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Docente: Andrea Moiola
https://euler.unipv.it/moiola
Email: andrea.moiola@unipv.it
Telefono: +39 0382 985656
Ufficio: E15, Dipartimento di Matematica
Pagina del corso:    https://euler.unipv.it/moiola/T/MN2021/MN2021.html
Pagina ufficiale: http://www-4.unipv.it/offertaformativa/prod/corso.php?idAttivitaFormativa=298575
Semestre: Autunno 2021
Corso di laurea: Laurea triennale in matematica
Lezioni: Lunedì 14-16, B4 (aula informatica)
Mercoledì 14-17, E10

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Le registrazioni delle lezioni dell'anno precedente sono disponibili su Google Drive, il link per accedere si trova sulla pagina Kiro del corso:
https://elearning.unipv.it/mod/page/view.php?id=3095 (nuovo Kiro)
https://elearning1.unipv.it/matematica/course/view.php?id=61 (vecchio Kiro)

Ricevimento: Dopo le lezioni, oppure su appuntamento (accordandosi per email o a lezione)
Crediti formativi: 6
Ore di lezione: 56, inclusi i laboratori
Esame: Scritto + orale + relazione Matlab.
La relazione deve essere lunga al massimo 4 pagine ed essere inviata per email in pdf al massimo 24 ore prima dello scritto.
Modello relazione: .tex, .pdf
Appelli:Giovedì 3 febbraio 2022, 10:00, aula E10.
Martedì 22 febbraio 2022, 10:00, aula E10.
Martedì 7 giugno 2022, 11:00, E10.
Mercoledì 6 luglio 2022, 10:00, E10.
Lunedì 5 settembre 2022, 10:00, E10.
Martedì 20 settembre 2022, 10:00, E10.

Dispense

Le dispense sono disponibili a questo link.
Per favore segnalate tutti gli errori e imprecisioni che trovate!
Le dispense non sostituiscono la partecipazione alle lezioni.

Esami passati

Esame del 22.02.2022: prova scritta, soluzione.

Esame del 18.2.2020: prova scritta, soluzione.
Esame del 30.1.2020: prova scritta, soluzione.

Esame del   2.7.2019: prova scritta, soluzione.
Esame del 26.2.2019: prova scritta, soluzione.
Esame del 12.2.2019: prova scritta, soluzione.

Esame del 24.7.2018: prova scritta, soluzione.
Esame del 20.2.2018: prova scritta, soluzione.
Esame del 23.1.2018: prova scritta, soluzione.

Letture suggerite

Per gli studenti che desiderano approfondire il programma del corso si suggeriscono i seguenti libri.
I capitoli rilevanti sono segnalati nelle dispense.

Programma svolto

(Le date e le aule potranno subire modifiche.)
Mercoledì
29.9.2021		3hE10 Introduzione al corso. Dettagli pratici.

Problemi ai valori iniziali e problemi ai limiti per equazioni alle derivate ordinarie.
Esempio di problema ai limiti lineare ben posto e mal posto a seconda delle condizioni al bordo.

Il metodo di shooting.
Il metodo di shooting combinato con il metodo di bisezione.
Il metodo di shooting combinato con il metodo di Newton. 		1.1
1.2
1.2.1
Lunedì
4.10.2021		2hB4 Esercizio 1.2: uso di ode45 in Matlab.
Esercizi 1.3, 1.7, 1.8: implementazione del metodo di shooting con bisezione e Newton.
Mercoledì
6.10.2021		3hE10 Derivazione informale delle equazioni di continuità, di Fick, del calore, di Poisson, Laplace, e più generali equazioni di diffusione-trasporto-reazione lineari paraboliche ed ellittiche.

Differenziazione numerica.
Differenze finite in avanti, all'indietro e centrate per l'approssimazione di \(f'(x)\).
Gli errori di troncamento.
Differenze finite centrate per la derivata seconda.
Interpretazione geometrica e attraverso l'interpolazione polinomiale.
L'errore di arrotondamento: cancellazione, crescita dell'errore quando il passo \(h\) è molto piccolo. 		2.1
2.1.1
2.1.2
2.1.3
2.1.4
3.1
3.2
Lunedì
11.10.2021		2hB4 Esercizio 3.5: errore relativo delle differenze finite in avanti e centrate. Errore di troncamento e di roundoff.
Esercizi 3.6, 3.7: differenze finite del quarto ordine e complex-step.
Stima dell'ordine di convergenza con polyfit.
Mercoledì
13.10.2021		3hE10 Problemi al bordo lineari in una dimensione.
Analogia con problemi algebrici lineari.
Dimostrazione dell'unicità della soluzione del problema omogeneo con il metodo dell'energia.
Principio del massimo e unicità della soluzione del problema di Dirichlet omogeneo.
Esistenza e unicità della soluzione del problema di Dirichlet non omogeneo data l'unicità del problema omogeneo.

Il metodo delle differenze finite in una dimensione.
Derivazione del metodo per un problema di diffusione-reazione di Dirichlet.
Formulazione matriciale.

Problemi con condizioni al bordo di Neumann. 		2.2.1
2.2.2
2.2.3
2.2.5
4.1
Lunedì
18.10.2021		2hB4 Esercizio 4.1: implementazione del metodo delle differenze finite per problemi di Dirichlet.
Esercizio 4.13: convergenza del metodo delle differenze finite.
Mercoledì
20.10.2021		3hE10 La funzione di Green per \(-u''=f\) con condizioni di Dirichlet e la dipendenza continua della soluzione dai dati.

Ripasso: il metodo delle differenze finite in una dimensione.
Quali domande ci porremo su questo metodo? Buona posizione, convergenza, ordini di convergenza, implementazione efficiente, generalizzazioni.

Invertibilità della matrice delle differenze finite.
Principio del massimo discreto.
Matrici monotone e loro proprietà.

Analisi dell'errore per il metodo delle differenze finite.
Studio dell'errore di troncamento.
Ripasso delle norme vettoriali e matriciali.
Studio della stabilità del metodo delle differenze finite: stima della norma dell'inversa della matrice. 		2.2.4
4.2
4.3
Lunedì
25.10.2021		2hE10 Ripasso: analisi dell'errore per il metodo delle differenze finite.
Stima di convergenza del metodo.
Commento sulla convergenza in norme diverse da quella infinito.

Discretizzazione del problema di Neumann.
Metodo delle differenze finite: approssimazione delle condizioni al bordo con differenze finite in avanti/indietro e con differenze finite centrate.
Matrici a predominanza diagonale e a predominanza diagonale stretta.
Teorema dei cerchi di Gershgorin.
Per \(q\) positivo, la matrice del metodo delle differenze finite è invertibile, simmetrica e definita positiva.
Stima di stabilità e stima del numero di condizionamento.

Implementazione efficiente del metodo delle differenze finite: importanza della sparsità. 		4.4
Mercoledì
27.10.2021		1h
+
2h		E10
+
Lab.Inf.		 Decomposizione LU di una matrice tridiagonale e soluzione efficiente del sistema lineare corrispondente.
Soluzione efficiente di un sistema lineare che è perturbazione di rango uno di un sistema risolvibile in modo efficiente.
Applicazione al metodo delle differenze finite per il problema periodico.
Commenti sulla scrittura di buon codice Matlab (Nota 4.30).

Esercizio 4.18: implementazione di due metodi alle differenze finite per il problema di Neumann, confronto degli ordini di convergenza.
Esercizio 4.27: metodo delle differenze finite per problema al bordo periodico.
Esercizio 4.33: funzione x=tridiag(a,b,c,y) per la risoluzione efficiente di un sistema tridiagonale, test del codice, confronto dei tempi computazionali contro backslash e spdiags.
Uso di tridiag con il metodo delle differenze finite.
Esercizio 4.36: risoluzione efficiente della perturbazione di rango 1 di un sistema tridiagonale.
Applicazione al metodo delle differenze finite per problemi periodici. 		4.5
Mercoledì
3.11.2021		3hZoom Problemi di diffusione e trasporto.
Modello minimo di problema di diffusione e trasporto: \(-\epsilon u''+p u'=0\) in \((0,1)\), \(u(0)=0,u(1)=1\).
Due casi limite: diffusione dominante \(0\lt p\ll\epsilon\) (perturbazione regolare) e trasporto dominante \(0\lt\epsilon\ll p\) (perturbazione singolare).
Discretizzazione di problemi di diffusione e trasporto.
Oscillazioni spurie del metodo delle differenze finite centrate, numero di Péclet locale.
Il metodo upwind: definizione attraverso differenze finite in avanti e all'indietro.
Viscosità numerica: il metodo upwind coincide con il metodo alle differenze centrate per un problema perturbato.
Esperimenti numerici.

Autovalori e autofunzioni di \(-u''=\lambda u\) con condizioni di Dirichlet.
Approssimazione con il metodo delle differenze finite.
Autovettori e autovalori discreti.
Prove numeriche.
Stima dell'errore commesso dal metodo delle differenze finite.
Problemi di Sturm-Liouville: definizioni e operatori autoaggiunti. 		4.6.1
4.6.2
4.6.3
4.7
Lunedì
8.11.2021		2hB4 Esercizio 4.38: metodo delle differenze finite centrate per il problema modello di diffusione e trasporto.
Esercizio 4.43: confronto tra metodo upwind e differenze centrate.
Esercizio 4.48: autovalori e autofunzioni di \(-u''=\lambda u\) con condizioni di Dirichlet.
Mercoledì
10.11.2021		3hE10 Estensione dell'idea di matrice autoaggiunta (e delle sue proprietà spettrali) agli operatori differenziali: problemi di Sturm-Liouville.
Proprietà degli operatori differenziali di Sturm-Liouville, dei loro autovalori e autofunzioni.
Perché i problemi differenziali agli autovalori sono interessanti: motivi dalla matematica (espansione in autofunzioni, stabilità), dalla fisica (meccanica quantistica), dall'ingegneria (risonanze).

Differenze finite per problemi non lineari.
Il metodo delle differenze finite combinato con il metodo di Newton per l'equazione del pendolo.
Differenza tra il residuo \(\|\mathbf G(\mathbf U^k)\|_\infty\) del metodo di Newton e l'errore \(\|\mathbf u-\mathbf U^k\|_\infty\) del metodo delle differenze finite.
Errore di troncamento.
Accenno all'analisi della stabilità del metodo delle differenze finite.

Quantificazione dell'incertezza (UQ).
Motivazione: nei problemi concreti non abbiamo a disposizione dati completi e accurati; modelliamo i dati, e quindi le soluzioni, come quantità stocastiche.
Problema modello \(-u''+qu=0\) in \((0,1)\), \(u(0)=u(1)=1\), con coefficiente \(q\) aleatorio.
Parametrizzazione di \(q\) con un vettore aleatorio \(\mathbf y\in (0,1)^d\) uniformemente distribuito; soluzione \(u\) come variabile aleatoria.
Quantità d'interesse e loro proprietà statistiche. 		4.7.1
4.8
4.9
Lunedì
15.11.2021		2hB4 Esercizio 4.60: differenze finite per un problema al bordo per l'equazione (non lineare) del pendolo.

Extra:
Esercizio 4.56: autovalori e autofunzioni di \(-u''+qu=\lambda u\) con potenziali \(q\) a singolo e doppio pozzo.
Esercizio 4.62: differenze finite per un problema non lineare che coinvolge anche la derivata prima della soluzione.
Mercoledì
17.11.2021		3hE10 Quantificazione dell'incertezza per il problema modello con coefficiente di reazione aleatorio.
Metodo Monte Carlo.
Stimatore Monte Carlo; esempio concreto per il problema modello, proprietà.
Metodo Monte Carlo visto come un metodo di quadratura.
Convergenza del metodo.
Metodo della quadratura Gaussiana: stimatore, convergenza, curse of dimensionality.

Aspetti positivi e negativi del metodo delle differenze finite; nelle prossime lezioni cercheremo un metodo che converga più velocemente e la cui incognita sia una funzione.
Introduzione generale al metodo di collocazione per il problema di Dirichlet.
 4.9.1
4.9.2
5.1
Lunedì
22.11.2021		2hE10 Il metodo di collocazione spettrale polinomiale, i polinomi di Legendre integrati.
Il metodo di collocazione spettrale trigonometrico: la base di funzioni trigonometriche e quella di esponenziali complessi; un esempio con convergenza esponenziale e un esempio con convergenza algebrica. 		5.2
5.3
Mercoledì
24.11.2021		3hE10 Uso della matrice di Fourier per risolvere il sistema lineare del metodo di collocazione con un prodotto matrice-vettore.
La trasformata di Fourier discreta (DFT).
La trasformata di Fourier veloce (FFT): l'algoritmo di Cooley e Tuckey.

Motivazioni per estendere la formulazione di un problema al bordo al caso con soluzioni che non sono di classe \(C^2\).
Definizione degli spazi di Sobolev \(H^1(a,b),H^2(a,b),H^1_0(a,b)\) e delle norme corrispondenti.
Formulazione debole di un problema al bordo.
Unicità della soluzione debole.
Le soluzioni classiche sono anche soluzioni deboli.
Formulazione di un problema variazionale astratto. 		5.3.1
5.3.2
6.1
Lunedì
29.11.2021		2hB4 Esercizi 5.10 e 5.11: il metodo di collocazione spettrale per due problemi al bordo periodici; errore in norma \(L^\infty(0,2\pi)\) e \(L^2(0,2\pi);\) plot della convergenza.

Extra:
Esercizi 5.17 e 5.19: confronto dei tempi di calcolo del metodo di collocazione e della DFT implementati in modi diversi.
Mercoledì
1.12.2021		3hE10 Problema variazionale astratto: proprietà di continuità e coercività, Teorema di Lax-Milgram.
Dipendenza continua dai dati per la soluzione del problema astratto.
Principio di Ritz in astratto: il problema variazionale (simmetrico) è equivalente a un problema di minimo.
Disuguaglianza di Poincaré-Friedrichs per un intervallo.
Verifica delle ipotesi del Teorema di Lax-Milgram per la forma debole del problema al bordo.
Esistenza, unicità e dipendenza continua dai dati della soluzione del problema in forma debole.
Relazione tra problemi al bordo classici, deboli e variazionali astratti.

Il metodo di Galerkin per un problema variazionale astratto.
Forma matriciale.
Proprietà del metodo di Galerkin per un problema variazionale astratto: buona posizione, stabilità, ortogonalità, quasi-ottimalità (Lemma di Céa). 		6.2
6.3
6.4
6.4.1
Lunedì
6.12.2021		2hE10 Il metodo di Galerkin per un problema al bordo.
Estensione alle condizioni al bordo non omogenee.
Breve accenno al metodo spettrale polinomiale; confronto con il metodo di collocazione spettrale.
Il metodo degli elementi finiti.
Elementi finiti lineari: funzioni di base a tenda, costruzione e proprietà della matrice. 		6.4.2
6.5
6.6.1
Lunedì
13.12.2021		2hB4 Esercizio 6.26: metodo degli elementi finiti per soluzioni lisce.

Extra:
Esercizio 6.27: metodo degli elementi finiti per soluzioni irregolari.
Esercizio 6.28: metodo degli elementi finiti con griglie non uniformi.
Mercoledì
15.12.2021		3hE10 Elementi finiti quadratici: spazio discreto, funzioni di base nodali e a bolla, matrice pentadiagonale.
Proprietà di approssimazione dell'interpolazione lineare a tratti.
Stima di approssimazione e di convergenza per il metodo degli elementi finiti lineari.
Cenno al caso 2D: maggiore flessibilità del metodo degli elementi finiti rispetto a quelli delle differenze finite e di collocazione spettrale per domini non rettangolari.

Equazione del calore.
Problema ai valori iniziali con condizioni al bordo di Dirichlet omogenee.
Metodo di Fourier della separazione delle variabili: caso di un dato iniziale sinusoidale, soluzione generale.
Proprietà della soluzione: decadimento in tempo, diversa velocità di decadimento delle diverse frequenze.
Problema ai valori iniziali per l'equazione del calore: decadimento dell'energia, stabilità, unicità della soluzione.
Commenti sull'estensione del metodo di separazione delle variabili a casi più generali; necessità di calcolare (esattamente o numericamente) autofunzioni e autovalori dell'operatore in spazio.

Semidiscretizzazione con differenze finite in spazio del problema ai valori iniziali con condizioni di Dirichlet per l'equazione del calore.
Discretizzazione in tempo: il theta-metodo. Espressione in componenti e forma vettoriale.
Errore di troncamento.
Tre casi importanti: il metodo di Eulero esplicito, il metodo di Eulero implicito, il metodo di Crank-Nicolson. 		6.6.2
6.6.3
7.2
7.3
7.3.1
Lunedì
20.12.2021		1h
+
1h		B4 Ripasso del theta-metodo per l'equazione del calore, esperimenti numerici.
Stabilità: il metodo di Eulero implicito e quello di Crank-Nicolson sono sempre stabili, quello esplicito solo per numero di Courant \(\mu=\frac{\Delta t}{h^2}\le 1/2\).
Relazione con gli autovalori della matrice di avanzamento in tempo.

Completamento dell'esercizio 6.26 (elementi finiti).
Esercizio 7.4: soluzione dell'equazione del calore con il metodo di Fourier.
Esercizio 7.11: approssimazione della soluzione dell'equazione del calore con differenze finite e \(\theta\)-metodo.
Mercoledì
22.12.2021		3hB4 Laboratorio: esercizi arretrati.