| Docente: | Andrea Moiola |
| https://euler.unipv.it/moiola | |
| Email: | andrea.moiola@unipv.it |
| Telefono: | +39 0382 985656 |
| Ufficio: | E15, Dipartimento di Matematica |
| Pagina del corso: | https://euler.unipv.it/moiola/T/MN2020/MN2020.html |
| Pagina ufficiale: | http://www-4.unipv.it/offertaformativa/prod/corso.php?idAttivitaFormativa=271812 |
| Semestre: | Autunno 2020 |
| Corso di laurea: | Laurea triennale in matematica |
| Lezioni: | Lunedì 14-16, B2 (aula informatica) |
| Mercoledì 14-17, E10 | |
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Sarà possibile partecipare alle lezioni in presenza oppure da remoto attraverso la piattaforma Zoom.
Le registrazioni delle lezioni saranno rese disponibili su Google Drive. I link Zoom e Google Drive sono disponibili sulla pagina Kiro del corso: https://elearning1.unipv.it/matematica/course/view.php?id=61 | |
| Ricevimento: | Dopo le lezioni, oppure su appuntamento (accordandosi per email o a lezione) |
| Crediti formativi: | 6 |
| Ore di lezione: | 56, inclusi i laboratori |
| Esame: | Nel 2021 gli appelli si terranno in forma orale (+ relazione Matlab). |
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Chi intende sostenere l'esame prima della data ufficiale dell'appello può contattare il docente in anticipo.
La relazione deve essere lunga al massimo 4 pagine ed essere inviata per email in pdf al massimo 24 ore prima dello scritto. | |
| Modello relazione: | .tex, .pdf |
| Appelli: | Martedì 2 febbraio 2021. |
| Mercoledì 17 febbraio 2021.
Mercoledì 30 giugno 2021. Mercoledì 21 luglio 2021. Martedì 7 settembre 2021. Martedì 21 settembre 2021. |
V. Comincioli, Analisi Numerica. Metodi, Modelli, Applicazioni, McGraw-Hill, 1995.
A. Iserles, A First Course in the Numerical Analysis of Differential Equations, Cambridge University Press, 2a edizione, 2009.
R.J. LeVeque, Finite Difference Methods for Ordinary and Partial Differential Equations. Steady-state and Time-dependent Problems, SIAM 2007.
A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, P. Gervasio, Matematica Numerica, Springer, 4a edizione, 2014. Capitoli 11-12.
G. Strang, G. Fix, An Analysis of the Finite Element Method, Wellesey–Cambridge press, 2008.
E. Süli, An introduction to the Numerical Analysis of Partial Differential Equations, 2005, dispense disponibili su http://people.maths.ox.ac.uk/suli/nspde.ps.
E. Süli, D.F. Mayers, An introduction to Numerical Analysis, Cambridge University Press, 2003. Capitoli 13-14.
L.N. Trefethen, A. Birkisson, T.A. Driscoll, Exploring ODEs, SIAM, 2018. Pdf e files Matlab disponibili su http://people.maths.ox.ac.uk/trefethen/ExplODE/
A. Tveito, R. Winther, Introduction to Partial Differential Equations. A Computational Approach, Springer 2005.
| Lunedì 5.10.2020 | 2h | E10 |
Introduzione al corso. Dettagli pratici.
Problemi ai valori iniziali e problemi ai limiti per equazioni alle derivate ordinarie. Esempio di problema ai limiti lineare ben posto e mal posto a seconda delle condizioni al bordo. Introduzione al metodo di shooting. | 1.1 |
| Mercoledì 7.10.2020 | 3h | E10 |
Il metodo di shooting combinato con il metodo di bisezione. Il metodo di shooting combinato con il metodo di Newton. Breve derivazione informale delle equazioni di continuità, di Fick, del calore, di Poisson, Laplace, e più generali equazioni di diffusione-trasporto-reazione lineari paraboliche ed ellittiche. Problemi al bordo lineari in una dimensione. Analogia con problemi algebrici lineari. | 1.2 1.2.1 2.1 |
| Lunedì 12.10.2020 | 2h | B2 |
Esercizio 1.2: uso di ode45 in Matlab. Esercizi 1.3, 1.7, 1.8: implementazione del metodo di shooting con bisezione e Newton. | |
| Mercoledì 14.10.2020 | 3h | E10 |
Esistenza e unicità della soluzione del problema di Dirichlet non omogeneo data l'unicità del problema omogeneo. Dimostrazione dell'unicità della soluzione del problema omogeneo con il metodo dell'energia. Principio del massimo e unicità della soluzione del problema di Dirichlet omogeneo. Differenziazione numerica. Differenze finite in avanti, all'indietro e centrate per l'approssimazione di \(f'(x)\). Gli errori di troncamento. Differenze finite centrate per la derivata seconda. Interpretazione geometrica e attraverso l'interpolazione polinomiale. L'errore di arrotondamento: cancellazione, crescita dell'errore quando il passo \(h\) è molto piccolo. Derivazione euristica del valore ottimale di \(h\). |
2.2.1 2.2.2 2.2.3 3.1 3.2 |
| Lunedì 19.10.2020 | 2h | B2 |
Esercizio 3.5: errore relativo delle differenze finite in avanti e centrate. Esercizi 3.6, 3.7: differenze finite del quarto ordine e complex-step. Stima dell'ordine di convergenza con polyfit. Errore di troncamento e di roundoff. | |
| Mercoledì 21.10.2020 | 3h | E10 |
La funzione di Green per \(-u''=f\) con condizioni di Dirichlet e la dipendenza continua della soluzione dai dati. Problemi con altre condizioni al bordo: di Neumann, di Robin e periodiche. Il metodo delle differenze finite in una dimensione. Derivazione del metodo per un problema di diffusione-reazione di Dirichlet. Formulazione matriciale. Uso della funzione Matlab spdiags. Quali domande ci porremo su questo metodo? Buona posizione, convergenza, ordini di convergenza, implementazione efficiente, generalizzazioni. Invertibilità della matrice delle differenze finite. Principio del massimo discreto. Matrici monotone e loro proprietà. | 2.2.4 2.2.5 4.1 4.2 |
| Lunedì 26.10.2020 | 2h | B2 |
Esercizio 4.1: implementazione del metodo delle differenze finite per problemi di Dirichlet. Esercizio 4.11: convergenza del metodo delle differenze finite. | |
| Mercoledì 28.10.2020 | 3h | Zoom |
Analisi dell'errore per il metodo delle differenze finite. Studio dell'errore di troncamento. Ripasso delle norme vettoriali e matriciali. Studio della stabilità del metodo delle differenze finite: stima della norma dell'inversa della matrice. Stima di convergenza del metodo. Commento sulla convergenza in norme diverse da quella infinito. Discretizzazione del problema di Neumann. Metodo delle differenze finite: approssimazione delle condizioni al bordo con differenze finite in avanti/indietro e con differenze finite centrate. Matrici a predominanza diagonale e a predominanza diagonale stretta. Teorema dei cerchi di Gershgorin. Per \(q\) positivo, la matrice del metodo delle differenze finite è invertibile, simmetrica e definita positiva. Stima di stabilità. Implementazione efficiente del metodo delle differenze finite. Decomposizione LU di una matrice tridiagonale e soluzione efficiente del sistema lineare corrispondente. Il caso delle condizioni al bordo periodiche: soluzione efficiente di un sistema lineare che è perturbazione di rango uno di un sistema tridiagonale (solo accennato). | 4.3 4.4 4.5 4.5.1 4.5.2 |
| Lunedì 2.11.2020 | 2h | Zoom |
Esercizio 4.15: implementazione di due metodi alle differenze finite per il problema di Neumann, confronto degli ordini di convergenza.
Esercizio 4.27: funzione x=tridiag(a,b,c,y) per la risoluzione efficiente di un sistema tridiagonale, test del codice, confronto dei tempi computazionali contro backslash e spdiags. Uso di tridiag con il metodo delle differenze finite. Extra: Esercizio 4.14: funzione di Green discreta. Esercizio 4.24: metodo delle differenze finite per problema al bordo periodico. Esercizio 4.32: risoluzione efficiente della perturbazione di rango 1 di un sistema tridiagonale. Applicazione al metodo delle differenze finite per problemi periodici. | |
| Mercoledì 4.11.2020 | 3h | Zoom |
Soluzione efficiente di un sistema lineare che è perturbazione di rango uno di un sistema risolvibile in modo efficiente. Applicazione al metodo delle differenze finite per il problema periodico. Problemi di diffusione e trasporto. Modello minimo di problema di diffusione e trasporto: \(-\epsilon u''+p u'=0\) in \((0,1)\), \(u(0)=0,u(1)=1\). Due casi limite: diffusione dominante \(0\lt p\ll\epsilon\) (perturbazione regolare) e trasporto dominante \(0\lt\epsilon\ll p\) (perturbazione singolare). Discretizzazione di problemi di diffusione e trasporto. Oscillazioni spurie del metodo delle differenze finite centrate, numero di Péclet locale. Il metodo upwind: definizione attraverso differenze finite in avanti e all'indietro. Viscosità numerica: il metodo upwind coincide con il metodo alle differenze centrate per un problema perturbato. Esperimenti numerici. Autovalori e autofunzioni di \(-u''=\lambda u\) con condizioni di Dirichlet. Approssimazione con il metodo delle differenze finite. Autovettori e autovalori discreti. Prove numeriche. Stima dell'errore commesso dal metodo delle differenze finite. | 4.5.2 4.6 4.6.1 4.6.2 4.6.3 4.7 |
| Lunedì 9.11.2020 | 2h | Zoom |
Esercizio 4.34: metodo delle differenze finite centrate per il problema modello di diffusione e trasporto. Esercizio 4.39: confronto tra metodo upwind e differenze centrate. Esercizio 4.43: autovalori e autofunzioni (di Dirichlet) di \(-u''=\lambda u\). Extra: Esercizio 4.41: esempio di problema di diffusione e trasporto non omogeneo. Esercizio 4.42: perturbazione singolare per problemi di diffusione e reazione. Esercizio 4.45: problemi agli autovalori con condizioni di Neumann. | |
| Mercoledì 11.11.2020 | 3h | Zoom |
Estensione dell'idea di matrice autoaggiunta (e delle sue proprietà spettrali) agli operatori differenziali: problemi di Sturm-Liouville. Proprietà degli operatori differenziali di Sturm-Liouville, dei loro autovalori e autofunzioni. Perché i problemi differenziali agli autovalori sono interessanti: motivi dalla matematica (espansione in autofunzioni, stabilità), dalla fisica (meccanica quantistica), dall'ingegneria (risonanze). Differenze finite per problemi non lineari. Il metodo delle differenze finite combinato con il metodo di Newton per l'equazione del pendolo. Esempio numerico. Differenza tra il residuo \(\|\mathbf G(\mathbf U^k)\|_\infty\) del metodo di Newton e l'errore \(\|\mathbf u-\mathbf U^k\|_\infty\) del metodo delle differenze finite. Errore di troncamento. Accenno all'analisi della stabilità del metodo delle differenze finite. | 4.7.1 4.9 |
| Lunedì 16.11.2020 | 2h | Zoom |
Esercizio 4.50: autovalori e autofunzioni di \(-u''+qu=\lambda u\) con potenziali \(q\) a singolo e doppio pozzo.
Esercizio 4.53: differenze finite per un problema al bordo per l'equazione (non lineare) del pendolo. Extra: Esercizio 4.51: localizzazione di Anderson e funzione landscape. Esercizio 4.55: differenze finite per un problema non lineare che coinvolge anche la derivata prima della soluzione. | |
| Mercoledì 18.11.2020 | 3h | Zoom |
Quantificazione dell'incertezza (UQ). Motivazione: nei problemi concreti non abbiamo a disposizione dati completi e accurati; modelliamo i dati, e quindi le soluzioni, come quantità stocastiche. Problema modello \(-u''+qu=0\) in \((0,1)\), \(u(0)=u(1)=1\), con coefficiente \(q\) aleatorio. Parametrizzazione di \(q\) con un vettore aleatorio \(\mathbf y\in (0,1)^d\) uniformemente distribuito; soluzione \(u\) come variabile aleatoria. Quantità d'interesse e loro proprietà statistiche. Metodo Monte Carlo. Stimatore Monte Carlo; esempio concreto per il problema modello. Metodo Monte Carlo visto come un metodo di quadratura. Convergenza del metodo. Prove numeriche. Metodo della quadratura Gaussiana. Stimatore, convergenza, curse of dimensionality. Confronto numerico tra il metodo Monte Carlo e quello della quadratura Gaussiana. Aspetti positivi e negativi del metodo delle differenze finite; nelle prossime lezioni cercheremo un metodo che converga più velocemente e la cui incognita sia una funzione. | 4.9 4.9.1 4.9.2 4.9.3 |
| Lunedì 23.11.2020 | 2h | Zoom |
Introduzione generale al metodo di collocazione per il problema di Dirichlet. Il metodo di collocazione spettrale polinomiale, i polinomi di Legendre integrati, esempi numerici. Il metodo di collocazione spettrale trigonometrico: la base di funzioni trigonometriche e quella di esponenziali complessi; un esempio con convergenza esponenziale e un esempio con convergenza algebrica. | 5.1 5.2 5.3 |
| Mercoledì 25.11.2020 | 3h | Zoom |
Uso della matrice di Fourier per risolvere il sistema lineare del metodo di collocazione con un prodotto matrice-vettore. La trasformata di Fourier discreta (DFT). La trasformata di Fourier veloce (FFT): l'algoritmo di Cooley e Tuckey. Motivazioni per estendere la formulazione di un problema al bordo al caso con soluzioni che non sono di classe \(C^2\). Definizione degli spazi di Sobolev \(H^1(a,b),H^2(a,b),H^1_0(a,b)\) e delle norme corrispondenti. Formulazione debole di un problema al bordo. Unicità della soluzione debole. Le soluzioni classiche sono anche soluzioni deboli. Formulazione di un problema variazionale astratto. Proprietà di continuità e coercività, Teorema di Lax-Milgram. Dipendenza continua dai dati per la soluzione del problema astratto. | 5.3.1 5.3.2 6.1 6.2 |
| Lunedì 30.11.2020 | 2h | Zoom |
Esercizi 5.10 e 5.11: il metodo di collocazione spettrale per due problemi al bordo periodici; errore in norma
\(L^2(0,2\pi)\) e \(L^\infty(0,2\pi)\); plot della convergenza.
Esercizi 5.17 e 5.19: confronto dei tempi di calcolo del metodo di collocazione e della DFT implementati in modi diversi. Extra: Esercizi 4.57, 4.58, 4.59: UQ per un problema modello; metodo Monte Carlo e metodo della quadratura Gaussiana. Esercizio 5.5: metodo di collocazione spettrale polinomiale. | |
| Mercoledì 2.12.2020 | 3h | Zoom |
Ripasso: problemi variazionali astratti e teorema di Lax--Milgram. Principio di Ritz in astratto: il problema variazionale (simmetrico) è equivalente a un problema di minimo. Disuguaglianza di Poincaré-Friedrichs per un intervallo. Verifica delle ipotesi del Teorema di Lax-Milgram per la forma debole del problema al bordo. Esistenza, unicità e dipendenza continua dai dati della soluzione del problema in forma debole. Relazione tra problemi al bordo classici, deboli e variazionali astratti. Il metodo di Galerkin per un problema variazionale astratto. Proprietà del metodo di Galerkin per un problema variazionale astratto: buona posizione, stabilità, ortogonalità, quasi-ottimalità (Lemma di Céa). Il metodo di Galerkin per un problema al bordo. Estensione alle condizioni al bordo non omogenee. Metodi di Galerkin e di collocazione: vantaggi di ciascuno. | 6.3 6.4 6.4.1 6.4.2 |
| Mercoledì 9.12.2020 | 3h | Zoom |
Ripasso: forma debole dei problemi al bordo e metodo di Galerkin. Breve accenno al metodo spettrale polinomiale; confronto con il metodo di collocazione spettrale. Il metodo degli elementi finiti. Elementi finiti lineari: funzioni di base a tenda, costruzione e proprietà della matrice. Elementi finiti quadratici: spazio discreto, funzioni di base nodali e a bolla, matrice pentadiagonale. Proprietà di approssimazione dell'interpolazione lineare a tratti. Stima di approssimazione e di convergenza per il metodo degli elementi finiti lineari. Cenno al caso 2D: maggiore flessibilità del metodo degli elementi finiti rispetto a quelli delle differenze finite e di collocazione spettrale per domini non rettangolari. Esempio di soluzione del problema debole che non è soluzione classica; esempio di soluzione di un problema variazionale che non può essere scritto come problema debole con \(f\in L^2(a,b)\). | 6.5 6.6 6.6.1 6.6.2 6.6.3 6.3.1 |
| Lunedì 14.12.2020 | 2h | Zoom |
Esercizio 6.26: metodo degli elementi finiti per soluzioni lisce. Extra: Esercizio 6.27: metodo degli elementi finiti per soluzioni irregolari. Esercizio 6.28: metodo degli elementi finiti con griglie non uniformi. | |
| Mercoledì 16.12.2020 | 3h | Zoom |
Equazione del calore. Problema ai valori iniziali con condizioni al bordo di Dirichlet omogenee. Metodo di Fourier della separazione delle variabili: caso di un dato iniziale sinusoidale, soluzione generale. Proprietà della soluzione: decadimento in tempo, diversa velocità di decadimento delle diverse frequenze, regolarità. Problema ai valori iniziali per l'equazione del calore: decadimento dell'energia, stabilità, unicità della soluzione. Commenti sull'estensione del metodo di separazione delle variabili a casi più generali; necessità di calcolare (esattamente o numericamente) autofunzioni e autovalori dell'operatore in spazio. Semidiscretizzazione con differenze finite in spazio del problema ai valori iniziali con condizioni di Dirichlet per l'equazione del calore. Discretizzazione in tempo: il theta-metodo. Espressione in componenti e forma vettoriale. Errore di troncamento. Tre casi importanti: il metodo di Eulero esplicito, il metodo di Eulero implicito, il metodo di Crank-Nicolson. Costo computazionale. Esperimento numerico: il metodo di Eulero implicito e quello di Crank-Nicolson sono sempre stabili, quello esplicito solo per numero di Courant \(\mu\le 1/2\). Commenti sull'uso di equazioni paraboliche nella finanza: assegnazione del prezzo equo a opzioni e derivati. | 7.2 7.3 7.3.1 |
| Lunedì 11.1.2021 | 2h | B2 |
Esercizio 7.3: soluzione dell'equazione del calore con il metodo di Fourier. Esercizio 7.9: approssimazione della soluzione dell'equazione del calore con differenze finite e \(\theta\)-metodo. | |
| Mercoledì 13.1.2021 | 2h | Zoom | Esercizi arretrati. |
