ELEMENTI
FINITI (2023/24)
Corso di Laurea Magistrale in Matematica
Docenti
Informazioni sul corso
Diario delle lezioni e programma d'esame
- 29 febbraio 2024, E9, GS
introduzione al
corso; nozioni essenziali sugli spazi di Sobolev (tracce in H1);
- 1 marzo 2024, E9, GS
formulazione variazionale del
problema di Poisson e buona posizione (applicando il lemma di Lax-Milgram);
- 4 marzo 2024, E9, GS
lemma di Céa nel caso
generale (a non necessariamente simmetrica) e caso simmetrico, con
dimostrazione;
- 7 marzo 2024, E9, GS
triangolazione e sue
proprietà: ammissibilità e shape regularity; derivata in senso
debole (ripasso di quanto visto in analisi funzionale); condizioni di
raccordo per funzioni C∞ a tratti: v ∈ H1 ⇔ v ∈ C0
(con dimostrazione);
triangolo di riferimento
- 8 marzo 2024, E9, GS
dimensione dello spazio dei
polinomi (con dimostrazione), definizione dei punti di interpolazione sul triangolo
(con dimostrazione dell'unisolvenza), definizione di elemento
finito (K,P,N), elementi finiti affini, elementi finiti continui:
Pk(Th) e Pkdisc(Th);
- 11 marzo 2024, E9, GS
il problema di Darcy e la sua
formulazione variazionale; (ker (O))° = Im (O*) e
inf-sup condition (lemmi con relative dimostrazioni);
- 14 marzo 2024, E9, GS
buona posizione del problema
variazionale misto (con dimostrazione) e verifica delle ipotesi di
coercività nel ker(div) e di inf-sup per il caso di Darcy;
- 15 marzo 2024, E9, GS
RTk, definizione e
dimensione dello spazio RTk; proprietà e gradi di libertà
- 18 marzo 2024, ore 14-18 , Aula Beltrami
Una lezione speciale...
- 21 marzo 2024, Lezione cancellata
- 22 marzo 2024, E9, GS
dimsotrazione della
quasi-ottimalità per il metodo elementi finiti misto.
- 25 marzo 2024, Lab. informatico, GS
Triangolazione,
struttura dati e distmesh_2d, formule di quadratura
- 4 aprile 2024, Lab. informatico, CP
Esercitazione sulle
formule di quadratura
- 5 aprile 2024, E9, GS
equivalenza tra norma di
Hk+1/Pk e seminorma Hk+1 (Deny-Lions) con dimostrazione
- 8 aprile 2024, Lab. informatico, GS
Assemblaggio del
sistema lineare del metodo elementi finiti
- 11 aprile 2024, E9, GS
stime per il cambio affine di
variabile nella la seminorma Hk (scaling argument), con dimostrazione
- 12 aprile 2024, E9, GS
stima della norma del gradiente
della trasformazione affine in termini di h e ρ (con
dimostrazione) e teorema di Bramble Hilbert (con dimostrazione) con
la sua applicazione al caso dell'interpolatore ΠT
di grado k sull'elemento triangolare T
- 15 aprile 2024, Lab. informatico, GS+CP
Test numerici per FEM
applicato al problema di Poisson con condizioni di Dirichlet omogenee
- 18 aprile 2024, E9, GS
stima dell'errore per il metodo di
Galerkin, problema di Poisson, in norma L2 (Aubin-Nitsche) con
dimostrazione
- 19 aprile 2024, E9, GS
I lemma di Strang (con
dimostrazione) e analisi dell errore di quadratura per elementi
lineari, con dimostrazione;
- 22 aprile 2024, Lab. informatico, GS
Test numerici per FEM
applicato al problema di Poisson con condizioni di Dirichlet non omogenee
- 29 aprile 2024, Lab. informatico, GS+CP
Test numerici per FEM
applicato al problema di Poisson: condizioni di Neumann
- 2 maggio 2024, E9, GS
II lemma di Strang (con
dimostrazione) e analisi analisi dell errore di
approssimazione del dominio con elementi triangolari, con
dimostrazione;
- 3 maggio 2024, E9, GS
disuguaglianze inverse
- 6 maggio 2024, Lab. informatico, GS+CP
implementazione degli
spazi RT0 e P0
- 9 maggio 2024, E9, GS
stima di errore (con
dimostrazione) per il metodo di
Nitsche
- 10 maggio 2024, E9, GS
rimprendiamo gli RTk, i
loro gradi di libertà e proprietà
- 13 maggio 2024, Lab. informatico, GS
Test numerici per FEM
applicato al problema di Darcy
- 16 maggio 2024, E9, GS
Darcy con i RTk x
Pk: stime d'errore
- 17 maggio 2024, E9, GS
il problema di
diffusione-trasporto, parte I: introduzione al problema
- 20 maggio 2024, Lab. informatico, GS
Darcy con condizioni
al bordo generali
- 23 maggio 2024, E9, GS
il problema di
diffusione-trasporto, parte II: descrizione dei metodi NCAD
(diffusione artificiale non-consistente), NCSD (diffusione streamline
non consistente) e SUPG (streamline-upwind Petrov-Galerkin)
- 24 maggio 2024, E9, GS
il problema di
diffusione-trasporto, parte III: stima dell'errore (con dimostrazione)
- 27 maggio 2024, Lab. informatico, GS+CP
Implementazione
MATLAB di NCAD (non-consistent/artificial-diffusion) e SUPG
(streamline-upwind/Petrov-Galerkin) per il problema di
diffusione-trasporto e test numerici
- 30 maggio 2024, E9, GS
Elementi finiti C1
(triangolo di Argyris, e` argomento d'esame) ed isoparametrici (Q1 e
P2, non e` argomento d'esame)
- 31 maggio 2024, E9, GS
Un'introduzione all'IGA, non e` argomento d'esame
- 3 giugno 2024, Lab. informatico, CP
Test numerici per il
problema di diffusione-trasporto
- 6 giugno 2024, Lab. informatico, CP
Un'introduzione al
metodo discontinuous Galerkin ed in particolare alla sua variante Symmetric Interior Penalty discontinuous Galerkin (SIPG),
non e` argomento d'esame
- 7 giugno 2024, E9, CP + GS
Discussione e revisione finale
Metodi elementi finiti implementati in linguaggio MATLAB durante
il corso
- Solutore del problema bidimensionale di Poisson con elementi P1;
- Solutore del problema bidimensionale di Darcy con elementi
finiti misti RT0 x P0.
Un possibile triangolatore in linguaggio MATLAB
Regole per l'esame
- L'esame consiste in una prova orale su tutti gli argomenti svolti a
lezione (escluso quanto esplicitamente indicato nel "Diario delle
lezioni e programma d'esame" esposto qui sopra) e durante il laboratorio di programmazione. Il giorno
dell'orale e` di norma concordato via e-mail anche al di fuori del
calendario ufficiale. Per quanto riguarda la sessione estiva 2024,
alcune possibili date (se prenotate con sufficiente anticipo) sono: 10-21 giugno; 1-5
luglio; 15-19 luglio; 9-27 settembre.
Riferimenti bibliografici
- appunti presi durante le lezioni (si veda anche su Google Drive)
- Finite elements: Theory, fast solvers, and applications in solid mechanics,
di D Braess - 2007 - Cambridge University Press;
- The finite element method for elliptic problems PG Ciarlet -
2002 - SIAM;
2013 - Springer.
- Numerical approximation of partial differential equations, di A
Quarteroni, A Valli - 2008 - Springer;
- Mixed finite element methods and applications, di D Boffi, F Brezzi, M Fortin -
- The mathematical theory of finite element methods, di S
Brenner, R Scott - 2007 - Springer;
- R.G. Durán. Mixed Finite Element Methods. In D. Boffi, F. Brezzi,
L.F. Demkowicz, R.G. Durán, R.S. Falk, M. Fortin,
Mixed finite elements, compatibility conditions, and applications.
Lectures given at the C.I.M.E. Summer School held in Cetraro, June 26-July 1,
2006. Edited by D. Boffi and L. Gastaldi. Lecture Notes in Mathematics, 1939.
Springer-Verlag, Berlin (2008). Il testo pdf si trova al seguente
link
|
