Geometria 1 - anno 2014-15
- Prova scritta di topologia del 22-2-2016: Testo e soluzioni | Esito della prova
- Prova scritta di topologia del 18-1-2016: Testo e soluzioni | Esito della prova
- Prova scritta di geometria proiettiva del 19-1-2016: Testo | Soluzioni | Esito della prova
- Prova scritta di topologia del 22-9-2015: Testo e soluzioni | Esito della prova
- Prova scritta di geometria proiettiva del 23-9-2015: Testo | Soluzioni | Esito della prova
- Prova scritta di topologia del 8-9-2015: Testo e soluzioni | Esito della prova
- Prova scritta di geometria proiettiva del 9-9-2015: Testo | Esito della prova
- Prova scritta di topologia del 30-6-2015: Testo e soluzioni | Esito della prova
- Prova scritta di geometria proiettiva del 1-7-2015: Testo | Soluzioni | Esito della prova
- Prova scritta di topologia del 15-6-2015: Testo e soluzioni | Esito della prova
- Prova scritta di geometria proiettiva del 16-6-2015: Testo | Soluzioni | Esito della prova

- Un esempio di possibile prova scritta di topologia, con soluzioni

- Parti dei testi illustrate nelle lezioni

- Descrizione: La parte principale del corso è una introduzione alla topologia generale e alle prime nozioni di topologia algebrica. Una seconda parte è una introduzione alla geometria proiettiva.

- Programma di massima del corso:
Spazi topologici; aperti, chiusi, intorni e nozioni collegate. Funzioni continue. Spazi connessi; connessione e applicazioni continue. Spazi compatti; compattezza e applicazioni continue. Spazi di Hausdorff; spazi T3 e T4. Funzioni continue tra spazi di Hausdorff e/o compatti. Costruzione di spazi topologici: sottospazi, quoziente di uno spazio topologico modulo una relazione di equivalenza, prodotto di spazi topologici. Spazi metrici; funzioni continue tra spazi metrici. Completezza; completamento di uno spazio metrico. Caratterizzazione della compattezza per gli spazi metrici. Funzioni uniformemente continue tra spazi metrici. Teorema di Baire. Teorema di Ascoli. Omotopia tra applicazioni continue. Spazi semplicemente connessi. Rivestimenti; teorema di sollevamento delle omotopie. Il gruppo fondamentale di uno spazio topologico. Gruppo fondamentale del cerchio e delle sfere. Cenni al teorema di Van Kampen. Richiami sulle isometrie nel piano euclideo. Introduzione alla geometria proiettiva. Motivazioni storiche. Spazio proiettivo associato a uno spazio vettoriale (su un campo qualunque, ma con particolare riferimento al campo reale); sottospazi proiettivi; coordinate omogenee. Immersione del piano euclideo nel piano proiettivo reale. Proiettività; proprietà proiettive. Coniche; classificazioni proiettiva e affine; polarità. Cenni alle quadriche. Cenno al "programma di Erlangen".

- testi:
- topologia:
  - C. Kosniowski, Introduzione alla topologia algebrica, Zanichelli, Bologna 1988
  - M. Cornalba, Complementi sugli spazi metrici, scaricabile qui
- geometria proiettiva:
  - E. Sernesi, Geometria 1, seconda edizione, Bollati Boringhieri, Torino 2000

- altri testi suggeriti:
- Marco Manetti, Topologia, Springer

- note:
- Basi (pdf)
- Spazi normati localmente compatti (pdf)
- Sollevamento di omotopie (pdf)
- Piccola introduzione alla geometria proiettiva (pdf)

- Parti dei testi illustrate nelle lezioni:

- Kosniowski: - nota "Basi": tutto
- nota "Complementi sugli spazi metrici": tutto
- nota "Spazi normati localmente compatti": tutto

- Esercizi proposti:

1 (per 13/3/2015). Kosniowski: 1.3 (b), (d), (e); 1.8 (b), (d); 2.2 (b); 2.3 (a), (b), (c)

2 (per 20/3/2015). Kosniowski: 2.6 (d); 2.8 (a), (b); 2.9 (d), (f); 3.2 (b), (d); 3.4; 3.7 (a)

3 (per 27/3/2015). Kosniowski: 4.5 (f), (h), (i); 7.5 (a), (c); 7.13 (a), (f); 8.14 (h)

4 (per 16/4/2015). Kosniowski: 9.8 (a), (d), (e), (f), (h), (i), (j)

5 (per 24/4/2015). Kosniowski: 5.3 (c), (d), (f)

6 (per 30/4/2015). Note sugli spazi metrici: 3.1, 3.2, 3.3, 3.4, 3.5, 6.1

7 (per 15/5/2015). Note sugli spazi metrici: 5.2, 5.3, 6.3, 7.1

8 (per 28/5/2015). Kosniowski: 5.13 (a), (b); 11.2 (c), (d); 11.5 (c); 12.10 (c), (g), (h)

- Diario del corso (topologia):

1 (3/3/2015): Introduzione al corso. La nozione di topologia. Spazi topologici. Esempi di spazi topologici: topologia euclidea su \(\mathbb R\), topologia dei complementari di sottoinsiemi finiti. Spazi metrici; topologia metrica. Esempi di spazi metrici: metrica euclidea su \(\mathbb R^n\) e suoi sottoinsiemi, metrica banale su un insieme qualsiasi, metrica \(\rm L_\infty\) sullo spazio delle funzioni continue su un intervallo chiuso.

2 (5/3/2015): Esempi di topologie. Caratterizzazioni degli aperti in uno spazio metrico. Norme su uno spazio vettoriale reale. Distanza indotta da una norma. Esempi di norme equivalenti su \(\mathbb R^n\).

3 (6/3/2015): Metriche equivalenti, esempi di metriche che danno la stessa topologia. Esempi di topologie: topologia discreta, topologia delle semirette (aperte e non) su \(\mathbb R\). Topologia indotta. La topologia indotta su un sottospazio di uno spazio metrico è la topologia metrica. Continuità. La composizione di funzioni continue è continua. Intorni. Continuità in un punto.

4 (11/3/2015): Equivalenza tra continuità e continuità in ogni punto. Continuità puntuale in spazi metrici. Esempi di continuità: funzioni semicontinue e localmente costanti. Continuità e sottospazi. La distanza da un punto in uno spazio metrico è continua. Chiusi e loro comportamento rispetto alla continuità. Chiusura, parte interna, frontiera.

5 (13/3/2015): Esercizi. Spazi di Hausdorff. Gli spazi metrizzabili sono di Hausdorff. Esempi di spazi non di Hausdorff. Compattezza. I chiusi di uno spazio compatto sono compatti.

6 (18/3/2015): In uno spazio di Hausdorff i punti sono chiusi. Compattezza degli intervalli chiusi. I compatti in uno spazio di Hausdorff sono chiusi. I compatti in \(\mathbb R\) sono i chiusi limitati. Spazi T3 e T4. Uno spazio compatto di Hausdorff è T4. L'immagine di un compatto tramite una applicazione continua è un compatto. Applicazioni aperte, applicazioni chiuse. Esempi di applicazioni continue non aperte e/o non chiuse. Una applicazione continua da uno spazio compatto in uno di Hausdorff è chiusa. Omeomorfismi. Una applicazione continua e biunivoca da uno spazio compatto in uno di Hausdorff è un omeomorfismo.

7 (19/3/2015): La topologia prodotto nel caso di prodotti finiti. La topologia prodotto su \(\mathbb R^n\) coincide con la topologia euclidea. Basi di una topologia. Dati uno spazio topologico \(X\) e una sua base \(\mathcal B\), \(X\) è compatto se e solo se ogni suo ricoprimento con elementi di \(\mathcal B\) ha un sottoricoprimento finito.

8 (20/3/2015): Esercizi sugli operatori di chiusura, parte interna e frontiera. Esercizi sulle applicazioni continue.

9 (25/3/2015): Caratterizzazione delle famiglie di sottinsiemi che sono basi di una topologia. Il prodotto di spazi compatti è compatto. Esercizi.

10 (25/3/2015): Associatività del prodotto di spazi topologici. Le proiezioni da un prodotto ai fattori sono continue e aperte. Criterio di continuità per le applicazioni in un prodotto. Esercizi.

11 (26/3/2015): Un prodotto di spazi topologici è di Hausdorff se e solo se lo sono i fattori. Un sottospazio di uno spazio di Hausdorff è di Hausdorff. \(X\) è di Hausdorff se e solo se la diagonale in \(X\times X\) è chiusa. Unicità del limite per applicazioni continue in spazi di Hausdorff. I compatti in \(\mathbb R^n\) sono i chiusi limitati. Spazi connessi. L'immagine di un connesso tramite una applicazione continua è connesso.

12 (1/4/2015): La chiusura di un connesso è connessa. Una unione di connessi con intersezione non vuota è connessa; corollari e varianti. Cammini in uno spazio topologico. Spazi connessi per archi. Gli intervalli chiusi sono connessi. Sottinsiemi connessi della retta reale. Applicazione: teorema dei valori intermedi. Un prodotto di spazi topologici è connesso se e solo se lo sono i fattori. Componenti connesse. Le componenti connesse sono chiuse; se sono in numero finito sono anche aperte.

13 (15/4/2015): Topologia quoziente. Proprietà universale della topologia quoziente. L'immagine di una mappa continua aperta (o chiusa) ha la topologia quoziente. Quoziente modulo un sottinsieme. Esempi: un quoziente non di Hausdorff di uno spazio di Hausdorff, sfera come quoziente del disco, piano proiettivo come quoziente della sfera e dello spazio tridimensionale meno l'origine; equivalenza tra le due definizioni.

14 (16/4/2015): Esercizi sugli omeomorfismi e sugli spazi compatti. Proiezione stereografica della sfera.

15 (22/4/2015): Nastro di Möbius. Piano proiettivo come disco cucito a un nastro di Möbius. Spazi metrici: distanza tra un punto e un sottinsieme, disuguaglianza triangolare per la medesima, distanza tra due sottinsiemi. Caratterizzazione della chiusura tramite la distanza. Esempio di chiusi disgiunti con distanza zero. Un compatto e un chiuso disgiunti hanno distanza positiva. Funzioni uniformemente continue e Lipschitziane. La distanza da un sottinsieme è Lipschitziana di costante 1. Convergenza di successioni. Continuità per successioni. Una applicazione da uno spazio metrico a uno spazio topologico è continua se e solo se è continua per successioni.

16 (23/4/2015): Esercizi sulla compattezza e la connessione.

17 (24/4/2015): Esercizi sulla connessione e sui quozienti. Compattezza per successioni. Ogni spazio metrico compatto è compatto per successioni. Ogni funzione continua da uno spazio metrico compatto in uno spazio metrico è uniformemente continua. Successioni di Cauchy. Ogni successione convergente è di Cauchy. Spazi metrici completi. Esempi di spazi metrici completi e non. Ogni spazio metrico compatto è completo.

18 (29/4/2015): Caratterizzazione della chiusura in uno spazio metrico tramite le successioni. Metriche equivalenti. Metriche equivalenti su un prodotto di spazi metrici. I sottinsiemi completi di uno spazio metrico sono chiusi, i chiusi in uno spazio metrico completo sono completi. Il prodotto di spazi metrici completi è completo. Spazi metrici totalmente limitati. Uno spazio compatto per successioni è totalmente limitato. Uno spazio compatto per successioni è completo. Uno spazio totalmente limitato contiene un sottinsieme numerabile denso.

19 (30/4/2015): Uno spazio metrico è compatto se e solo se è compatto per successioni se e solo se è completo e totalmente limitato.

20 (5/5/2015): Lo spazio \(\ell_\infty\). La palla unitaria chiusa in \(\ell_\infty\) è completa e limitata ma non compatta. Numero di Lebesgue di un ricoprimento aperto di uno spazio metrico. Il numero di Lebesgue di un ricoprimento aperto di uno spazio metrico compatto è strettamente positivo. Estensione di funzioni uniformemente continue. Completamento di uno spazio metrico. Unicità del completamento.

21 (7/5/2015): Esistenza del completamento di uno spazio metrico.

22 (8/5/2015): Esercizi sugli spazi metrici. Funzioni a valori in uno spazio metrico; metrica e topologia della convergenza uniforme. Il sottospazio delle funzioni contiune è chiuso. Completezza della metrica uniforme sullo spazio delle funzioni a valori in uno spazio metrico completo.

23 (13/5/2015): Famiglie equicontinue di funzioni tra spazi metrici \(X\) e \(Y\). Equicontinuità uniforme. Se \(X\) è compatto l'equicontinuità implica l'equicontinuità uniforme. Teorema di Ascoli: una famiglia di funzioni continue tra spazi metrici compatti \(X\) e \(Y\) è compatta se e solo se è chiusa e equicontinua.

24 (14/5/2015): Teorema di Baire. Spazi normati; continuità di somma e prodotto. Criterio di continuità per applicazioni lineari tra spazi normati.

25 (15/5/2015): Ancora sul criterio di continuità per applicazioni lineari tra spazi normati. Ogni applicazione lineare tra spazi normati di dimensione finita è continua. I sottospazi di dimensione finita di uno spazio normato sono chiusi. Uno spazio normato è localmente compatto se e solo se ha dimensione finita. Esercizi sugli spazi metrici.

26 (20/5/2015): Esercizi sugli spazi metrici. Azione di un gruppo su un insieme e relativo quoziente. Orbite. Azione topologica su uno spazio topologico; l'applicazione quoziente è aperta. Esempi: spazi proiettivi, toro \(n\)-dimensionale, nastro di Möbius.

27 (21/5/2015): Toro e bottiglia di Klein come quozienti di una azione di gruppo. Come mostrare che un quoziente è di Hausdorff.

28 (22/5/2015): Ancora sulla bottiglia di Klein. Superfici come quozienti di un poligono modulo identificazioni dei lati. Superfici di genere \(g\). Varietà topologiche. Somma connessa e sue proprietà formali. Classificazione delle superfici: enunciato. La bottiglia di Klein come somma connessa di due piani proiettivi. Cammini e prodotto di cammini. Lemma di incollamento di applicazioni continue. Spazi connessi per archi. La connessione per archi implica la connessione. Una varietà topologica connessa è anche connessa per archi. Un esempio di spazio topologico connesso ma non connesso per archi.

29 (26/5/2015): La somma connessa del piano proiettivo e della bottiglia di Klein è omeomorfa alla somma connessa del piano proiettivo e del toro. Omotopia tra mappe; omotopia relativa. L'omotopia è una relazione di equivalenza. Classi di omotopia con estremi fissi di cammini; invarianza delle stesse per riparametrizzazione. Prodotto di classi di cammini; associatività del medesimo.

30 (27/5/2015): Ancora sugli spazi connessi ma non connessi per archi. Inverso di un cammino. Il gruppo fondamentale. Isomorfismo tra i gruppi fondamentali rispetto a due punti base connessi da un cammino. Omomorfismo tra gruppi fondamentali indotto da una mappa continua. Invarianza per omotopia dell'omomorfismo indotto.

31 (28/5/2015): Invarianza per omotopia dell'omomorfismo indotto (fine). Equivalenze omotopiche, retratti, retratti di deformazione, spazi contaibili. Esempi. Spazi omotopicamente equivalenti hanno gruppi fondamentali isomorfi. Il gruppo fondamentale del cerchio: sollevamento di cammini e di omotopie, grado di un cammino chiuso in \(S^1\).

32 (29/5/2015): Sollevamento di omotopie. Il gruppo fondamentale del cerchio (fine). Applicazioni: teorema di punto fisso di Brouwer, teorema fondamentale dell'algebra.

- Diario del corso (geometria proiettiva):

1 (4/3/2015): Introduzione. Origine storica della geometria proiettiva. Prospettività: definizione; difficoltà. Ampliamento del piano reale (rispettivamente, dello spazio reale tridimensionale) mediante gli elementi impropri. Cenno alle coordinate omogenee.

2 (10/3/2015): Richiami. Piano proiettivo reale: coordinate omogenee per i punti, rappresentazione delle rette. Esercizi.

3 (12/3/2015): Isometrie del piano euclideo: definizione e classificazione.

4 (17/3/2015): Coordinate omogenee nello spazio proiettivo reale tridimensionale: cenno alla definizione; esercizi. Spazio proiettivo associato ad uno spazio vettoriale, di dimensione finita, su un campo arbitrario; dimensione; sottospazi proiettivi.

5 (24/3/2015): Ancora sullo spazio proiettivo associato ad uno spazio vettoriale. Campo complesso: retta proiettiva; breve cenno al piano proiettivo. Campi finiti: costruzione del "piano di Fano".

6 (31/3/2015): Applicazioni "naturali" tra spazi proiettivi. Definizioni di trasformazione proiettiva, di isomorfismo proiettivo, di proiettività. Isomorfismi proiettivi e prospettività, tra due iperpiani di uno spazio proiettivo (cenno). Isometrie di uno spazio euclideo e proiettività (cenno).

7 (14/4/2015): Richiami e complementi sulle nozioni viste fin qui; in particolare, enunciato: il gruppo moltiplicativo di ogni campo finito è ciclico. Coordinate omogenee nello spazio proiettivo associato a uno spazio vettoriale; punti fondamentali e punto unità.

8 (17/4/2015): Cenni di teoria dei gruppi. Classificazione delle isometrie del piano euclideo.

9 (21/4/2015): Uso delle coordinate omogenee per la rappresentazione di sottospazi proiettivi. Le rette di un piano proiettivo sono gli elementi di un altro piano proiettivo; generalizzazione, sugli iperpiani di uno spazio proiettivo.

10 (28/4/2015): Isomorfismi proiettivi e coordinate omogenee; uso di matrici quadrate, invertibili, date a meno di un fattore di proporzionalità. Estensione a proiettività delle isometrie del piano euclideo: generalità e un esempio.

11 (6/5/2015): Ancora esempi di isometrie in uno spazio euclideo e della loro estensione a proiettività. Esempi di proiettività prive di punti fissi (in spazi proiettivi reali di dimensione dispari).

12 (12/5/2015): Similitudini e affinità (o trasformazioni affini) negli spazi euclidei. Esempi, esercizi.

13 (19/5/2015): Enunciato del teorema di esistenza e unicità per isomorfismi proiettivi; casi particolari, esempi. Equivalenze proiettiva, affine, euclidea; esempi. Curve piane algebriche: considerazioni introduttive; definizioni di curva e di supporto.

14 (26/5/2015): Equivalenza proiettiva per curve piane algebriche. Coniche: definizione, matrice dei coefficienti. Classificazione proiettiva delle coniche, in campo complesso e in campo reale.

15 (27/5/2015): Classificazione affine delle coniche reali, non degeneri, dotate di punti reali. Cenno all'equivalenza rispetto alle similitudini. Esercizi. Osservazioni di carattere topologico.

16 (29/5/2015): Birapporto di una quaterna ordinata di punti, su una retta proiettiva. Quaterne armoniche. Polarità rispetto a una conica reale, non degenere, dotata di punti reali. Nozioni affini: diametri, centro. Cenno al "programma di Erlangen", di F. Klein.