a.a. 2007/08 - Complementi
di Analisi Matematica di Base
per
il corso di laurea in Fisica - Primo
semestre - 50 ore - 5 CFU - MAT/05
Docente: Pierluigi
Colli
Programma indicativo
Successioni e serie di funzioni.
Successioni: convergenza puntuale ed uniforme; teoremi su limitatezza*,
continuità*, integrale* e derivata* del limite uniforme.
Serie: convergenza puntuale, uniforme, totale. Serie di potenze:
caratterizzazione dell'insieme di convergenza (raggio di
convergenza)*; derivazione ed integrazione termine a termine; relazioni
con le serie di Taylor; criterio di sviluppabilità in serie di
Taylor*.
Forme differenziali lineari. Curve
regolari; integrale curvilineo di una funzione. Forme differenziali
lineari e loro integrale curvilineo. Forme esatte; teorema di
caratterizzazione*. Forme chiuse; teoremi riguardanti le relazioni tra
forme esatte e forme chiuse*. Domini semplicemente connessi, domini
stellati.
Integrale di Lebesgue. Spazio
di misura. Misura esterna. Insiemi trascurabili. Definizione e
proprietà elementari dell'integrale di Lebesgue. Teoremi di
Beppo Levi* e di Lebesgue*. Teorema di derivazione sotto il segno di
integrale*. Funzioni ed insiemi misurabili e loro proprietà.
Serie di Fourier. Polinomi
e serie trigonometriche. Successioni a variazione limitata;
applicazioni alla convergenza di serie trigonometriche*. Espressione
dei coefficienti*. Serie di Fourier: nucleo di Dirichlet; condizione
generalizzata del Dini*; applicazioni alla convergenza puntuale. Il
fenomeno di Gibbs. Convergenza secondo Cesaro; somme e nucleo di Fejér; convergenza uniforme
delle somme di Fejér
di una funzione continua*. Applicazione delle serie di Fourier allo
studio dell'equazione del calore unidimensionale. Principio del massimo
parabolico*, esistenza ed unicità* della soluzione del problema
di Cauchy-Dirichlet con dato di Dirichlet nullo e dato di Cauchy
continuo, regolare a tratti e nullo agli estremi.
Testi consigliati
Materiale didattico
Modalità dell'esame
L'esame è costituito da una prova scritta (durante la quale non
è consentito l'uso di appunti, testi, minicalcolatori, ...) e da
una prova orale. La prima, che è parte integrante
dell'esame (in particolare, influisce sulla votazione finale), ha lo
scopo di valutare la capacità dello studente di utilizzare ed
applicare correttamente la teoria studiata alla risoluzione di qualche
esercizio. Scopo del successivo colloquio è completare la
valutazione della conoscenza e della comprensione del programma da
parte dello studente.
Nel Programma, il simbolo * indica i teoremi dei quali è
richiesta anche la dimostrazione. Evidentemente, è
facoltà del candidato non limitarsi alle dimostrazioni
obbligatorie. Potranno comunque essere richieste: dimostrazioni che in
consistano in verifiche immediate; esempi che illustrino la
portata delle ipotesi; applicazioni della teoria a semplici esercizi.