Algebra 2 - anno 2011-12

Esercizi 5 (19/4/2012)

1. Calcolare i gruppi di Galois dei seguenti polinomi:
   1. \(X^3-10\) su \(\mathbb{Q}\), \(\mathbb{Q}[\sqrt{2}]\) e \(\mathbb{Q}[\sqrt{-3}]\);
   2. \(X^3-X-1\) su \(\mathbb{Q}[\sqrt{-23}]\);
   3. \(X^4-5\) su \(\mathbb{Q}\), \(\mathbb{Q}[\sqrt{5}]\), \(\mathbb{Q}[\sqrt{-5}]\) e \(\mathbb{Q}[\sqrt{-1}]\);
2. Mostrare che il discriminante del polinomio quintico \(X^5+pX+q\) è \(\Delta=4^4p^5+5^5q^4\).
3. Calcolare il gruppo di Galois del polinomio \(P(X)=X^5+X+1\in \mathbb{Q}[X]\), dire se \(P(X)\) è irriducibile e mostrare che \(P(X)=0\) è risolubile per radicali.
4. Sia \(K\) una estensione di grado finito di \(\mathbb{Q}\). Mostrare che \(K\) contiene solo un numero finito di radici dell'unità.
5. Sia \(K\) un campo, e sia \(n\) un intero dispari positivo. Mostrare che se \(K\) contiene una radice \(n\)-esima primitiva dell'unità, allora contiene anche una radice \(2n\)-esima primitiva dell'unità.