| Docente: | Andrea Moiola |
| https://euler.unipv.it/moiola | |
| Email: | andrea.moiola@unipv.it |
| Telefono: | +39 0382 985656 |
| Ufficio: | E15, Dipartimento di Matematica |
| Pagina del corso: | https://euler.unipv.it/moiola/T/MN2022/MN2022.html |
| Pagina ufficiale: | http://www-4.unipv.it/offertaformativa/prod/corso.php?idAttivitaFormativa=330390 |
| Semestre: | Autunno 2022 |
| Corso di laurea: | Laurea triennale in matematica |
| Lezioni: | Lunedì 14-16, laboratorio informatico del dipartimento di matematica |
| Mercoledì 14-17, aula E10 | |
Le registrazioni delle lezioni dell'anno 2020 sono disponibili su Google Drive, il link per accedere si trova sulla pagina Kiro del corso: https://elearning.unipv.it/mod/page/view.php?id=67945 | |
| Ricevimento: | Dopo le lezioni, oppure su appuntamento (accordandosi per email o a lezione) |
| Crediti formativi: | 6 |
| Ore di lezione: | 56, inclusi i laboratori |
| Esame: | Orale + relazione Matlab. |
| La relazione deve essere lunga al massimo 4 pagine ed essere inviata per email in pdf al massimo 24 ore prima dello scritto. | |
| Modello relazione: | .tex, .pdf |
A. Iserles, A First Course in the Numerical Analysis of Differential Equations, Cambridge University Press, 2a edizione, 2009.
R.J. LeVeque, Finite Difference Methods for Ordinary and Partial Differential Equations. Steady-state and Time-dependent Problems, SIAM 2007.
A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, P. Gervasio, Matematica Numerica, Springer, 4a edizione, 2014. Capitoli 11-12.
G. Strang, G. Fix, An Analysis of the Finite Element Method, Wellesey–Cambridge press, 2008.
E. Süli, An introduction to the Numerical Analysis of Partial Differential Equations, 2005, dispense disponibili su http://people.maths.ox.ac.uk/suli/nspde.ps.
E. Süli, D.F. Mayers, An introduction to Numerical Analysis, Cambridge University Press, 2003. Capitoli 13-14.
L.N. Trefethen, A. Birkisson, T.A. Driscoll, Exploring ODEs, SIAM, 2018. Pdf e files Matlab disponibili su http://people.maths.ox.ac.uk/trefethen/ExplODE/
A. Tveito, R. Winther, Introduction to Partial Differential Equations. A Computational Approach, Springer 2005.
| Lunedì 3.10.2022 | 2h | E10 |
Introduzione al corso. Dettagli pratici.
Problemi ai valori iniziali e problemi ai limiti per equazioni alle derivate ordinarie. Esempio di problema ai limiti lineare ben posto e mal posto a seconda delle condizioni al bordo. Il metodo di shooting. Il metodo di shooting combinato con il metodo di bisezione. |
1.1 1.2 |
| Mercoledì 5.10.2022 | 3h | E10 |
Il metodo di shooting combinato con il metodo di Newton. Derivazione informale delle equazioni di continuità, di Fick, del calore, di Poisson, Laplace, e più generali equazioni di diffusione-trasporto-reazione lineari paraboliche ed ellittiche. Problemi al bordo lineari in una dimensione. Analogia con problemi algebrici lineari. |
1.2.1 2.1 |
| Lunedì 10.10.2022 | 2h | Lab.Inf. |
Esercizio 1.2: uso di ode45 in Matlab. Esercizi 1.3, 1.6, 1.8: implementazione del metodo di shooting con bisezione e Newton. |
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| Mercoledì 12.10.2022 | 3h | E10 |
Problemi al bordo lineari in una dimensione. Esistenza e unicità della soluzione del problema di Dirichlet non omogeneo data l'unicità del problema omogeneo. Dimostrazione dell'unicità della soluzione del problema omogeneo con il metodo dell'energia. Principio del massimo e unicità della soluzione del problema di Dirichlet omogeneo. Differenziazione numerica. Differenze finite in avanti, all'indietro e centrate per l'approssimazione di \(f'(x)\). Gli errori di troncamento. Differenze finite centrate per la derivata seconda. Interpretazione geometrica e attraverso l'interpolazione polinomiale. L'errore di arrotondamento: cancellazione, crescita dell'errore quando il passo \(h\) è molto piccolo. |
2.2.1 2.2.2 2.2.3 3.1 3.2 |
| Lunedì 17.10.2022 | 2h | Lab.Inf. |
Esercizio 3.6: errore relativo delle differenze finite in avanti e centrate.
Errore di troncamento e di roundoff. Esercizi 3.7, 3.8, 3.9: differenze finite del quarto ordine, complex-step, per \(\sin(kx)\). Stima dell'ordine di convergenza con polyfit. |
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| Mercoledì 19.10.2022 | 3h | E10 |
La funzione di Green per \(-u''=f\) con condizioni di Dirichlet e la dipendenza continua della soluzione dai dati. Problemi di diffusione-reazione con condizioni al bordo di Neumann: mal posti per \(q=0\), ben posti per \(q>0\). Il metodo delle differenze finite in una dimensione. Derivazione del metodo per un problema di diffusione-reazione di Dirichlet. Formulazione matriciale. Quali domande ci porremo su questo metodo? Buona positura, convergenza, ordini di convergenza, implementazione efficiente, generalizzazioni. Principio del massimo discreto. |
2.2.4 2.2.5 4.1 |
| Lunedì 24.10.2022 | 2h | Lab.Inf. |
Esercizio 4.1: implementazione del metodo delle differenze finite per problemi di Dirichlet. (Esercizio 4.13: convergenza del metodo delle differenze finite.) |
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| Mercoledì 26.10.2022 | 3h | E10 |
Ripasso: il metodo delle differenze finite in una dimensione. Invertibilità della matrice delle differenze finite. Matrici monotone e loro proprietà. Analisi dell'errore per il metodo delle differenze finite. Studio dell'errore di troncamento. Ripasso delle norme vettoriali e matriciali. Studio della stabilità del metodo delle differenze finite: stima della norma dell'inversa della matrice. Stima di convergenza del metodo. Commento sulla convergenza in norme diverse da quella infinito. Discretizzazione del problema di Neumann. Metodo delle differenze finite: approssimazione delle condizioni al bordo con differenze finite in avanti/indietro e con differenze finite centrate. Matrici a predominanza diagonale e a predominanza diagonale stretta. Teorema dei cerchi di Gershgorin. Per \(q\) positivo, la matrice del metodo delle differenze finite è invertibile, simmetrica e definita positiva. Stima di stabilità e stima del numero di condizionamento. |
4.2 4.3 4.4 |
| Mercoledì 2.11.2022 | 2h + 1h | E10 + Lab.Inf. |
Implementazione efficiente del metodo delle differenze finite: importanza della sparsità. Decomposizione LU di una matrice tridiagonale e soluzione efficiente del sistema lineare corrispondente. Soluzione efficiente di un sistema lineare che è perturbazione di rango uno di un sistema risolvibile in modo efficiente. Applicazione al metodo delle differenze finite per il problema periodico. Problemi di diffusione e trasporto. Modello minimo di problema di diffusione e trasporto: \(-\epsilon u''+p u'=0\) in \((0,1)\), \(u(0)=0,u(1)=1\). Due casi limite: diffusione dominante \(0\lt p\ll\epsilon\) (perturbazione regolare) e trasporto dominante \(0\lt\epsilon\ll p\) (perturbazione singolare). Discretizzazione di problemi di diffusione e trasporto con il metodo delle differenze finite centrate. Esercizio 4.18: implementazione di due metodi alle differenze finite per il problema di Neumann, confronto degli ordini di convergenza. Esercizio 4.31: funzione x=TridiagSolver(a,b,c,y) per la risoluzione efficiente di un sistema tridiagonale, test del codice, confronto dei tempi computazionali contro backslash e spdiags. Uso di TridiagSolver con il metodo delle differenze finite. |
4.5 4.5.1 4.5.2 4.6.1 |
| Lunedì 7.11.2022 | 2h | Lab.Inf. |
Commenti sulla scrittura di buon codice Matlab (Nota 4.30). Esercizio 4.27: metodo delle differenze finite per problema al bordo periodico. Esercizio 4.34: risoluzione efficiente della perturbazione di rango 1 di un sistema tridiagonale. Applicazione al metodo delle differenze finite per problemi periodici. Esercizio 4.38: metodo delle differenze finite centrate per il problema modello di diffusione e trasporto. |
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| Mercoledì 9.11.2022 | 3h | E10 |
Discretizzazione di problemi di diffusione e trasporto. Oscillazioni spurie del metodo delle differenze finite centrate, numero di Péclet locale. Il metodo upwind: definizione attraverso differenze finite in avanti e all'indietro. Viscosità numerica: il metodo upwind coincide con il metodo alle differenze centrate per un problema perturbato. Autovalori e autofunzioni di \(-u''=\lambda u\) con condizioni di Dirichlet. Approssimazione con il metodo delle differenze finite. Autovettori e autovalori discreti. Stima dell'errore commesso dal metodo delle differenze finite. Estensione dell'idea di matrice autoaggiunta (e delle sue proprietà spettrali) agli operatori differenziali: problemi di Sturm-Liouville. Proprietà degli operatori differenziali di Sturm-Liouville, dei loro autovalori e autofunzioni. |
4.6.2 4.6.3 4.7 4.7.1 |
| Lunedì 14.11.2022 | 2h | Lab.Inf. |
Esercizio 4.43: confronto tra metodo upwind e differenze centrate. Esercizio 4.48: autovalori e autofunzioni di \(-u''=\lambda u\) con condizioni di Dirichlet. Esercizio 4.56: autovalori e autofunzioni di \(-u''+qu=\lambda u\) con potenziali \(q\) a singolo e doppio pozzo. |
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| Mercoledì 16.11.2022 | 3h | E10 |
Differenze finite per problemi non lineari. Il metodo delle differenze finite combinato con il metodo di Newton per l'equazione del pendolo. Differenza tra il residuo \(\|\mathbf G(\mathbf U^k)\|_\infty\) del metodo di Newton e l'errore \(\|\mathbf u-\mathbf U^k\|_\infty\) del metodo delle differenze finite. Errore di troncamento. Accenno all'analisi della stabilità del metodo delle differenze finite. Quantificazione dell'incertezza (UQ). Motivazione: nei problemi concreti non abbiamo a disposizione dati completi e accurati; modelliamo i dati, e quindi le soluzioni, come quantità stocastiche. Problema modello \(-u''+qu=0\) in \((0,1)\), \(u(0)=u(1)=1\), con coefficiente \(q\) aleatorio. Parametrizzazione di \(q\) con un vettore aleatorio \(\mathbf y\in (0,1)^d\) uniformemente distribuito; soluzione \(u\) come variabile aleatoria. Quantità d'interesse e loro proprietà statistiche. Metodo Monte Carlo. Stimatore Monte Carlo; esempio concreto per il problema modello, proprietà. Metodo Monte Carlo visto come un metodo di quadratura. Convergenza del metodo. Ripasso: quadratura Gaussiana. |
4.8 4.9 4.9.1 |
| Lunedì 21.11.2022 | 2h | Lab.Inf. |
Esercizio 4.60: differenze finite per un problema al bordo per l'equazione (non lineare) del pendolo.
Extra: Esercizio 4.62: differenze finite per un problema non lineare che coinvolge anche la derivata prima della soluzione. Esercizio 4.64: metodo Monte Carlo per problema di diffusione-reazione. |
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| Mercoledì 23.11.2022 | 3h | E10 |
Quantificazione dell'incertezza per il problema modello con coefficiente di reazione aleatorio. Metodo della quadratura Gaussiana: stimatore, convergenza, curse of dimensionality. Aspetti positivi e negativi del metodo delle differenze finite; nelle prossime lezioni cercheremo un metodo che converga più velocemente e la cui incognita sia una funzione. Introduzione generale al metodo di collocazione per il problema di Dirichlet. Il metodo di collocazione spettrale polinomiale, i polinomi di Legendre integrati. Il metodo di collocazione spettrale trigonometrico: la base di funzioni trigonometriche e quella di esponenziali complessi; un esempio con convergenza esponenziale e un esempio con convergenza algebrica. |
4.9.2 5.1 5.2 5.3 |
| Lunedì 28.11.2022 | 2h | E10 |
Uso della matrice di Fourier per risolvere il sistema lineare del metodo di collocazione con un prodotto matrice-vettore. La trasformata di Fourier discreta (DFT). La trasformata di Fourier veloce (FFT): l'algoritmo di Cooley e Tuckey. |
5.3.1 5.3.2 |
| Mercoledì 30.11.2022 | 3h | E10 |
Motivazioni per estendere la formulazione di un problema al bordo al caso con soluzioni che non sono di classe \(C^2\). Definizione degli spazi di Sobolev \(H^1(a,b),H^2(a,b),H^1_0(a,b)\) e delle norme corrispondenti. Formulazione debole di un problema al bordo. Unicità della soluzione debole. Le soluzioni classiche sono anche soluzioni deboli. Formulazione di un problema variazionale astratto. Proprietà di continuità e coercività, Teorema di Lax-Milgram. Dipendenza continua dai dati per la soluzione del problema astratto. Principio di Ritz in astratto: il problema variazionale (simmetrico) è equivalente a un problema di minimo. Disuguaglianza di Poincaré-Friedrichs per un intervallo. Verifica delle ipotesi del Teorema di Lax-Milgram per la forma debole del problema al bordo. Esistenza, unicità e dipendenza continua dai dati della soluzione del problema di diffusione-reazione in forma debole. Esempio: soluzione di un problema con termine di sorgente discontinuo. |
6.1 6.2 6.3 |
| Lunedì 5.12.2022 | 2h | Lab.Inf. |
Esercizi 5.10 e 5.11: il metodo di collocazione spettrale per due problemi al bordo periodici; errore in norma
\(L^\infty(0,2\pi)\) e \(L^2(0,2\pi);\) plot della convergenza.
Extra: Esercizi 5.17 e 5.19: confronto dei tempi di calcolo del metodo di collocazione e della DFT implementati in modi diversi. |
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| Mercoledì 7.12.2022 | 3h | E10 |
Ripasso: problemi al bordo classici, deboli, variazionali astratti e relazioni tra di loro. Il metodo di Galerkin per un problema variazionale astratto. Forma matriciale. Proprietà del metodo di Galerkin per un problema variazionale astratto: buona posizione, stabilità, ortogonalità, quasi-ottimalità (Lemma di Céa). Il metodo di Galerkin per un problema al bordo. Breve accenno al metodo spettrale polinomiale; confronto con il metodo di collocazione spettrale. Il metodo degli elementi finiti. Elementi finiti lineari: funzioni di base a tenda, costruzione e proprietà della matrice, approssimazione degli integrali. |
6.4 6.4.1 6.4.2 6.5 6.6 6.6.1 |
| Lunedì 12.12.2022 | 2h | Lab.Inf. |
Esercizio 6.28: metodo degli elementi finiti per soluzioni lisce. Extra: Esercizio 6.29: metodo degli elementi finiti per soluzioni irregolari. Esercizio 6.30: metodo degli elementi finiti con griglie non uniformi. |
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| Mercoledì 14.12.2022 | 3h | E10 |
Elementi finiti quadratici: spazio discreto, funzioni di base nodali e a bolla, matrice pentadiagonale, diversi ordinamenti delle funzioni di base. Proprietà di approssimazione dell'interpolazione lineare a tratti. Stima di approssimazione e di convergenza per il metodo degli elementi finiti lineari. Cenno al caso 2D: maggiore flessibilità del metodo degli elementi finiti rispetto a quelli delle differenze finite e di collocazione spettrale per domini non rettangolari. Equazione del calore. Problema ai valori iniziali con condizioni al bordo di Dirichlet omogenee. Metodo di Fourier della separazione delle variabili: caso di un dato iniziale sinusoidale, soluzione generale. Proprietà della soluzione: decadimento in tempo, diversa velocità di decadimento delle diverse frequenze. Commenti sull'estensione del metodo di separazione delle variabili a casi più generali; necessità di calcolare (esattamente o numericamente) autofunzioni e autovalori dell'operatore in spazio. Semidiscretizzazione con differenze finite in spazio del problema ai valori iniziali con condizioni di Dirichlet per l'equazione del calore. Discretizzazione in tempo: il theta-metodo. Espressione in componenti e forma vettoriale. Tre casi importanti: il metodo di Eulero esplicito, il metodo di Eulero implicito, il metodo di Crank-Nicolson. |
6.6.2 6.6.3 7.2 7.3 7.3.1 |
| Lunedì 19.10.2022 | 2h | Lab.Inf. |
Esercizio 7.4: soluzione dell'equazione del calore con il metodo di Fourier. Esercizio 7.12: approssimazione della soluzione dell'equazione del calore con differenze finite e \(\theta\)-metodo. |
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| Mercoledì 21.10.2022 | 1h 2h | E10 ACI |
Ripasso del theta-metodo per l'equazione del calore; errore di troncamento. Stabilità: il metodo di Eulero implicito e quello di Crank-Nicolson sono sempre stabili, quello esplicito solo per numero di Courant \(\mu=\frac{\Delta t}{h^2}\le 1/2\). Relazione con gli autovalori della matrice di avanzamento in tempo. Commenti sull'uso di equazioni paraboliche nella finanza: assegnazione del prezzo equo a opzioni e derivati. Esercizi arretrati. |
7.3.2 |
