. Studio della stabilità del metodo delle differenze finite: stima della norma dell'inversa della matrice. Stima di convergenza del metodo. Commento sulla convergenza in norme diverse da quella infinito. Discretizzazione del problema di Neumann. Metodo delle differenze finite: approssimazione delle condizioni al bordo con differenze finite in avanti/indietro e con differenze finite centrate. |
4.2 4.3 4.4 |
| Lunedì 30.10.2023 | 2h | Lab.Inf |
Esercizio 4.14: convergenza del metodo delle differenze finite. Esercizio 4.19: implementazione di due metodi alle differenze finite per il problema di Neumann, confronto degli ordini di convergenza. |
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| Lunedì 6.11.2023 | 2h | E10 |
Teorema dei cerchi di Gershgorin; dimostrazione. Matrici a predominanza diagonale e a predominanza diagonale stretta. Per \(q\) positivo, la matrice del metodo delle differenze finite per il problema di Neumann è invertibile, simmetrica, a predominanza diagonale stretta e definita positiva. Stima di stabilità. Implementazione efficiente del metodo delle differenze finite: importanza della sparsità. Decomposizione LU di una matrice tridiagonale e soluzione efficiente del sistema lineare corrispondente. |
4.4 4.5.1 |
| Martedì 7.11.2023 Ore 11-13 | 2h | Aula ACI |
Esercizio 4.32: funzione x=TridiagSolver(a,b,c,y) per la risoluzione efficiente di un sistema tridiagonale, test del codice, confronto dei tempi computazionali contro backslash e spdiags. Uso di TridiagSolver con il metodo delle differenze finite. Extra: Esercizio 4.28: metodo delle differenze finite per problemi periodici. |
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| Mercoledì 8.11.2023 | 3h | E10 |
Soluzione efficiente di un sistema lineare che è perturbazione di rango uno di un sistema risolvibile in modo efficiente. Applicazione al metodo delle differenze finite per il problema periodico. Problemi di diffusione e trasporto. Modello minimo di problema di diffusione e trasporto: \(-\epsilon u''+p u'=0\) in \((0,1)\), \(u(0)=0,u(1)=1\). Due casi limite: diffusione dominante \(0\lt p\ll\epsilon\) (perturbazione regolare) e trasporto dominante \(0\lt\epsilon\ll p\) (perturbazione singolare). Discretizzazione di problemi di diffusione e trasporto con il metodo delle differenze finite centrate. Oscillazioni spurie del metodo delle differenze finite centrate, numero di Péclet locale. Calcolo della soluzione esatta del metodo delle differenze finite centrate per il problema modello; verifica della monotonia solo per numero di Péclet locale minore di uno. Il metodo upwind: definizione attraverso differenze finite in avanti e all'indietro. Viscosità numerica: il metodo upwind coincide con il metodo alle differenze centrate per un problema perturbato. Autovalori e autofunzioni di \(-u''=\lambda u\) con condizioni di Dirichlet. Approssimazione con il metodo delle differenze finite (solo accennato). |
4.5.2 4.6.1 4.6.2 4.6.3 |
| Lunedì 13.11.2023 | 2h | Lab.Inf |
Esercizio 4.35: risoluzione efficiente della perturbazione di rango 1 di un sistema tridiagonale. Applicazione al metodo delle differenze finite per problemi periodici. Esercizio 4.39: metodo delle differenze finite centrate per il problema modello di diffusione e trasporto. Esercizio 4.46: confronto tra metodo upwind e differenze centrate. |
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| Mercoledì 15.11.2023 | 3h | E10 |
Approssimazione con il metodo delle differenze finite di autovalori e autofunzioni di \(-u''=\lambda u\). Autovettori e autovalori discreti. Stima dell'errore commesso dal metodo delle differenze finite. Estensione dell'idea di matrice autoaggiunta (e delle sue proprietà spettrali) agli operatori differenziali: problemi di Sturm-Liouville. Proprietà degli operatori differenziali di Sturm-Liouville, dei loro autovalori e autofunzioni. Differenze finite per problemi non lineari. Il metodo delle differenze finite combinato con il metodo di Newton per l'equazione del pendolo. Differenza tra il residuo \(\|\mathbf G(\mathbf U^k)\|_\infty\) del metodo di Newton e l'errore \(\|\mathbf u-\mathbf U^k\|_\infty\) del metodo delle differenze finite. |
4.7 4.7.1 4.8 |
| Lunedì 20.11.2023 | 2h | Lab.Inf |
Esercizio 4.52: autovalori e autofunzioni di \(-u''=\lambda u\) con condizioni di Dirichlet. Esercizio 4.60: autovalori e autofunzioni di \(-u''+qu=\lambda u\) con potenziali \(q\) a singolo e doppio pozzo. Esercizio 4.64: differenze finite per un problema al bordo per l'equazione (non lineare) del pendolo. Extra: Esercizio 4.61: localizzazione di Anderson. Esercizio 4.66: differenze finite per un problema non lineare che coinvolge anche la derivata prima della soluzione. |
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| Mercoledì 22.11.2023 | 3h | E10 |
Quantificazione dell'incertezza (UQ). Motivazione: nei problemi concreti non abbiamo a disposizione dati completi e accurati; modelliamo i dati, e quindi le soluzioni, come quantità stocastiche. Problema modello \(-u''+qu=0\) in \((0,1)\), \(u(0)=u(1)=1\), con coefficiente \(q\) aleatorio. Parametrizzazione di \(q\) con un vettore aleatorio \(\mathbf y\in (0,1)^d\) uniformemente distribuito; soluzione \(u\) come variabile aleatoria. Quantità d'interesse e loro proprietà statistiche. Metodo Monte Carlo. Stimatore Monte Carlo; esempio concreto per il problema modello, proprietà. Metodo Monte Carlo visto come un metodo di quadratura. Convergenza del metodo. Ripasso: quadratura Gaussiana. Quantificazione dell'incertezza per il problema modello con coefficiente di reazione aleatorio. Metodo della quadratura Gaussiana: stimatore, convergenza, curse of dimensionality. Aspetti positivi e negativi del metodo delle differenze finite; nelle prossime lezioni cercheremo un metodo che converga più velocemente e la cui incognita sia una funzione, siamo disposti a rinunciare alla sparsità della matrice. Differenze finite in 2 dimensioni: sketch del metodo, struttura della matrice. |
4.9 |
| Lunedì 27.11.2023 | 2h | E10 |
Introduzione generale al metodo di collocazione per il problema di Dirichlet. Il metodo di collocazione spettrale polinomiale, i polinomi di Legendre integrati. Il metodo di collocazione spettrale trigonometrico: la base di funzioni trigonometriche e quella di esponenziali complessi. |
5.1 5.2 |
| Mercoledì 29.11.2023 | 3h | E10 |
Il metodo di collocazione spettrale trigonometrico: un esempio con convergenza esponenziale e un esempio con convergenza algebrica. Uso della matrice di Fourier per risolvere il sistema lineare del metodo di collocazione con un prodotto matrice-vettore. La trasformata di Fourier discreta (DFT). La trasformata di Fourier veloce (FFT): l'algoritmo di Cooley e Tuckey. Motivazioni per estendere la formulazione di un problema al bordo al caso con soluzioni che non sono di classe \(C^2\). Definizione degli spazi di Sobolev \(H^1(a,b),H^2(a,b),H^1_0(a,b)\) e delle norme corrispondenti. Formulazione debole di un problema al bordo. Unicità della soluzione debole. Le soluzioni classiche sono anche soluzioni deboli. Formulazione di un problema variazionale astratto. |
5.3 5.3.1 5.3.2 6.1 |
| Lunedì 4.12.2023 | 2h | Lab.Inf |
(Esercizi arretrati sulle differenze finite.)
Esercizi 5.11 e 5.12: il metodo di collocazione spettrale per due problemi al bordo periodici; errore in norma \(L^\infty(0,2\pi)\) e \(L^2(0,2\pi);\) plot della convergenza. Extra: Esercizio 4.68: metodo Monte Carlo per problema di diffusione-reazione. Esercizi 5.18 e 5.20: confronto dei tempi di calcolo del metodo di collocazione e della DFT implementati in modi diversi. |
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| Mercoledì 6.12.2023 | 3h | E10 |
Formulazione di un problema variazionale astratto. Proprietà di continuità e coercività, Teorema di Lax-Milgram. Dipendenza continua dai dati per la soluzione del problema astratto. Principio di Ritz in astratto: il problema variazionale (simmetrico) è equivalente a un problema di minimo. Disuguaglianza di Poincaré-Friedrichs per un intervallo. Verifica delle ipotesi del Teorema di Lax-Milgram per la forma debole del problema al bordo. Esistenza, unicità e dipendenza continua dai dati della soluzione del problema di diffusione-reazione in forma debole. Riassunto: problemi al bordo classici, deboli, variazionali astratti e relazioni tra di loro. Il metodo di Galerkin per un problema variazionale astratto. Forma matriciale. Proprietà del metodo di Galerkin per un problema variazionale astratto: buona posizione, matrice definita positiva, stabilità, ortogonalità, quasi-ottimalità (Lemma di Céa). |
6.1 6.2 6.3 6.4 6.4.1 |
| Lunedì 11.12.2023 | 2h | E10 |
Ripasso: problemi al bordo classici, deboli, variazionali astratti, metodo di Galerkin, proprietà che seguono da continuità e coercività. Breve accenno al metodo spettrale polinomiale. Il metodo degli elementi finiti. Elementi finiti lineari: funzioni di base a tenda, costruzione e proprietà della matrice, approssimazione degli integrali. |
6.4.2 6.5 6.6.1 |
| Mercoledì 13.12.2023 | 3h | E10 |
Proprietà di approssimazione dell'interpolazione lineare a tratti. Stima di approssimazione e di convergenza per il metodo degli elementi finiti lineari. Elementi finiti quadratici: spazio discreto, funzioni di base nodali e a bolla, matrice pentadiagonale. Cenno al caso 2D: maggiore flessibilità del metodo degli elementi finiti rispetto a quelli delle differenze finite e di collocazione spettrale per domini non rettangolari. Equazione del calore. Problema ai valori iniziali con condizioni al bordo di Dirichlet omogenee. Metodo di Fourier della separazione delle variabili: caso di un dato iniziale sinusoidale, soluzione generale. Proprietà della soluzione: decadimento in tempo, diversa velocità di decadimento delle diverse frequenze. Commenti sull'estensione del metodo di separazione delle variabili a casi più generali; necessità di calcolare (esattamente o numericamente) autofunzioni e autovalori dell'operatore in spazio. Semidiscretizzazione con differenze finite in spazio del problema ai valori iniziali con condizioni di Dirichlet per l'equazione del calore. Discretizzazione in tempo: il theta-metodo. Espressione in componenti e forma vettoriale. Tre casi importanti: il metodo di Eulero esplicito, il metodo di Eulero implicito, il metodo di Crank-Nicolson. Errore di troncamento. Stabilità: il metodo di Eulero implicito e quello di Crank-Nicolson sono sempre stabili, quello esplicito solo per numero di Courant \(\mu=\frac{\Delta t}{h^2}\le 1/2\). Relazione con gli autovalori della matrice di avanzamento in tempo. |
6.6.3 6.6.2 7.2 7.3.1 7.3.2 |
| Lunedì 18.12.2023 | 2h | Lab.Inf |
Esercizio 6.28: metodo degli elementi finiti per soluzioni lisce. Esercizio 7.13: approssimazione della soluzione dell'equazione del calore con differenze finite e \(\theta\)-metodo. Extra: Esercizio 6.29: metodo degli elementi finiti per soluzioni irregolari. Esercizio 6.30: metodo degli elementi finiti con griglie non uniformi. Esercizio 7.4: soluzione dell'equazione del calore con il metodo di Fourier. |
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| Mercoledì 20.12.2023 | 3h | Lab.Inf | Esercizi rimasti dai laboratori precedenti |
