Algebra 2 - anno 2011-12

Esercizi 2 (15/3/2012)

Siano \(X_1,\dots,X_n\) indeterminate su un anello commutativo \(A\). Poniamo \[ p_k(X_1,\dots,X_n)= \sum_{i=1}^n X_i^k \] per ogni intero \(k\) tale che \(0\le k\le n\).

1. Esprimere \[ \sum_{i,j,k\text{ distinti}}X_i^2X_j^2X_k \] come polinomio nelle funzioni simmetriche elementari per \(n\le 5\).
2. Esprimere \(p_i\) come polinomio nelle funzioni simmetriche elementari per \(i\le 4\).
3. Dimostrare l'identità di Newton \[ \sum_{i=0}^n (-1)^i\sigma_ip_{n-i}=0 \]
4. Poniamo \[ \Sigma(X_1,\dots,X_n)=\prod_{i< j}(X_i+X_j)\ , \quad V(X_1,\dots,X_n)=\prod_{i< j}(X_i-X_j) \]
   1. Mostrare che \(\Sigma\) è un polinomio simmetrico.
   2. Mostrare che, se \(\tau\) è una permutazione di \(\{1,\dots,n\}\), \(V(X_{\tau(1)},\dots,X_{\tau(n)})=\epsilon(\tau)V(X_1,\dots,X_n)\), dove \(\epsilon(\tau)\) è il segno di \(\tau\).
   3. Poniamo \(\Delta= V^2\). Mostrare che \(\Delta\) è un polinomio simmetrico.
   4. Esprimere \(\Sigma\) come polinomio nelle funzioni simmetriche elementari per \(n=2,3,4\).
   5. Esprimere \(\Delta\) come polinomio nelle funzioni simmetriche elementari per \(n=3\).