Algebra 2 - anno 2011-12

Esercizi 1 (9/3/2012)

Se \(p\) è un numero primo, indichiamo con \(\mathbb{F}_p\) il campo \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\).

1. Trovare tutti i polinomi irriducibili di grado \(\le 3\) a coefficienti in \(\mathbb{F}_2\) e in \(\mathbb{F}_3\).
2. Dire quali dei seguenti polinomi sono irriducibili:
   1. \(X^2 + 8X - 2\) su \(\mathbb{Q}\)
   2. \(X^2 + 3\) su \(\mathbb{F}_7\)
   3. \(X^3 + 3X^2 - 8\) su \(\mathbb{Q}\)
   4. \(X^4 - 22X^2 + 1\) su \(\mathbb{Q}\)
   5. \(8X^3 + 6X^2 - 9X + 24\) su \(\mathbb{Q}\)
   6. \(2X^{10} - 25X^3 + 10X^2 - 30\) su \(\mathbb{Q}\)
   7. \(X^4 - 28\) su \(\mathbb{Q}\)
   8. \(X^4 + 4X^3 + 6X^2 + 4X + 29\) su \(\mathbb{Q}\)
   9. \(X^4 + X^2 + X + 1\) su \(\mathbb{F}_3\)
   10. \(X^4 + 3X^3 + 4X^2 - 2X + 4\) su \(\mathbb{Q}\)
   11. \(X^n-t^5+t^3+t^2-t\) su \(K(t)\), dove \(K\) è un campo e \(t\) è trascendente su \(K\)