ELEMENTI FINITI (2023/24)

Corso di Laurea Magistrale in Matematica


Docenti

  • Giancarlo Sangalli

Informazioni sul corso

Diario delle lezioni e programma d'esame

  • 29 febbraio 2024, E9, GS
    introduzione al corso; nozioni essenziali sugli spazi di Sobolev (tracce in H1);
  • 1 marzo 2024, E9, GS
    formulazione variazionale del problema di Poisson e buona posizione (applicando il lemma di Lax-Milgram);
  • 4 marzo 2024, E9, GS
    lemma di Céa nel caso generale (a non necessariamente simmetrica) e caso simmetrico, con dimostrazione;
  • 7 marzo 2024, E9, GS
    triangolazione e sue proprietà: ammissibilità e shape regularity; derivata in senso debole (ripasso di quanto visto in analisi funzionale); condizioni di raccordo per funzioni C a tratti: v ∈ H1 ⇔ v ∈ C0 (con dimostrazione); triangolo di riferimento
  • 8 marzo 2024, E9, GS
    dimensione dello spazio dei polinomi (con dimostrazione), definizione dei punti di interpolazione sul triangolo (con dimostrazione dell'unisolvenza), definizione di elemento finito (K,P,N), elementi finiti affini, elementi finiti continui: Pk(Th) e Pkdisc(Th);
  • 11 marzo 2024, E9, GS
    il problema di Darcy e la sua formulazione variazionale; (ker (O))° = Im (O*) e inf-sup condition (lemmi con relative dimostrazioni);
  • 14 marzo 2024, E9, GS
    buona posizione del problema variazionale misto (con dimostrazione) e verifica delle ipotesi di coercività nel ker(div) e di inf-sup per il caso di Darcy;
  • 15 marzo 2024, E9, GS
    RTk, definizione e dimensione dello spazio RTk; proprietà e gradi di libertà
  • 18 marzo 2024, ore 14-18 , Aula Beltrami
    Una lezione speciale...
  • 21 marzo 2024, Lezione cancellata
  • 22 marzo 2024, E9, GS
    dimsotrazione della quasi-ottimalità per il metodo elementi finiti misto.
  • 25 marzo 2024, Lab. informatico, GS
    Triangolazione, struttura dati e distmesh_2d, formule di quadratura
  • 4 aprile 2024, Lab. informatico, CP
    Esercitazione sulle formule di quadratura
  • 5 aprile 2024, E9, GS
    equivalenza tra norma di Hk+1/Pk e seminorma Hk+1 (Deny-Lions) con dimostrazione
  • 8 aprile 2024, Lab. informatico, GS
    Assemblaggio del sistema lineare del metodo elementi finiti
  • 11 aprile 2024, E9, GS
    stime per il cambio affine di variabile nella la seminorma Hk (scaling argument), con dimostrazione
  • 12 aprile 2024, E9, GS
    stima della norma del gradiente della trasformazione affine in termini di h e ρ (con dimostrazione) e teorema di Bramble Hilbert (con dimostrazione) con la sua applicazione al caso dell'interpolatore ΠT di grado k sull'elemento triangolare T
  • 15 aprile 2024, Lab. informatico, GS+CP
    Test numerici per FEM applicato al problema di Poisson con condizioni di Dirichlet omogenee
  • 18 aprile 2024, E9, GS
    stima dell'errore per il metodo di Galerkin, problema di Poisson, in norma L2 (Aubin-Nitsche) con dimostrazione
  • 19 aprile 2024, E9, GS
    I lemma di Strang (con dimostrazione) e analisi dell errore di quadratura per elementi lineari, con dimostrazione;
  • 22 aprile 2024, Lab. informatico, GS
    Test numerici per FEM applicato al problema di Poisson con condizioni di Dirichlet non omogenee
  • 29 aprile 2024, Lab. informatico, GS+CP
    Test numerici per FEM applicato al problema di Poisson: condizioni di Neumann
  • 2 maggio 2024, E9, GS
    II lemma di Strang (con dimostrazione) e analisi analisi dell errore di approssimazione del dominio con elementi triangolari, con dimostrazione;
  • 3 maggio 2024, E9, GS
    disuguaglianze inverse
  • 6 maggio 2024, Lab. informatico, GS+CP
    implementazione degli spazi RT0 e P0
  • 9 maggio 2024, E9, GS
    stima di errore (con dimostrazione) per il metodo di Nitsche
  • 10 maggio 2024, E9, GS
    rimprendiamo gli RTk, i loro gradi di libertà e proprietà
  • 13 maggio 2024, Lab. informatico, GS
    Test numerici per FEM applicato al problema di Darcy
  • 16 maggio 2024, E9, GS
    Darcy con i RTk x Pk: stime d'errore
  • 17 maggio 2024, E9, GS
    il problema di diffusione-trasporto, parte I: introduzione al problema
  • 20 maggio 2024, Lab. informatico, GS
    Darcy con condizioni al bordo generali
  • 23 maggio 2024, E9, GS
    il problema di diffusione-trasporto, parte II: descrizione dei metodi NCAD (diffusione artificiale non-consistente), NCSD (diffusione streamline non consistente) e SUPG (streamline-upwind Petrov-Galerkin)
  • 24 maggio 2024, E9, GS
    il problema di diffusione-trasporto, parte III: stima dell'errore (con dimostrazione)
  • 27 maggio 2024, Lab. informatico, GS+CP
    Implementazione MATLAB di NCAD (non-consistent/artificial-diffusion) e SUPG (streamline-upwind/Petrov-Galerkin) per il problema di diffusione-trasporto e test numerici
  • 30 maggio 2024, E9, GS
    Elementi finiti C1 (triangolo di Argyris, e` argomento d'esame) ed isoparametrici (Q1 e P2, non e` argomento d'esame)
  • 31 maggio 2024, E9, GS
    Un'introduzione all'IGA, non e` argomento d'esame
  • 3 giugno 2024, Lab. informatico, CP
    Test numerici per il problema di diffusione-trasporto
  • 6 giugno 2024, Lab. informatico, CP
    Un'introduzione al metodo discontinuous Galerkin ed in particolare alla sua variante Symmetric Interior Penalty discontinuous Galerkin (SIPG), non e` argomento d'esame
  • 7 giugno 2024, E9, CP + GS
    Discussione e revisione finale

Metodi elementi finiti implementati in linguaggio MATLAB durante il corso

  • Solutore del problema bidimensionale di Poisson con elementi P1;
  • Solutore del problema bidimensionale di Darcy con elementi finiti misti RT0 x P0.

Un possibile triangolatore in linguaggio MATLAB

Regole per l'esame

  • L'esame consiste in una prova orale su tutti gli argomenti svolti a lezione (escluso quanto esplicitamente indicato nel "Diario delle lezioni e programma d'esame" esposto qui sopra) e durante il laboratorio di programmazione. Il giorno dell'orale e` di norma concordato via e-mail anche al di fuori del calendario ufficiale. Per quanto riguarda la sessione estiva 2024, alcune possibili date (se prenotate con sufficiente anticipo) sono: 10-21 giugno; 1-5 luglio; 15-19 luglio; 9-27 settembre.

Riferimenti bibliografici

  • appunti presi durante le lezioni (si veda anche su Google Drive)
  • Finite elements: Theory, fast solvers, and applications in solid mechanics, di D Braess - 2007 - Cambridge University Press;
  • The finite element method for elliptic problems PG Ciarlet - 2002 - SIAM; 2013 - Springer.
  • Numerical approximation of partial differential equations, di A Quarteroni, A Valli - 2008 - Springer;
  • Mixed finite element methods and applications, di D Boffi, F Brezzi, M Fortin -
  • The mathematical theory of finite element methods, di S Brenner, R Scott - 2007 - Springer;
  • R.G. Durán. Mixed Finite Element Methods. In D. Boffi, F. Brezzi, L.F. Demkowicz, R.G. Durán, R.S. Falk, M. Fortin, Mixed finite elements, compatibility conditions, and applications. Lectures given at the C.I.M.E. Summer School held in Cetraro, June 26-July 1, 2006. Edited by D. Boffi and L. Gastaldi. Lecture Notes in Mathematics, 1939. Springer-Verlag, Berlin (2008). Il testo pdf si trova al seguente link

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