Algebra 2 - anno 2011-12
- Prova scritta del 18-6-2012: Testo e soluzioni
- Prova scritta del 3-7-2012: Testo e soluzioni
- Prova scritta del 27-9-2012: Testo e soluzioni
- Prova scritta del 25-1-2013: Testo e soluzioni

- Descrizione: Il corso è una introduzione alla teoria di Galois delle equazioni, corredata da complementi di teoria dei gruppi e di teoria dei moduli su un anello.

- Programma di massima del corso:
- Moduli su un anello. Costruzioni di moduli. Anello di gruppo e rappresentazioni. Struttura dei moduli finitamente generati su un anello a ideali principali. Applicazioni; forma canonica di Jordan e forme canoniche razionali.
- Azioni di gruppi su insiemi. Equazione delle classi. Teoremi di Sylow e applicazioni. Prodotti semidiretti. Sottogruppi finiti del gruppo moltiplicativo di un campo. Il gruppo moltiplicativo degli interi modulo \(n\). Gruppi risolubili.
- Estensioni di campi. Campi di spezzamento: esistenza e unicità. Chiusura algebrica e sua unicità. La corrispondenza di Galois. Estensioni normali. Estensioni separabili e inseparabili. Estensioni di Galois. Il teorema fondamentale della teoria di Galois. Il teorema dell'elemento primitivo. Teoria di Galois dei campi finiti. Polinomi ciclotomici e loro irriducibilità. Il gruppo di Galois di un polinomio ciclotomico. Estensioni cicliche e loro caratterizzazione. Criterio di risolubilità per radicali. Il polinomio generale di grado \(>4\). Equazioni a coefficienti interi che non sono risolubili per radicali. La cubica e la quartica.

- testi:
- I.N. Herstein, Algebra, terza edizione, Editori Riuniti, Roma 1993
- D.J.H. Garling, A Course in Galois Theory, Cambridge University Press
- C. Procesi, Elementi di Teoria di Galois, Zanichelli
- Note di R. Schoof e B. van Geemen, disponibili in forma elettronica all'indirizzo: http://mate.unipv.it/cornalba/notealgebra.pdf

- altri testi suggeriti:
- M.F. Atiyah, I.G. MacDonald, Introduzione all'algebra commutativa, Feltrinelli, 1981
- M. Artin, Algebra, Bollati Boringhieri, Torino 1997
- I.N. Stewart, Galois Theory, second edition, CRC Press

- note:
- Funzioni simmetriche (pdf)
- Moduli su un dominio a ideali principali (pdf)
- Il gruppo moltiplicativo di \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) (pdf)
- Il gruppo alterno \(A_n\) è semplice se \(n > 4\) (pdf)

- Esercizi: 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8

- Parti dei testi illustrate nelle lezioni:
- Garling: - Herstein: - Schoof-van Geemen: - nota "Funzioni simmetriche": tutto
- nota "Il gruppo alterno \(A_n\) è semplice se \(n > 4\)": tutto
- nota "Moduli su un dominio a ideali principali": tutto tranne lemma 1, lo studio di un endomorfismo di uno spazio vettoriale solo su \(\mathbb{C}\)

- Diario del corso:

1 (6/3/2012): Introduzione al corso. Polinomi a coefficienti in un UFD \(A\). Contenuto. Polinomi primitivi. Lemma di Gauss. Contenuto di un polinomio a coefficienti nel campo delle frazioni di \(A\). Moltiplicatività del contenuto.

2 (6/3/2012): Caratterizzazione degli elementi invertibili e irriducibili in \(A[X]\), dove \(A\) è un UFD. Se \(A\) è un UFD, anche \(A[X]\) lo è.

3 (8/3/2012): Irriducibilità per polinomi di grado \(\le 3\). Radici razionali di un polinomio a coefficienti interi; analogo per polinomi a coefficienti in un UFD. Criterio di Eisenstein.

4 (8/3/2012): Ancora sul criterio di Eisenstein e sue varianti. Esempi. Riduzione modulo un primo di un polinomio e suo uso per saggiare l'irriducibilità del medesimo.

5 (9/3/2012): Esercizi sui criteri di irriducibilità dei polinomi. Indipendenza algebrica.

6 (13/3/2012): Polinomi in \(n\) variabili; esistenza e sostanziale unicità. Omomorfismo di sostituzione. Polinomi simmetrici. Funzioni simmetriche elementari \(\sigma_1,\dots,\sigma_n\).

7 (13/3/2012): Ordinamento lessicografico dei monomi. L'insieme dei polinomi simmetrici è \(A[\sigma_1,\dots,\sigma_n]\).

8 (15/3/2012): Indipendenza algebrica delle funzioni simmetriche elementari. Coefficienti di un polinomio come funzioni simmetriche elementari delle radici. Gruppo di Galois di una estensione di campi.

9 (15/3/2012): Esempi di gruppi di Galois: \(Gal(\mathbb{Q}[\sqrt{2}]\big/\mathbb{Q})\), \(Gal(\mathbb{Q}[\sqrt[3]{2}]\big/\mathbb{Q})\), \(Gal(\mathbb{Q}[\sqrt[3]{2},\zeta]\big/\mathbb{Q})\), con \(\zeta\) radice terza primitiva di \(1\). Il gruppo di Galois della equazione generale di grado \(n\).

10 (16/3/2012): Esercizi sui criteri di irriducibilità per polinomi.

11 (20/3/2012): Richiami sul teorema di unicità del campo di spezzamento di un polinomio. Estensioni normali. Una estensione è normale se e solo se è un campo di spezzamento.

12 (20/3/2012): Una sottoestensione di una estensione normale finita \(L/K\) è normale se e solo se è invariante per \(Gal(L/K)\).

13 (22/3/2012): Ancora sulla normalità di una sottoestensione di una estensione normale finita. Chiusura normale. Polinomi separabili. Criterio differenziale di separabilità.

14 (22/3/2012): Elementi separabili. Estensioni separabili. Campi perfetti. Ogni estensione finita di un campo perfetto è separabile. I campi finiti e le estensioni finite di campi perfetti sono perfetti. Discriminante di un polinomio.

15 (23/3/2012): Esercizi sulle funzioni simmetriche. Discriminante di un polinomio di terzo grado.

16 (27/3/2012): Il numero di immersioni di una estensione finita non supera il grado, ed eguaglia il grado se e solo se l'estensione è separabile; corollari.

17 (27/3/2012): Transitività della separabilità. Caratterizzazione dei polinomi inseparabili irriducibili. Definizione e descrizione concreta di \(A[S]\) quando \(S\) è infinito.

18 (29/3/2012): Il teorema fondamentale della teoria di Galois.

19 (29/3/2012): Il teorema fondamentale della teoria di Galois: fine.

20 (30/3/2012): Esercizi su campi di spezzamento e estensioni normali.

21 (3/4/2012): La corrispondenza di Galois; esempi. Teoria di Galois per campi finiti.

22 (3/4/2012): Gruppo di Galois di un polinomio e discriminante. Esempi di gruppi di Galois di polinomi cubici e della corrispondenza di Galois per i medesimi.

23 (17/4/2012): Identità di Newton per funzioni simmetriche.

24 (17/4/2012): Risoluzione per radicali della cubica.

25 (19/4/2012): Ancora sulla risoluzione per radicali della cubica. Il gruppo di Galois di una cubica.

26 (19/4/2012): Polinomi interi il cui gruppo di Galois è il gruppo simmetrico. Radici dell'unità. Polinomi ciclotomici.

27 (20/4/2012): I polinomi ciclotomici hanno coefficienti interi. Irriducibilità sugli interi dei polinomi ciclotomici. Estensioni ciclotomiche.

28 (24/4/2012): Gruppo di Galois di una estensione ciclotomica. Struttura del gruppo moltiplicativo di \(\mathbb{Z}/(n)\).

29 (24/4/2012): Estensioni cicliche. Gruppo di Galois di una estensione \(K[\sqrt[n]{\vartheta}]\). Teorema di Artin sulla indipendenza dei caratteri.

30 (26/4/2012): Caratterizzazione delle estensioni cicliche. Teorema di Abel sulle estensioni radiciali di esponente primo. Esempio di estensione ciclotomica in caratteristica positiva: \(\mathbb{F}_5[\zeta]\big/\mathbb{F}_5\) con \(\zeta\) radice ottava primitiva dell'unità.

31 (26/4/2012): Estensioni per radicali. Risolubilità per radicali. Gruppi risolubili. Teorema di Cauchy per gruppi abeliani.

32 (27/4/2012): Proprietà elementari dei gruppi risolubili. Se il gruppo di Galois di una equazione è risolubile, allora l'equazione è risolubile per radicali.

33 (2/5/2012): Se il gruppo di Galois di una equazione è risolubile, allora l'equazione è risolubile per radicali: fine della dimostrazione. Il teorema dell'elemento primitivo.

34 (2/5/2012): Se una equazione è risolubile per radicali, allora il suo gruppo di Galois è risolubile.

35 (4/5/2012): Se una equazione è risolubile per radicali, allora il suo gruppo di Galois è risolubile: fine della dimostrazione. Non risolubilità per radicali del polinomio generale di grado \(n\ge 5\). Polinomi interi non risolubili per radicali.

36 (7/5/2012): Semplicità del gruppo alterno \(A_n\) per \(n\ge 5\). Complementi sulle estensioni cicliche.

37 (7/5/2012): Coniugio nei gruppi. Centralizzante di un elemento di un gruppo. Equazione delle classi. I \(p\)-gruppi hanno centro non banale. I gruppi di ordine \(p^2\) sono abeliani.

38 (8/5/2012): Primo teorema di Sylow e varianti. Laterali doppi.

39 (8/5/2012): Secondo teorema di Sylow e varianti. Terzo teorema di Sylow.

40 (14/5/2012): Terzo teorema di Sylow: dimostrazione. Esempio: gruppi di ordine \(15\).

41 (15/5/2012): Prodotti di sottogruppi normali. Prodotto di un sottogruppo e di un sottogruppo normale. Gruppi di ordine \(pq\).

42 (15/5/2012): Prodotti semidiretti. Il gruppo di Galois di \(X^n-2\) su \(\mathbb{Q}\) come prodotto semidiretto di \(\mathbb{Z}/(n)\) e \(\mathbb{Z}/(n)^*\). Esistenza di gruppi non abeliani di ordine \(pq\) quando \(p\) e \(q\) sono primi e \(q\) divide \(p-1\).

43 (17/5/2012): Classificazione dei gruppi di ordine \(pq\). Costruzione di prodotti semidiretti. Gruppi di ordine \(pq^2\) con \(p < q\).

44 (17/5/2012): Gruppi di ordine \(pq^2\) con \(p > q\). Automorfismi di \(\mathbb{Z}/(2)^2\). Gruppi di ordine \(12\). Non semplicità dei gruppi di ordine \(24\).

45 (18/5/2012): Gruppi di ordine \(pqr\) con \(p > q > r\). Non semplicità dei gruppi di ordine non primo \(< 60\). Struttura dei \(p\)-gruppi abeliani finiti.

46 (22/5/2012): Non semplicità dei gruppi di ordine non primo \(< 60\): fine. Ogni \(p\)-gruppo abeliano finito è prodotto diretto di sottogruppi ciclici.

47 (22/5/2012): Proprietà di unicità della decomposizione di un \(p\)-gruppo abeliano finito in prodotto diretto di sottogruppi ciclici. Divisori elementari: ogni gruppo abeliano finito è prodotto diretto di gruppi ciclici di ordini \(d_1,\dots, d_n\) con \(d_1\,\big\vert\, d_2\,\big\vert\, \cdots \,\big\vert\, d_n\).

48 (24/5/2012): Moduli su un anello. Sottomoduli. Criteri perché un sottinsieme sia un sottomodulo. Intersezione e somma di sottomoduli. Sottomodulo generato da un sottinsieme.

49 (24/5/2012): Somma diretta di moduli. Paragone tra somma e somma diretta di sottomoduli. Omomorfismi di moduli. Nucleo di un omomorfismo; criterio di iniettività. Quozienti di moduli.

50 (25/5/2012): Teoremi di isomorfismo per moduli. Elementi di torsione, moduli di torsione. Annullatore. Decomposizione di un modulo finitamente generato di torsione su un PID in somma diretta di sottomoduli con annullatori primi fra loro.

51 (29/5/2012): Ancora sulla decomposizione di un modulo finitamente generato di torsione su un PID in somma diretta di sottomoduli con annullatori primi fra loro. Il caso dei gruppi abeliani.

52 (29/5/2012): Corrispondenza tra sottomoduli contenenti un sottomodulo dato e sottomoduli del quoziente per lo stesso sottomodulo. Moduli e anelli noetheriani. Un modulo è noetheriano se e solo se ogni sottomodulo è finitamente generato. Dato un modulo \(M\) e un sottomodulo \(N\), \(M\) è noetheriano se e solo se lo sono \(N\) e \(M/N\).

53 (31/5/2012): Un modulo finitamente generato su un anello noetheriano è noetheriano. Cenno sul teorema della base di Hilbert; esempi di anelli noetheriani. Decomposizione in somma diretta di moduli ciclici di un modulo finitamente generato su un PID con annullatore potenza di un primo.

54 (31/5/2012): Decomposizione in somma diretta di moduli ciclici di un modulo finitamente generato su un PID con annullatore potenza di un primo; fine della dimostrazione di esistenza. Proprietà di unicità della decomposizione. Decomposizione in somma diretta di moduli ciclici di un modulo finitamente generato di torsione su un PID. Divisori elementari e loro unicità.

55 (1/6/2012): Applicazioni del teorema di struttura per moduli finitamente generati di torsione su un PID. Forma canonica di Jordan.

56 (5/6/2012): Ancora sulle forme canoniche di matrici. Ancora sull'unicità dei divisori elementari. I moduli senza torsione finitamente generati su un PID sono liberi.

57 (5/6/2012): Se \(M\) è un modulo finitamente generato senza torsione su un PID \(A\) e \(N\) un sottomodulo, ci sono una base \(m_1,\dots,m_n\) di \(M\), un intero \(h\le n\) e elementi \(d_1,\dots, d_h\) di \(A\) con \(d_1\,\big\vert\, d_2\,\big\vert\, \cdots \,\big\vert\, d_h\) tali che \(d_1m_1,\dots,d_hm_h\) sia una base di \(N\).