Modellistica Numerica unipv Home


Docente: Andrea Moiola
http://matematica.unipv.it/moiola
Email: andrea.moiola@unipv.it
Telefono: +39 0382 985656
Ufficio: E15, Dipartimento di Matematica
Pagina del corso:    http://matematica.unipv.it/moiola/MN2019/MN2019.html
Pagina ufficiale: http://matematica.unipv.it/it/corsi/2019/24708
http://www-4.unipv.it/offertaformativa/prod/corso.php?lingua=1&idAttivitaFormativa=246771
Lezioni: Lunedì 14-16, Laboratorio Informatico
Mercoledì 14-17, E10
Semestre: Autunno 2019
Ricevimento: Su appuntamento (accordandosi per email o a lezione)
Crediti formativi: 6
Ore di lezione: 56, inclusi i laboratori
Esame: Scritto + orale + relazione Matlab.
La relazione deve essere lunga al massimo 4 pagine ed essere inviata per email in pdf al massimo 24 ore prima dello scritto.
Modello relazione: .tex, .pdf
Appelli: Giovedì 30 gennaio 2020, ore 10:00, aula E9.
Martedì 18 febbraio 2020, ore 10:00, aula E9.
Martedì 23 giugno 2020.
Martedì 21 luglio 2020.
Venerdì 11 settembre 2020, ore 10:00, aula E10.
Martedì 22 settembre 2020, ore 10:00, aula E10.

Gli appelli di settembre 2020 si terrano in presenza nella forma consueta, con scritto e orale.
Gli studenti che non intendono sostenere l'esame in presenza lo potranno fare in forma orale da remoto; in questo caso sono pregati di comunicarlo in anticipo per email.

Dispense

Le dispense sono disponibili a questo link.
Per favore segnalate tutti gli errori e imprecisioni che trovate!
Le dispense non sono complete e non sostituiscono la partecipazione alle lezioni.

Esami passati

Esame del 18.2.2020: prova scritta, soluzione.
Esame del 30.1.2020: prova scritta, soluzione.

Esame del   2.7.2019: prova scritta, soluzione.
Esame del 26.2.2019: prova scritta, soluzione.
Esame del 12.2.2019: prova scritta, soluzione.

Esame del 24.7.2018: prova scritta, soluzione.
Esame del 20.2.2018: prova scritta, soluzione.
Esame del 23.1.2018: prova scritta, soluzione.

Letture suggerite

Per gli studenti che desiderano approfondire il programma del corso si suggeriscono i seguenti libri. I capitoli rilevanti verranno segnalati a lezione.

Programma svolto

Lun 30.09.20192hE10 Introduzione al corso.

Problemi ai valori iniziali e problemi ai limiti per equazioni alle derivate ordinarie.
Esempio di problema ai limiti lineare ben posto e mal posto a seconda delle condizioni al bordo.

Metodo di shooting.
Il metodo di shooting combinato con il metodo di bisezione. 		1.1
1.2
Mer 2.10.20193hE10 Metodo di shooting: il caso dei problemi al bordo lineari.
Il metodo di shooting combinato con il metodo di Newton.

Breve derivazione informale delle equazioni di continuità, di Fick, del calore, di Poisson, Laplace, e più generali equazioni di diffusione-trasporto-reazione lineari paraboliche ed ellittiche.

Problemi al bordo lineari in una dimensione.
Analogia con problemi algebrici lineari.
Dimostrazione dell'unicità della soluzione del problema omogeneo con il metodo dell'energia. 		1.2.1
1.2.2
2.1
2.2
2.2.1
Lun 7.10.20192hLab.Inf. Esercizio 1.2: uso di ode45 in Matlab.
Esercizi 1.3, 1.6, 1.7: implementazione del metodo di shooting con bisezione e Newton.
Mer 9.10.20193hE10 Principio del massimo e unicità della soluzione del problema di Dirichlet omogeneo.
Esistenza e unicità della soluzione del problema di Dirichlet non omogeneo.
La funzione di Green e la dipendenza continua dai dati.

Differenziazione numerica.
Differenze finite in avanti, all'indietro e centrate per l'approssimazione di \(f'(x)\).
Gli errori di troncamento.
Differenze finite centrate per la derivata seconda.
Interpretazione geometrica e attraverso l'interpolazione polinomiale.
L'errore di arrotondamento: cancellazione, crescita dell'errore quando il passo h è molto piccolo.
Derivazione euristica del valore ottimale di \(h\). 		2.2.2
2.2.3
2.2.4
3
3.1
Lun 14.10.20192hLab.Inf. Completamento degli esercizi sul metodo di shooting.

Esercizio 3.5: errore relativo delle differenze finite in avanti e centrate.
Esercizi 3.6, 3.7: differenze finite del quarto ordine e complex-step.
Stima dell'ordine di convergenza con polyfit.
Errore di troncamento e di roundoff.
Mer 16.10.20193hE10 Problemi con altre condizioni al bordo: di Neumann, di Robin e periodiche.

Il metodo delle differenze finite in una dimensione.
Derivazione del metodo per un problema di diffusione-reazione di Dirichlet.
Formulazione matriciale.
Uso della funzione Matlab spdiags.
Quali domande ci porremo su questo metodo? Buona posizione, convergenza, ordini di convergenza, implementazione efficiente, generalizzazioni.

Invertibilità della matrice delle differenze finite.
Principio del massimo discreto.
Matrici monotone e loro proprietà.

Studio dell'errore di troncamento.
Ripasso delle norme vettoriali e matriciali. 		2.2.5
4
4.1
Lun 21.10.20192hLab.Inf. Esercizio 4.1: implementazione del metodo delle differenze finite per un problema di Dirichlet.
Esercizio 4.10: convergenza del metodo delle differenze finite.
Stima dell'ordine di convergenza.
Mer 23.10.20193hBeltrami

E10		 Studio della stabilità del metodo delle differenze finite: stima della norma dell'inversa della matrice.
Stima di convergenza del metodo.
Commento sulla convergenza in norme diverse da quella infinito e sulla funzione di Green discreta.

Discretizzazione del problema di Neumann.
Metodo delle differenze finite: approssimazione delle condizioni al bordo con differenze finite in avanti/indietro e con differenze finite centrate.
Matrici a predominanza diagonale e a predominanza diagonale stretta.
Teorema dei cerchi di Gershgorin.
Per \(q\) positivo, la matrice del metodo delle differenze finite è invertibile, simmetrica e definita positiva. Stima di stabilità.
Commenti su altre condizioni al bordo.

Implementazione efficiente del metodo delle differenze finite.
Decomposizione LU di una matrice tridiagonale e soluzione efficiente del sistema lineare corrispondente.
Stima del numero di condizionamento della matrice del metodo delle differenze finite.
Il caso delle condizioni al bordo periodiche: soluzione efficiente di un sistema lineare che è perturbazione di rango uno di un sistema tridiagonale. 		4.2
4.3
4.4
4.4.1
4.4.2
Lun 28.10.20192hLab.Inf. Completamento degli esercizi 4.1 e 4.10.
Esercizio 4.14: implementazione di due metodi alle differenze finite per il problema di Neumann, confronto degli ordini di convergenza.
Esercizio 4.25: funzione x=tridiag(a,b,c,y) per la risoluzione efficiente di un sistema tridiagonale, test del codice, confronto dei tempi computazionali contro backslash e spdiags.
Uso di questo codice per risolvere sistemi di differenze finite.

Extra:
Esercizio 4.13: funzione di Green discreta.
Esercizio 4.22: metodo delle differenze finite per problema al bordo periodico.
Esercizio 4.29: risoluzione efficiente della perturbazione di rango 1 di un sistema tridiagonale.
Applicazione al metodo delle differenze finite per problemi periodici.
Mer 30.10.20193hE10 Problemi di diffusione e trasporto.
Modello minimo di problema di diffusione e trasporto: \(-\epsilon u''+p u'=0\) in \((0,1)\), \(u(0)=0,u(1)=1\).
Due casi limite: diffusione dominante \(0\lt p\ll\epsilon\) (perturbazione regolare) e trasporto dominante \(0\lt\epsilon\ll p\) (perturbazione singolare).
Discretizzazione di problemi di diffusione e trasporto.
Oscillazioni spurie del metodo delle differenze finite centrate, numero di Péclet locale.
Il metodo upwind: definizione attraverso differenze finite in avanti e all'indietro.
Viscosità numerica: il metodo upwind coincide con il metodo alle differenze centrate per un problema perturbato.

Autovalori e autofunzioni di \(-u''=\lambda u\) con condizioni di Dirichlet.
Approssimazione con il metodo delle differenze finite.
Autovettori e autovalori discreti.
Stima dell'errore commesso dal metodo delle differenze finite. 		4.5.1
4.5.2
4.5.3
4.6
Lun 4.11.20192hLab.Inf. Completamento degli esercizi 4.1, 4.10, 4.14 e 4.25.
Esercizio 4.31: metodo delle differenze finite centrate per il problema modello di diffusione-trasporto.
Esercizio 4.35: confronto metodo upwind e differenze centrate.
Esercizio 4.37: autovalori e autofunzioni (di Dirichlet) di \(-u''=\lambda u\).
Mer 6.11.20192h

3h		E10 Problemi di Sturm-Liouville: proprietà dell'operatore differenziale, degli autovalori e delle autofunzioni.
Perché ci interessano i problemi differenziali agli autovalori: motivi dalla matematica (separazione delle variabili, stabilità), dalla fisica (meccanica quantistica), dall'ingegneria (risonanze).

Differenze finite per problemi non lineari.
Il metodo delle differenze finite combinato con il metodo di Newton per l'equazione del pendolo.
Differenza tra il residuo \(\|\mathbf G(\mathbf U^k)\|_\infty\) del metodo di Newton e l'errore \(\|\mathbf u-\mathbf U^k\|_\infty\) del metodo delle differenze finite.
Errore di troncamento. 		4.6.1
4.7
Lun 11.11.20192hLab.Inf. Completamento degli esercizi 4.1, 4.10, 4.14, 4.25, 4.31, 4.35, 4.37.
Esercizio 4.44: autovalori e autofunzioni di \(-u''+qu=\lambda u\) con potenziali \(q\) a singolo e doppio pozzo.
Esercizio 4.47: differenze finite per un problema al bordo per l'equazione (non lineare) del pendolo.
Mer 13.11.20193hE10 Uncertainty quantification (UQ).
Motivazione: nei problemi concreti non abbiamo a disposizione dati completi e accurati.
Problema modello \(-u''+qu=0\) in \((0,1)\), \(u(0)=u(1)=1\), con coefficiente \(q\) aleatorio.
Parametrizzazione di \(q\) con un vettore aleatorio \(\mathbf y\in (0,1)^d\) uniformemente distribuito; soluzione \(u\) come variabile aleatoria.
Quantità d'interesse e loro proprietà statistiche.

Metodo Monte Carlo.
Stimatore Monte Carlo; esempio concreto per il problema modello.
Metodo Monte Carlo visto come metodo di quadratura.
Convergenza del metodo.

Metodo della quadratura Gaussiana.
Stimatore, convergenza, curse of dimensionality.
Confronto tra il metodo Monte Carlo e quello della quadratura Gaussiana. 		4.8
4.8.1
4.8.2
Lun 18.11.20192hLab.Inf. Completamento degli esercizi delle settimane passate (4.1, 4.10, 4.14, 4.25, 4.31, 4.35, 4.37, 4.44, 4.47).

Esercizi più difficili per gli studenti più motivati:
Esercizio 4.29: risoluzione efficiente della perturbazione di rango 1 di un sistema tridiagonale. Applicazione al metodo delle differenze finite per problemi periodici.
Esercizio 4.45: localizzazione di Anderson, autofunzioni con potenziale disordinato e funzione landscape.
Esercizio 4.49: differenze finite per un altro problema al bordo non-lineare, con nonlinearità dipendente dalla derivata prima di \(u\).
Esercizi 4.50, 4.51, 4.52: UQ per un problema modello; metodo Monte Carlo e metodo della quadratura Gaussiana.
Mer 20.11.20193hE10 Aspetti positivi e negativi del metodo delle differenze finite; ora vogliamo un metodo che converga più velocemente e la cui incognita sia una funzione.
Introduzione generale al metodo di collocazione per il problema di Dirichlet.
Il metodo di collocazione spettrale polinomiale, i polinomi di Legendre integrati.
Il metodo di collocazione spettrale trigonometrico: la base di funzioni trigonometriche e quella di esponenziali complessi; un esempio con convergenza esponenziale e un esempio con convergenza algebrica.
Uso della matrice di Fourier per risolvere il sistema lineare del metodo di collocazione con un prodotto matrice-vettore. 		5.1
5.2
5.3
5.3.1
Lun 25.11.20192hLab.Inf. Esercizi 5.9 e 5.10: il metodo di collocazione spettrale per due problemi al bordo periodici; errore in norma \(L^2(0,2\pi)\) e \(L^\infty(0,2\pi)\); plot della convergenza.

Esercizio 5.5 (più difficile): metodo di collocazione spettrale polinomiale.
Mer 27.11.20193hE10 Ripasso: metodo di collocazione spettrale trigonometrico; relazione tra la matrice del metodo e quella di Fourier.
La trasformata di Fourier discreta (DFT).
La trasformata di Fourier veloce (FFT): l'algoritmo di Cooley e Tuckey.

Motivazioni per estendere la formulazione di un problema al bordo al caso con soluzioni che non sono di classe \(C^2\).
Definizione degli spazi di Sobolev \(H^1(a,b),H^2(a,b),H^1_0(a,b)\) e delle norme corrispondenti.
Formulazione debole di un problema al bordo.
Unicità della soluzione debole.
Le soluzioni classiche sono anche soluzioni deboli.
Principio di Ritz: il problema debole è equivalente a un problema di minimo.

Formulazione di un problema variazionale astratto.
Proprietà di continuità e coercività, Teorema di Lax-Milgram.
Dipendenza continua dai dati per la soluzione del problema astratto.

Disuguaglianza di Poincaré-Friedrichs per un intervallo. 		5.3.2
6.1
6.2
Lun 2.12.20192hLab.Inf. Esercizi 5.9 e 5.10: il metodo di collocazione spettrale per due problemi al bordo periodici; errore in norma \(L^2(0,2\pi)\) e \(L^\infty(0,2\pi)\); plot della convergenza.

Esercizi 5.15 e 5.17: confronto dei tempi di calcolo del metodo di collocazione e della DFT implementati in modi diversi.

(Extra: esercizi 5.19 e 5.20 su altre applicazioni della FFT.)
Mer 4.12.20193hE10 Commenti sugli esercizi sull'implementazione del metodo di collocazione trigonometrica, calcolo della norma \(L^2(0,2\pi)\) dell'errore.

Riassunto della lezione precedente: relazione tra problemi al bordo classici, deboli e variazionali astratti.
Principio di Ritz astratto per problemi variazionali simmetrici.
Verifica delle ipotesi del Teorema di Lax-Milgram per la forma debole del problema al bordo.
Esistenza, unicità e dipendenza continua dai dati della soluzione del problema in forma debole.
Esempio di soluzione del problema debole che non è soluzione classica.

Il metodo di Galerkin per un problema variazionale astratto.
Proprietà del metodo di Galerkin per un problema variazionale astratto: buona posizione, stabilità, ortogonalità, quasi-ottimalità (Lemma di Céa).
Il metodo di Galerkin per un problema al bordo.
Estensione alle condizioni al bordo non omogenee.
Breve accenno al metodo spettrale polinomiale; confronto con il metodo di collocazione spettrale. 		6.3
6.3.1(1)
6.4
6.4.1
6.4.2
6.5
Mer 11.12.20193hE10 Il metodo degli elementi finiti.
Elementi finiti lineari: funzioni di base a tenda, costruzione e proprietà della matrice.
Elementi finiti quadratici: spazio discreto, funzioni di base nodali e a bolla, matrice pentadiagonale, diverso ordinamento delle funzioni di base.
Proprietà di approssimazione dell'interpolazione lineare a tratti.
Stima di approssimazione e di convergenza per il metodo degli elementi finiti lineari.
Cenno al caso 2D: maggiore flessibilità del metodo degli elementi finiti rispetto a quelli delle differenze finite e di collocazione spettrale per domini non rettangolari.

Equazione del calore.
Rappresentazione della soluzione del problema ai valori iniziali sull'intera retta reale mediante la convoluzione con la soluzione fondamentale.
Proprietà della soluzione: decadimento in tempo, diversa velocità di decadimento delle diverse frequenze, regolarità, velocità di propagazione infinita.
Problema ai valori iniziali con condizioni al bordo di Dirichlet omogenee: metodo di Fourier della separazione delle variabili; caso di un dato iniziale sinusoidale. 		6.6
6.6.1
6.6.2
6.6.3
7.1
7.2
Lun 16.12.20192hLab.Inf. Esercizio 6.24: metodo agli elementi finiti per soluzioni lisce.
Esercizio 6.25: metodo agli elementi finiti per soluzioni irregolari.

Esercizio 6.26 (più difficile!): metodo agli elementi finiti con griglie non uniformi per soluzioni singolari.
Mer 18.12.20192hE10 Problema ai valori iniziali con condizioni al bordo di Dirichlet omogenee: metodo di Fourier della separazione delle variabili; soluzione generale, relazione con serie di Fourier.
Commenti sull'estensione del metodo di separazione delle variabili a casi più generali; necessità di calcolare (esattamente o numericamente) autofunzioni e autovalori dell'operatore in spazio.
Problema ai valori iniziali per l'equazione del calore: decadimento dell'energia, stabilità, unicità della soluzione.

Semidiscretizzazione con differenze finite in spazio del problema ai valori iniziali con condizioni di Dirichlet per l'equazione del calore.
Discretizzazione in tempo: il theta-metodo. Espressione in componenti e forma vettoriale.
Errore di troncamento.
Tre casi importanti: il metodo di Eulero esplicito, il metodo di Eulero implicito, il metodo di Crank-Nicolson. Costo computazionale.
Un esperimento numerico "virtuale": il metodo di Eulero implicito e quello di Crank-Nicolson sono sempre stabili, quello esplicito solo per numero di Courant \(\mu\le 1/2\).
Commenti sull'uso di equazioni paraboliche nella finanza: assegnazione del prezzo equo a opzioni e derivati. 		7.3
7.3.1