Curve algebriche e superfici di Riemann - anno 2014-15
- Orario del corso
- Descrizione:
Il corso illustra la teoria di base delle curve algebriche complesse e alcune delle tecniche impiegate nel loro studio (fibrati, fasci e loro coomologia)
- Programma di massima del corso:
- Superfici di Riemann.
- Differenziali abeliani.
- Divisori e funzioni meromorfe.
- Curve algebriche e il teorema di Riemann-Roch.
- La Jacobiana di una curva.
- Il teorema di Abel.
- Fasci e coomologia dei fasci. Fasci algebrici. Fasci invertibili.
- testi:
- Rick Miranda, Algebraic Curves and Riemann Surfaces, American Mathematical Society
- Note fornite dal docente (PDF)
- note:
- Distribuzioni armoniche (pdf)
- Diario del corso:
1 (1/10/2014): Prodotto tensoriale di spazi vettoriali e sua proprietà universale. Algebra tensoriale di uno spazio vettoriale. Potenze esterne di uno spazio vettoriale e loro proprietà universale.
2, 3 (6/10/2014): Dimensione delle potenze esterne di uno spazio vettoriale. Forme differenziali. Differenziazione esterna e sue proprietà formali. Pullback di forme differenziali. Orientabilità. Integrazione di forme differenziali. Teorema di Stokes.
4, 5 (7/10/2014): Teorema di Stokes (fine). Funzioni olomorfe di più variabili complesse. Equazioni di Cauchy-Riemann. Formula di Cauchy. Fenomeno di Hartogs. Principio del massimo per funzioni olomorfe. La nozione di varietà complessa. Tipo di una forma differenziale.
6 (8/10/2014): Tipo di un vettore tangente. Spazio tangente complesso. Morfismi di varietà complesse. Operatori \(\partial\) e \(\overline{\partial}\). Orientabilità delle varietà complesse. Superfici di Riemann. Genere di una superficie di Riemann compatta e connessa.
7, 8 (13/10/2014): Funzioni meromorfe su una varietà complessa. Divisori (di Weil) su una superficie di Riemann compatta. Divisori di Cartier su una varietà complessa. Equivalenza tra divisori di Weil e Cartier su una superficie di Riemann compatta. Grado di un divisore. Differenziali meromorfi. Divisori principali. Teorema dei residui. I divisori principali hanno grado nullo.
9, 10, 11 (15/10/2014): Differenziali abeliani. Lo spazio \(L(D)\) e il problema di Riemann-Roch. Limiti sulla dimensione di \(L(D)\). Prefasci e fasci. Esempi. Fascio strutturale di una varietà complessa. Fasci di moduli. Fascio generato da un prefascio. Omomorfismi di fasci; nucleo, immagine, conucleo. Fascio \(\mathcal{O}(D)\) dove \(D\) è un divisore di Cartier. Fascio dei divisori come quoziente \(\mathcal{M}_X^*/\mathcal{O}_X^*\). Fasci fiacchi. Proprietà fondamentali dei fasci fiacchi. Immersione canonica di un fascio in un fascio fiacco.
12, 13, 14 (22/10/2014): Risoluzione fiacca canonica. Coomologia di un fascio di gruppi abeliani. Proprietà elementari dei gruppi di coomologia. Successione esatta lunga di coomologia. Aciclicità dei moduli sul fascio delle funzioni lisce su una varietà differenziabile. Calcolo della coomologia mediante risoluzioni acicliche. Applicazioni: teoremi di de Rham e Dolbeault. Risoluzione locale dell'equazione di Cauchy-Riemann non omogenea in dimensione 1.
15, 16 (27/10/2014): Lemmi di Poincaré e Grothendieck. \(\mathcal{O}_X\)-moduli localmente liberi e invertibili. Operazioni su fasci di moduli: somma diretta, prodotto tensoriale, fasci di omomorfismi, duale. Il teorema di Dolbeault per la coomologia di un fascio localmente libero. Gruppo di Picard \(\text{Pic}(X)\). L'omomorfismo \(\text{Div}(X)\to \text{Pic}(X)\).
17, 18, 19 (29/10/2014): Il nucleo di \(\text{Div}(X)\to \text{Pic}(X)\) è costituito dall'insieme dei divisori principali. La suriettività di \(\text{Div}(X)\to \text{Pic}(X)\) equivale all'affermazione che ogni fascio invertibile ha primo gruppo di coomologia di dimensione finita. Teoria di Hodge per superfici di Riemann compatte. Caratteristica di Eulero-Poincaré e sua additività. Il teorema di Riemann-Roch per fasci invertibili su una curva. Fascio dualizzante. Teorema di dualità per fasci invertibili su una curva.
20, 21 (3/11/2014): Teorema di dualità per fasci invertibili: fine della dimostrazione. Prime conseguenze dei teoremi di Riemann-Roch e di dualità. Grado del fascio canonico. Un fascio invertibile di grado negativo non ha sezioni. Un fascio invertibile di grado maggiore di \(2g-2\) ha indice di specialità nullo. Funzioni meromorfe come mappe su \(\mathbb{P}^1\). Una curva con una funzione meromorfa con un solo polo è isomorfa a \(\mathbb{P}^1\).
22, 23, 24 (5/10/2014): Analisi locale delle mappe fra superfici di Riemann. Grado di una mappa tra superfici di Riemann compatte e connesse. Ramificazione. Formula di Riemann-Hurwitz. Punti di Weierstrass iperellittici. Curve iperellittiche. Sistemi lineari. Punti base. Mappa in uno spazio proiettivo associata a un sistema lineare senza punti base. Immersione di Veronese. Mappa canonica. Caratterizzazione delle curve iperellittiche tramite la mappa canonica. Una curva iperellittica di genere \(g\) ha esattamente \(2g+2\) punti di Weierstrass.
25, 26 (10/11/2014): Caratterizzazioni equivalenti delle curve iperellittiche. Teorema delle funzioni imiplicite e risultati collegati in geometria complessa. Ccondizioni perché la maappa in uno spazio proiettivo associata a un sistema lineare sia iniettiva o una immersione locale. La mappa canonica nel caso non iperellittico. Teorema di Clifford.
27, 28, 29 (12/11/2014): Se \(C\) è una curva non degenere in uno spazio proiettivo, l'iperpiano generale non le è tangente. Lemma di posizione generale per i punti del divisore tagliato da un iperpiano su una curva non degenere in uno spazio proiettivo. Se per un fascio invertibile \(L\) su una curva \(C\) la disuguaglianza di Clifford è una uguaglianza, allora o \(L=\mathcal{O}_C\), o \(L=\omega_C\), oppure \(C\) è iperellittica e \(L\) è una potenza del fascio iperellittico.
30, 31 (17/11/2014): Ancora sul caso dell'uguaglianza nel teorema di Clifford. Sottinsiemi analitici. Richiami sulle mappe proprie. L'immagina di un sottinsieme analitico chiuso sotto applicazioni propria è un sottinsieme analitico. Prodotti fibrati. Fibrati vettoriali.
32 (19/11/2014): Corrispondenza tra fasci localmente liberi e fibrati vettoriali. Morfismi di fibrati vettoriali.
33, 34 (24/11/2014): Sottofibrati, nuclei, immagini e conuclei di morfismi di fibrati. Il fibrato iperpiano su uno spazio proiettivo; varie costruzioni. Pullback di fibrati e di fasci di \(\mathcal{O}_X\)-moduli.
35, 36, 37 (30/4/2014): L'anello delle sezioni di potenze positive di un fascio invertibile di grado positivo è finitamente generato su \(\mathbb{C}\). Il campo delle funzioni meromorfe su una curva liscia compatta e connessa è una estensione di tipo finito di \(\mathbb{C}\) con grado di trascendenza 1. Sottofibrato di un fibrato vettoriale olomorfo generato da una sezione. Teorema di Riemann-Roch per fasci localmente liberi. Teorema di dualità per fasci localmente liberi.
38, 39 (1/12/2014): Prodotto di convoluzione di funzioni e distribuzioni. Commutatività e associatività del prodotto di convoluzione. Mollificatori e regolarizzazione delle distribuzioni. Teorema del valor medio per le funzioni armoniche. Ogni distribuzione armonica è una funzione liscia. Regolarità delle soluzioni dell'equazione di Laplace non omogenea.
40, 41, 42 (3/12/2014): Risoluzione dell'equazione di Laplace non omogenea su una curva compatta. Teoria di Hodge per le forme a coefficienti in un fibrato vettoriale olomorfo su una curva. Finitezza della dimensione del primo gruppo di coomologia di un fascio localmente libero su una curva. Costruzione esplicita delle curve iperellittiche di genere assegnato. Topologia delle medesime.
43, 44, 45 (10/12/2014): Ancora sulla topologia delle curve iperellittiche. Isomorfismo tra primi gruppi di coomologia e di coomologia di Čech. La successione esponenziale. Rappresentazione esplicita dei fasci invertibili di grado zero e della mappa esponenziale da \(H^1(\mathcal{O})\) a \(H^1(\mathcal{O}^*)\). Ogni fascio invertibile di grado zero ammette funzioni di transizione costanti di modulo 1.
46, 47 (15/12/2014): Il teorema di Abel. Inizio della dimostrazione. Isomorfismo esplicito tra le coomologie di deRham e Dolbeault e la coomologia di Čech. Basi di \(H_1(C,\mathbb{Z})\) e \(H^1(C,\mathbb{Z})\).
48, 49, 50 (17/12/2014): Fine della dimostrazione del teorema di Abel. Prodotti simmetrici di curve. Mappe di Abel-Jacobi. Fibre della mappa di Abel-Jacobi. Teorema di inversione di Jacobi. Il divisore theta.
