ELEMENTI FINITI (2022/23)

Corso di Laurea Magistrale in Matematica


Docenti

  • Giancarlo Sangalli

Informazioni sul corso

Diario delle lezioni e programma d'esame

  • 2 marzo 2023, E9, GS
    introduzione al corso; cenni alla derivata nel senso delle distribuzioni e nozioni essenziali sugli spazi di Sobolev (tracce in H1);
  • 3 marzo 2023, E9, GS
    formulazione variazionale del problema di Poisson e buona posizione (applicando il lemma di Lax-Milgram); lemma di Cea nel caso generale simmetrico e simmetrico (con dimostrazione);
  • 6 marzo 2023, E9, GS
    triangolazione e sue proprietà: ammissibilità e shape regularity; triangolo di riferimento
  • 9 marzo 2023, E9, GS
    derivata in senso debole (ripasso di quanto visto in analisi funzionale); condizioni di raccordo per funzioni C a tratti: v ∈ H1 ⇔ v ∈ C0 (con dimostrazione)
  • 10 marzo 2023, E9, GS
    dimensione dello spazio dei polinomi (con dimostrazione), definizione dei punti di interpolazione sul triangolo (con dimostrazione dell'unisolvenza), definizione di elemento finito (K,P,N), elementi finiti affini,
  • 15 marzo 2023, E9, GS
    elementi finiti continui: Pk(Th) e Pkdisc(Th); triangolo di Argyris e unisolvenza dei gradi di libertà (con dimostrazione), elementi isoparametrici
  • 16 marzo 2023, Lab. informatico , GS
    struttura dati per la triangolazione e formule di quadratura su di una mesh di triangoli
  • 17 marzo 2023, Lab. informatico , GS
    test numerici di convergenza delle formule di quadratura
  • 20 marzo 2023, E9, GS
    equivalenza tra norma di Hk+1/Pk e seminorma Hk+1 (Deny-Lions) con dimostrazione.
  • 23 marzo 2023, E9, GS
    stime per il cambio affine di variabile nella la seminorma Hk (scaling argument), con dimostrazione.
  • 24 marzo 2023, E9, GS
    stima della norma del gradiente della trasformazione affine in termini di h e ρ (con dimostrazione) e teorema di Bramble Hilbert (con dimostrazione) con la sua applicazione al caso dell'interpolatore ΠT di grado k sull'elemento triangolare T
  • 27 marzo 2023, Sala Conferenze dell'IMATI-CNR alle ore 14
    seminario informale di Mariarosa Mazza su "Some numerical linear algebra considerations on fractional derivatives"
  • 30 marzo 2023, E9, GS
    stima dell'errore per il metodo di Galerkin, problema di Poisson, in norma L2 (Aubin-Nitsche) con dimostrazione;
  • 31 marzo 2023, Lab. informatico , GS
    assemblaggio della "matrice di rigidezza"
  • 3 aprile 2023, Lab. informatico , GS
    prove numeriche per il metodo elementi finiti: verifica numerica degli ordini di convergenza per Poisson omogeneo
  • 13 aprile 2023, Lab. informatico , GS
    prove numeriche per il metodo elementi finiti: Poisson con condizioni Dirichlet non omogenee e condizioni di Neumann
  • 14 aprile 2023, E9, GS
    I lemma di Strang (con dimostrazione) e analisi dell errore di quadratura per elementi lineari, con dimostrazione;
  • 17 aprile 2023, E9, GS
    II lemma di Strang (con dimostrazione) e analisi analisi dell errore di approssimazione del dominio con elementi triangolari, con dimostrazione;
  • 20 aprile 2023, E9, GS
    disuguaglianze inverse
  • 21 aprile 2023, E9, GS
    stima di errore (con dimostrazione) per il metodo di Nitsche
  • 27 aprile 2023, LEZIONE SOSPESA (scambio con il corso di Metodi numerici avanzati per equazioni alle derivate parziali)
  • 28 aprile 2023, LEZIONE SOSPESA (scambio con il corso di Operations research)
  • 3 maggio 2023, ore 14-16, E9, GS
    il problema di Darcy e la sua formulazione variazionale; (ker (O))° = Im (O*) e inf-sup condition (lemmi con relative dimostrazioni)
  • 4 maggio 2023, E9, GS
    buona posizione del problema variazionale misto (con dimostrazione)
  • 5 maggio 2023, Lab. informatico , GS
    FEM per Poisson con condizione di Neumann
  • 8 maggio 2023, ore 14-16, GS
    FEM misti, quasi-ottimalità (con dimostrazione)
  • 8 maggio 2023, ore 16-18, Lab. informatico , GS
    RECUPERO, verifica dei codici FEM per Poisson
  • 11 maggio 2023, E9, GS
    RTk, definizione e dimensione dello spazio
  • 12 maggio 2023, E9, GS
    RTk, gradi di libertà e dimostrazione delle varie proprietà, parte I
  • 15 maggio 2023, E9, GS
    RTk, gradi di libertà e dimostrazione delle varie proprietà, parte II
  • 18 maggio 2023, E9, GS
    RTk, gradi di libertà e dimostrazione delle varie proprietà, parte III
  • 19 maggio 2023, E9, GS
    Darcy con i RTk x Pk: stime d'errore
  • 22 maggio 2023, E9, GS
    implementazione del solutore per Darcy con i RT0 x P0
  • 25 maggio 2023, Lab. informatico, GS
    Darcy in MATLAB
  • 26 maggio 2023, Lab. informatico, GS
    Darcy in MATLAB
  • 29 maggio 2023, Lab. informatico, GL
    revisione dei codici MATLAB
  • 1 giugno 2023, Lab. informatico, GS+GL
    revisione dei codici MATLAB
  • 5 giugno 2023, E9, GS
    analisi isogeometrica (argomento escluso dal programma d'esame)
  • 8 giugno 2023, E9, GS
    formulazioni Galerkin spazio-tempo per problemi evolutivi (argomento escluso dal programma d'esame)
  • 9 giugno 2023, E9, GS
    il problema della diffusione-trasporto e sua risoluzione numerica con metodi Galerkin stabilizzati (argomento escluso dal programma d'esame)

Metodi elementi finiti implementati in linguaggio MATLAB durante il corso

  • Solutore del problema bidimensionale di Poisson conelementi P1;
  • Solutore del problema bidimensionale di Darcy con elementi finiti misti RT0-P0.

Un possibile triangolatore in linguaggio MATLAB

Regole per l'esame

  • L'esame consiste in una prova orale su tutti gli argomenti svolti a lezione e durante il laboratorio di programmazione. Il giorno dell'orale e` di norma concordato via e-mail anche al di fuori del calendario ufficiale. Per quanto riguarda la sessione estiva 2023, alcune possibili date (se prenotate con sufficiente anticipo) sono: 12-13 giugno; 22-30 giugno; 20-31 luglio; 11-21 settembre; 26-28 settembre.

Riferimenti bibliografici

  • appunti presi durante le lezioni (si veda anche su Google Drive)
  • Finite elements: Theory, fast solvers, and applications in solid mechanics, di D Braess - 2007 - Cambridge University Press;
  • The finite element method for elliptic problems PG Ciarlet - 2002 - SIAM; 2013 - Springer.
  • Numerical approximation of partial differential equations, di A Quarteroni, A Valli - 2008 - Springer;
  • Mixed finite element methods and applications, di D Boffi, F Brezzi, M Fortin -
  • The mathematical theory of finite element methods, di S Brenner, R Scott - 2007 - Springer;
  • R.G. Durán. Mixed Finite Element Methods. In D. Boffi, F. Brezzi, L.F. Demkowicz, R.G. Durán, R.S. Falk, M. Fortin, Mixed finite elements, compatibility conditions, and applications. Lectures given at the C.I.M.E. Summer School held in Cetraro, June 26-July 1, 2006. Edited by D. Boffi and L. Gastaldi. Lecture Notes in Mathematics, 1939. Springer-Verlag, Berlin (2008). Il testo pdf si trova al seguente link

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