| Docente: | Andrea Moiola |
| https://euler.unipv.it/moiola/ | |
| Email: | andrea.moiola@unipv.it |
| Telefono: | +39 0382 985656 |
| Ufficio: | E15, Dipartimento di Matematica |
| Pagina del corso: | https://euler.unipv.it/moiola/T/MNAPDE2025/MNAPDE2025.html |
| Syllabus: | https://unipv.coursecatalogue.cineca.it/insegnamenti/2024/19235/2009/10004/10063 |
| Pagina Kiro: | https://elearning.unipv.it/course/view.php?id=8588 |
| Semestre: | Primavera 2025 |
| Ricevimento: | Su appuntamento |
| Crediti formativi: | 6 |
| Corsi di laurea: | LM matematica |
| LM ingegneria computazionale e modellistica per materiali, strutture e tecnologie sostenibili | |
| Lezioni: | Martedì 14:00 - 16:00 |
| Venerdì 14:00 - 16:00
Aula C12/C13, dipartimento di matematica Le registrazioni delle lezioni dell'anno 2024 sono disponibili sulla pagina Kiro/Panopto |
| 1 | Venerdì 28.02.2025 14-16 |
Introduzione al corso. Acustica, applicazioni. Leggi di conservazione per massa e quantità di moto. Pressione, densità, velocità. Linearizzazione delle equazioni di continuità e di Eulero. Derivazione dell'equazione delle onde \(\frac1{c^2}\frac{\partial^2 U}{\partial t^2}-\Delta U=0\) per la pressione acustica. |
1.1 |
| 2 | Martedì 04.03.2025 14-16 |
Equazione delle onde acustiche. Esempio di soluzione: onda piana \(U(\mathbf x,t)=F(\mathbf x\cdot \mathbf d-ct)\) e onda sferica. Condizioni al bordo per l'equazione delle onde: sound-soft, sound-hard, impedenza, trasmissione. Equazione delle onde non omogenea, aeroacustica. Soluzioni armoniche in tempo, equazione di Helmholtz. Numero d'onda, ampiezza, fase. Condizioni al bordo per l'equazione di Helmholtz: sound-soft, sound-hard, impedenza. Equazione delle onde smorzata, numero d'onda complesso. Equazioni ellittiche ed equazioni iperboliche. Relazione con la trasformata di Fourier in tempo. |
1.1.1 1.2 |
| 3 | Venerdì 07.03.2025 14-16 |
Equazioni di Maxwell in tempo e armoniche in tempo. Formulazione delle equazioni di Maxwell armoniche in tempo come equazione di secondo grado per il campo elettrico \(\mathrm{curl\,curl\,}\mathbf{E}-k^2\mathbf{E}=\mathbf{0}\). Condizioni al bordo: PEC e di impedenza. Le componenti di una soluzione di Maxwell sono soluzioni di Helmholtz, ma un problema al bordo di Maxwell non si può risolvere come tre problemi al bordo di Helmholtz; esempio. Soluzione delle equazioni di Maxwell con dipendenza data da una variabile: TE e TM modes, riduzione ad un problema di Helmholtz 2D. Equazione di Navier dell'elastodinamica lineare; caso armonico in tempo. Potenziale scalare e vettoriale, onde di pressione e onde trasversali. |
1.3 1.4 |
| 4 | Martedì 11.03.2025 14-16 |
Tipi di onde: lineari e non-lineari, scalari e vettoriali, longitudinali e trasversali, in tempo e in frequenza.
Soluzioni dell'equazione di Helmholtz in 1D e in 2D. Onde piane, propagative e stazionarie. Lunghezza d'onda. Onde piane vettoriali, longitudinali e trasversali. Onde evanescenti. Funzioni di Bessel e di Hankel, onde circolari. |
2.1 2.2 2.3 |
| 5 | Venerdì 14.03.2025 14-16 |
Relazioni tra onde piane e circolari, formula di Jacobi-Anger, funzioni di Herglotz. Vettore di Poynting per soluzioni di Helmholtz. Domini Lipschitz e spazi di Sobolev. Spazi di Sobolev frazionari sul bordo di un disco e di un dominio Lipschitz. Prodotto di dualità. |
2.4 3.1 3.2 3.3 |
| 6 | Martedì 18.03.2025 14-16 |
Ripasso: spazi di Sobolev frazionari e prodotto di dualità. Operatori e teorema di traccia. Norme equivalenti per gli spazi \(H^{\pm1/2}(\partial\Omega)\) attraverso gli operatori di traccia. Prima e seconda identità di Green. Funzioni \(H^1\) definite a tratti. Riflessione di onde piane da semipiani con condizioni di Dirichlet, Neumann e impedenza. |
3.3.4 3.4 4.1 |
| 7 | Venerdì 21.03.2025 14-16 |
Notazione per problemi al bordo in domini illimitati. Esempio: scattering da parte di un disco sound-soft. Selezione delle onde che si propagano verso l'esterno. Condizione di Sommerfeld; soluzioni uscenti. Problema di scattering sound-soft e problema di Dirichlet esterno. Far-field pattern. Esempi numerici. Problemi troncati. |
4.3 |
| 8 | Martedì 25.03.2025 14-16 |
Ripasso: problemi di Dirichlet esterni e di scattering. Problemi di scattering diretti e inversi. Soluzione fondamentale \(\Phi_k(\mathbf{x},\mathbf{y})\) dell'equazione di Helmholtz. Single-layer potential \(\mathcal{S}\), single-layer operator \(S\). Relazione di traccia \(\gamma\mathcal S=S\), dimostrazione. Single-layer BIE \(S\psi=g_D\), formula di rappresentazione \(u=\mathcal{S}\psi\). Forma variazionale della BIE. Metodo BEM-collocazione. Forma matriciale. Discretizzazione con costanti a tratti. |
5.1 5.2 |
| 9 | Venerdì 28.03.2025 14-16 |
Ripasso: problemi esterni, single layer, BIE, e metodo BEM. Metodo BEM-Galerkin. Sistema lineare denso, non-hermitiano. Riduzione dimensionale rispetto al metodo FEM. Quadratura per BEM-collocazione e BEM-Galerkin. Risoluzione delle oscillazioni. Descrizione del progetto BEM da implementare. |
5.2 5.2.1 5.2.2 |
| Nessuna lezione 1-4.4.2025 | |||
| 10 | Martedì 8.04.2025 14-16 |
Possibili estensioni del progetto BEM. Problemi variazionali astratti in spazi di Hilbert sui complessi. (Seminario di Mourad Sini.) |
5.2.2 |
| 11 | Venerdì 11.04.2025 14-16 |
Problemi variazionali non coercivi: operatori compatti e di Fredholm, alternativa di Fredholm, disuguaglianza di Garding, condizioni che garantiscono la buona posizione. Problema di Dirichlet per Helmholtz in domini limitati: caso di un disco e di un rettangolo, autofunzioni, disuguaglianza di Garding, decomposizione dell'operatore e della forma sesquilineare in parte invertibile (Laplace) e parte compatta. Stabilità del problema di Dirichlet con assorbimento (numero d'onda complesso). |
3.5 4.2 4.2.1 |
| 12 | Martedì 15.04.2025 14-16 |
Problema interno di impedenza: disuguaglianza di Garding e buona posizione. Remark 4.33: TE e TM modes per lo scattering di onde elettromagnetiche. Buona posizione del problema di Dirichlet esterno: mappa DtN, problema troncato, lifting, formulazione variazionale, disuguaglianza di Garding, lemma di Rellich. |
4.4 |
| Interruzione per Pasqua e 25 aprile | |||
| 13 | Martedì 29.04.2025 14-16 |
Formula di rappresentazione integrale di Green in un limitato. Proprietà delle soluzione uscenti. Rappresentazione integrale di Green per soluzioni esterne. Non esistenza di soluzioni uscenti di Helmholtz su tutto il piano. Rappresentazione integrale di Green sul bordo. Double-layer potential e operator: definizioni e proprietà. Rappresentazione integrale di Green in termini di potenziali e operatori integrali. |
5.3 5.4 |
| Interruzione per primo maggio | |||
| 14 | Martedì 06.05.2025 14-16 |
Ripasso: potenziali e operatori integrali di single- e double-layer, rappresentazione integrale di Green. Formula della traccia di Dirichlet del potenziale di double layer. Adjoint double-layer e hypersingular operator. Tracce di Dirichlet e di Neumann dei due potenziali, formule dei salti e delle medie. Derivazione delle formule \((\mathcal{S}\psi)|_{\Omega_-}=-u^{Inc}|_{\Omega_-}\) e \(\psi=-\partial_n^+u^{Tot}\) per la soluzione \(\psi\) dell'equazione integrale, conseguenze. Stima dell'errore del metodo BEM usando il valore del potenziale nello scatterer. Esempio di densità \(\psi\) per un problema di scattering. Approssimazione di Kirchhoff, esempio. |
5.4 5.5 5.6 |
| 15 | Venerdì 09.05.2025 14-16 |
L'operatore di single-layer \(S\) è iniettivo se e solo se \(k^2\) non è autovalore di Dirichlet in \(\Omega_-\). L'operatore di single-layer per l'equazione di Helmholtz è Fredholm. Buona posizione dell'equazione integrale lontano dalle risonanze spurie, conseguenze per il metodo BEM. Operatori di single-layer per l'equazione di Laplace e di reazione-diffusione; decomposizione dell'operatore per Helmholtz in parte invertibile e parte compatta. L'operatore di single-layer per l'equazione di reazione-diffusione è coercivo. La differenza tra operatori di single-layer è compatta (sketch). |
6.1.1 6.1.2 6.1.4 6.1.5 |
| 16 | Martedì 13.05.2025 14-16 |
Tentativi di costruire un'equazione integrale ben posta per ogni numero d'onda. Equazione integrale con il double-layer. Due equazioni integrali dirette, del primo e del secondo tipo. Equazioni di Brackhage-Werner e di Burton-Miller: iniettività e buona posizione. Condizioni di trasmissione per onde acustiche. Tracce normali e tangenti di campi vettoriali, spazi H(div) e H(curl). Equazione \(\nabla\cdot(\frac1\rho\nabla u)+\frac{k^2}\rho u=0\) per \(\rho\) e \(k=\frac\omega c\) discontinui. |
6.2.1 6.2.2 6.2.3 6.2.4 7.1.1 |
| Mercoledì 14 maggio, ore 15, aula Beltrami: seminario di Simon Chandler-Wilde. | |||
| 17 | Venerdì 16.05.2025 14-16 |
Condizioni di trasmissione per onde elettromagnetiche: componenti tangenti di \(\mathbf E,\mathbf H\), componenti normali di \(\epsilon\mathbf E,\mu\mathbf H\). Condizioni di trasmissione per modi TE e TM. Indice di rifrazione. Problema di trasmissione di un'onda piana tra due semipiani. Legge di Snell. Riflessione totale, onde evanescenti. Problema di trasmissione con due interfacce parallele: guida d'onda aperta, modi guidati, esempi fisici. Problemi di trasmissione tra un dominio limitato e il complemento, esempi. |
7.1.1 7.1.2 7.1.3 |
| 18 | Martedì 20.05.2025 14-16 |
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| Venerdì 23 maggio: CompMat spring workshop | |||
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