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Docente: Andrea Moiola
https://euler.unipv.it/moiola
Email: andrea.moiola@unipv.it
Telefono: +39 0382 985656
Ufficio: E15, Dipartimento di Matematica
Pagina del corso:    https://euler.unipv.it/moiola/T/MN2022/MN2022.html
Pagina ufficiale: http://www-4.unipv.it/offertaformativa/prod/corso.php?idAttivitaFormativa=330390
Semestre: Autunno 2022
Corso di laurea: Laurea triennale in matematica
Lezioni: Lunedì 14-16, laboratorio informatico del dipartimento di matematica
Mercoledì 14-17, aula E10

Le registrazioni delle lezioni dell'anno 2020 sono disponibili su Google Drive, il link per accedere si trova sulla pagina Kiro del corso:
https://elearning.unipv.it/mod/page/view.php?id=67945

Ricevimento: Dopo le lezioni, oppure su appuntamento (accordandosi per email o a lezione)
Crediti formativi: 6
Ore di lezione: 56, inclusi i laboratori
Esame: Orale + relazione Matlab.
La relazione deve essere lunga al massimo 4 pagine ed essere inviata per email in pdf al massimo 24 ore prima dello scritto.
Modello relazione: .tex, .pdf

Dispense

Le dispense sono disponibili a questo link.
Per favore segnalate tutti gli errori e imprecisioni che trovate!
Le dispense non sostituiscono la partecipazione alle lezioni.

Esami passati

Esame del 22.2.2022: prova scritta, soluzione.
Esame del 18.2.2020: prova scritta, soluzione.
Esame del 30.1.2020: prova scritta, soluzione.
Esame del   2.7.2019: prova scritta, soluzione.
Esame del 26.2.2019: prova scritta, soluzione.
Esame del 12.2.2019: prova scritta, soluzione.
Esame del 24.7.2018: prova scritta, soluzione.
Esame del 20.2.2018: prova scritta, soluzione.
Esame del 23.1.2018: prova scritta, soluzione.

Letture suggerite

Per gli studenti che desiderano approfondire il programma del corso si suggeriscono i seguenti libri.
I capitoli rilevanti sono segnalati nelle dispense.

Programma svolto

Le date e le aule potranno subire modifiche.
Lunedì
3.10.2022
2hE10 Introduzione al corso. Dettagli pratici.

Problemi ai valori iniziali e problemi ai limiti per equazioni alle derivate ordinarie.
Esempio di problema ai limiti lineare ben posto e mal posto a seconda delle condizioni al bordo.

Il metodo di shooting.
Il metodo di shooting combinato con il metodo di bisezione.
1.1
1.2
Mercoledì
5.10.2022
3hE10 Il metodo di shooting combinato con il metodo di Newton.

Derivazione informale delle equazioni di continuità, di Fick, del calore, di Poisson, Laplace, e più generali equazioni di diffusione-trasporto-reazione lineari paraboliche ed ellittiche.

Problemi al bordo lineari in una dimensione.
Analogia con problemi algebrici lineari.
1.2.1
2.1
Lunedì
10.10.2022
2hLab.Inf. Esercizio 1.2: uso di ode45 in Matlab.
Esercizi 1.3, 1.6, 1.8: implementazione del metodo di shooting con bisezione e Newton.
Mercoledì
12.10.2022
3hE10 Problemi al bordo lineari in una dimensione.
Esistenza e unicità della soluzione del problema di Dirichlet non omogeneo data l'unicità del problema omogeneo.
Dimostrazione dell'unicità della soluzione del problema omogeneo con il metodo dell'energia.
Principio del massimo e unicità della soluzione del problema di Dirichlet omogeneo.

Differenziazione numerica.
Differenze finite in avanti, all'indietro e centrate per l'approssimazione di \(f'(x)\).
Gli errori di troncamento.
Differenze finite centrate per la derivata seconda.
Interpretazione geometrica e attraverso l'interpolazione polinomiale.
L'errore di arrotondamento: cancellazione, crescita dell'errore quando il passo \(h\) è molto piccolo.
2.2.1
2.2.2
2.2.3
3.1
3.2
Lunedì
17.10.2022
2hLab.Inf. Esercizio 3.6: errore relativo delle differenze finite in avanti e centrate. Errore di troncamento e di roundoff.
Esercizi 3.7, 3.8, 3.9: differenze finite del quarto ordine, complex-step, per \(\sin(kx)\).
Stima dell'ordine di convergenza con polyfit.
Mercoledì
19.10.2022
3hE10 La funzione di Green per \(-u''=f\) con condizioni di Dirichlet e la dipendenza continua della soluzione dai dati.
Problemi di diffusione-reazione con condizioni al bordo di Neumann: mal posti per \(q=0\), ben posti per \(q>0\).

Il metodo delle differenze finite in una dimensione.
Derivazione del metodo per un problema di diffusione-reazione di Dirichlet.
Formulazione matriciale.
Quali domande ci porremo su questo metodo? Buona positura, convergenza, ordini di convergenza, implementazione efficiente, generalizzazioni.
Principio del massimo discreto.
2.2.4
2.2.5
4.1
Lunedì
24.10.2022
2hLab.Inf. Esercizio 4.1: implementazione del metodo delle differenze finite per problemi di Dirichlet.
(Esercizio 4.13: convergenza del metodo delle differenze finite.)
Mercoledì
26.10.2022
3hE10 Ripasso: il metodo delle differenze finite in una dimensione.
Invertibilità della matrice delle differenze finite.
Matrici monotone e loro proprietà.

Analisi dell'errore per il metodo delle differenze finite.
Studio dell'errore di troncamento.
Ripasso delle norme vettoriali e matriciali.
Studio della stabilità del metodo delle differenze finite: stima della norma dell'inversa della matrice.
Stima di convergenza del metodo.
Commento sulla convergenza in norme diverse da quella infinito.

Discretizzazione del problema di Neumann.
Metodo delle differenze finite: approssimazione delle condizioni al bordo con differenze finite in avanti/indietro e con differenze finite centrate.
Matrici a predominanza diagonale e a predominanza diagonale stretta.
Teorema dei cerchi di Gershgorin.
Per \(q\) positivo, la matrice del metodo delle differenze finite è invertibile, simmetrica e definita positiva.
Stima di stabilità e stima del numero di condizionamento.
4.2
4.3
4.4
Mercoledì
2.11.2022
2h
+
1h
E10
+
Lab.Inf.
Implementazione efficiente del metodo delle differenze finite: importanza della sparsità.
Decomposizione LU di una matrice tridiagonale e soluzione efficiente del sistema lineare corrispondente.
Soluzione efficiente di un sistema lineare che è perturbazione di rango uno di un sistema risolvibile in modo efficiente.
Applicazione al metodo delle differenze finite per il problema periodico.

Problemi di diffusione e trasporto.
Modello minimo di problema di diffusione e trasporto: \(-\epsilon u''+p u'=0\) in \((0,1)\), \(u(0)=0,u(1)=1\).
Due casi limite: diffusione dominante \(0\lt p\ll\epsilon\) (perturbazione regolare) e trasporto dominante \(0\lt\epsilon\ll p\) (perturbazione singolare).
Discretizzazione di problemi di diffusione e trasporto con il metodo delle differenze finite centrate.

Esercizio 4.18: implementazione di due metodi alle differenze finite per il problema di Neumann, confronto degli ordini di convergenza.
Esercizio 4.31: funzione x=TridiagSolver(a,b,c,y) per la risoluzione efficiente di un sistema tridiagonale, test del codice, confronto dei tempi computazionali contro backslash e spdiags.
Uso di TridiagSolver con il metodo delle differenze finite.
4.5
4.5.1
4.5.2
4.6.1
Lunedì
7.11.2022
2hLab.Inf. Commenti sulla scrittura di buon codice Matlab (Nota 4.30).
Esercizio 4.27: metodo delle differenze finite per problema al bordo periodico.
Esercizio 4.34: risoluzione efficiente della perturbazione di rango 1 di un sistema tridiagonale.
Applicazione al metodo delle differenze finite per problemi periodici.
Esercizio 4.38: metodo delle differenze finite centrate per il problema modello di diffusione e trasporto.
Mercoledì
9.11.2022
3hE10 Discretizzazione di problemi di diffusione e trasporto.
Oscillazioni spurie del metodo delle differenze finite centrate, numero di Péclet locale.
Il metodo upwind: definizione attraverso differenze finite in avanti e all'indietro.
Viscosità numerica: il metodo upwind coincide con il metodo alle differenze centrate per un problema perturbato.

Autovalori e autofunzioni di \(-u''=\lambda u\) con condizioni di Dirichlet.
Approssimazione con il metodo delle differenze finite.
Autovettori e autovalori discreti.
Stima dell'errore commesso dal metodo delle differenze finite.
Estensione dell'idea di matrice autoaggiunta (e delle sue proprietà spettrali) agli operatori differenziali: problemi di Sturm-Liouville.
Proprietà degli operatori differenziali di Sturm-Liouville, dei loro autovalori e autofunzioni.
4.6.2
4.6.3
4.7
4.7.1
Lunedì
14.11.2022
2hLab.Inf. Esercizio 4.43: confronto tra metodo upwind e differenze centrate.
Esercizio 4.48: autovalori e autofunzioni di \(-u''=\lambda u\) con condizioni di Dirichlet.
Esercizio 4.56: autovalori e autofunzioni di \(-u''+qu=\lambda u\) con potenziali \(q\) a singolo e doppio pozzo.
Mercoledì
16.11.2022
3hE10 Differenze finite per problemi non lineari.
Il metodo delle differenze finite combinato con il metodo di Newton per l'equazione del pendolo.
Differenza tra il residuo \(\|\mathbf G(\mathbf U^k)\|_\infty\) del metodo di Newton e l'errore \(\|\mathbf u-\mathbf U^k\|_\infty\) del metodo delle differenze finite.
Errore di troncamento.
Accenno all'analisi della stabilità del metodo delle differenze finite.

Quantificazione dell'incertezza (UQ).
Motivazione: nei problemi concreti non abbiamo a disposizione dati completi e accurati; modelliamo i dati, e quindi le soluzioni, come quantità stocastiche.
Problema modello \(-u''+qu=0\) in \((0,1)\), \(u(0)=u(1)=1\), con coefficiente \(q\) aleatorio.
Parametrizzazione di \(q\) con un vettore aleatorio \(\mathbf y\in (0,1)^d\) uniformemente distribuito; soluzione \(u\) come variabile aleatoria.
Quantità d'interesse e loro proprietà statistiche.
Metodo Monte Carlo.
Stimatore Monte Carlo; esempio concreto per il problema modello, proprietà.
Metodo Monte Carlo visto come un metodo di quadratura.
Convergenza del metodo.
Ripasso: quadratura Gaussiana.
4.8
4.9
4.9.1
Lunedì
21.11.2022
2hLab.Inf. Esercizio 4.60: differenze finite per un problema al bordo per l'equazione (non lineare) del pendolo.

Extra:
Esercizio 4.62: differenze finite per un problema non lineare che coinvolge anche la derivata prima della soluzione.
Esercizio 4.64: metodo Monte Carlo per problema di diffusione-reazione.
Mercoledì
23.11.2022
3hE10 Quantificazione dell'incertezza per il problema modello con coefficiente di reazione aleatorio.
Metodo della quadratura Gaussiana: stimatore, convergenza, curse of dimensionality.

Aspetti positivi e negativi del metodo delle differenze finite; nelle prossime lezioni cercheremo un metodo che converga più velocemente e la cui incognita sia una funzione.

Introduzione generale al metodo di collocazione per il problema di Dirichlet.
Il metodo di collocazione spettrale polinomiale, i polinomi di Legendre integrati.
Il metodo di collocazione spettrale trigonometrico: la base di funzioni trigonometriche e quella di esponenziali complessi; un esempio con convergenza esponenziale e un esempio con convergenza algebrica.
4.9.2
5.1
5.2
5.3
Lunedì
28.11.2022
2hE10 Uso della matrice di Fourier per risolvere il sistema lineare del metodo di collocazione con un prodotto matrice-vettore.
La trasformata di Fourier discreta (DFT).
La trasformata di Fourier veloce (FFT): l'algoritmo di Cooley e Tuckey.
5.3.1
5.3.2
Mercoledì
30.11.2022
3hE10 Motivazioni per estendere la formulazione di un problema al bordo al caso con soluzioni che non sono di classe \(C^2\).
Definizione degli spazi di Sobolev \(H^1(a,b),H^2(a,b),H^1_0(a,b)\) e delle norme corrispondenti.
Formulazione debole di un problema al bordo.
Unicità della soluzione debole.
Le soluzioni classiche sono anche soluzioni deboli.

Formulazione di un problema variazionale astratto.
Proprietà di continuità e coercività, Teorema di Lax-Milgram.
Dipendenza continua dai dati per la soluzione del problema astratto.
Principio di Ritz in astratto: il problema variazionale (simmetrico) è equivalente a un problema di minimo.

Disuguaglianza di Poincaré-Friedrichs per un intervallo.
Verifica delle ipotesi del Teorema di Lax-Milgram per la forma debole del problema al bordo.
Esistenza, unicità e dipendenza continua dai dati della soluzione del problema di diffusione-reazione in forma debole.
Esempio: soluzione di un problema con termine di sorgente discontinuo.
6.1
6.2
6.3
Lunedì
5.12.2022
2hLab.Inf. Esercizi 5.10 e 5.11: il metodo di collocazione spettrale per due problemi al bordo periodici; errore in norma \(L^\infty(0,2\pi)\) e \(L^2(0,2\pi);\) plot della convergenza.

Extra:
Esercizi 5.17 e 5.19: confronto dei tempi di calcolo del metodo di collocazione e della DFT implementati in modi diversi.
Mercoledì
7.12.2022
3hE10 Ripasso: problemi al bordo classici, deboli, variazionali astratti e relazioni tra di loro.
Il metodo di Galerkin per un problema variazionale astratto.
Forma matriciale.
Proprietà del metodo di Galerkin per un problema variazionale astratto: buona posizione, stabilità, ortogonalità, quasi-ottimalità (Lemma di Céa).
Il metodo di Galerkin per un problema al bordo.
Breve accenno al metodo spettrale polinomiale; confronto con il metodo di collocazione spettrale.
Il metodo degli elementi finiti.
Elementi finiti lineari: funzioni di base a tenda, costruzione e proprietà della matrice, approssimazione degli integrali.
6.4
6.4.1
6.4.2
6.5
6.6
6.6.1
Lunedì
12.12.2022
2hLab.Inf. Esercizio 6.28: metodo degli elementi finiti per soluzioni lisce.

Extra:
Esercizio 6.29: metodo degli elementi finiti per soluzioni irregolari.
Esercizio 6.30: metodo degli elementi finiti con griglie non uniformi.
Mercoledì
14.12.2022
3hE10
Lunedì
19.10.2022
2hLab.Inf.
Mercoledì
21.10.2022
3hE10