ELEMENTI
FINITI (2022/23)
Corso di Laurea Magistrale in Matematica
Docenti
Informazioni sul corso
Diario delle lezioni e programma d'esame
- 2 marzo 2023, E9, GS
introduzione al
corso; cenni alla derivata nel senso delle distribuzioni e
nozioni essenziali sugli spazi di Sobolev (tracce in H1);
- 3 marzo 2023, E9, GS
formulazione variazionale del
problema di Poisson e buona posizione (applicando il lemma di Lax-Milgram); lemma di Cea nel caso
generale simmetrico e simmetrico (con dimostrazione);
- 6 marzo 2023, E9, GS
triangolazione e sue
proprietà: ammissibilità e shape regularity;
triangolo di riferimento
- 9 marzo 2023, E9, GS
derivata in senso
debole (ripasso di quanto visto in analisi funzionale); condizioni di
raccordo per funzioni C∞ a tratti: v ∈ H1 ⇔ v ∈ C0
(con dimostrazione)
- 10 marzo 2023, E9, GS
dimensione dello spazio dei
polinomi (con dimostrazione), definizione dei punti di interpolazione sul triangolo
(con dimostrazione dell'unisolvenza), definizione di elemento finito (K,P,N), elementi finiti affini,
- 15 marzo 2023, E9, GS
elementi finiti continui:
Pk(Th) e Pkdisc(Th); triangolo
di Argyris e unisolvenza dei gradi di libertà (con dimostrazione), elementi isoparametrici
- 16 marzo 2023, Lab. informatico , GS
struttura dati per
la triangolazione e formule di quadratura su di una mesh di triangoli
- 17 marzo 2023, Lab. informatico , GS
test numerici
di convergenza delle formule di quadratura
- 20 marzo 2023, E9, GS
equivalenza tra norma di
Hk+1/Pk e seminorma Hk+1 (Deny-Lions) con dimostrazione.
- 23 marzo 2023, E9, GS
stime per il cambio affine di
variabile nella la seminorma Hk (scaling argument), con dimostrazione.
- 24 marzo 2023, E9, GS
stima della norma del gradiente
della trasformazione affine in termini di h e ρ (con
dimostrazione) e teorema di Bramble Hilbert (con dimostrazione) con
la sua applicazione al caso dell'interpolatore ΠT
di grado k sull'elemento triangolare T
- 27 marzo 2023, Sala Conferenze dell'IMATI-CNR alle ore 14
seminario
informale di Mariarosa Mazza su "Some
numerical linear algebra considerations on fractional derivatives"
- 30 marzo 2023, E9, GS
stima dell'errore per il metodo di
Galerkin, problema di Poisson, in norma L2 (Aubin-Nitsche) con
dimostrazione;
- 31 marzo 2023, Lab. informatico , GS
assemblaggio
della "matrice di rigidezza"
- 3 aprile 2023, Lab. informatico , GS
prove
numeriche per il metodo elementi finiti: verifica numerica degli
ordini di convergenza per Poisson omogeneo
- 13 aprile 2023, Lab. informatico , GS
prove
numeriche per il metodo elementi finiti: Poisson con condizioni
Dirichlet non omogenee e
condizioni di Neumann
- 14 aprile 2023, E9, GS
I lemma di Strang (con
dimostrazione) e analisi dell errore di quadratura per elementi
lineari, con dimostrazione;
- 17 aprile 2023, E9, GS
II lemma di Strang (con
dimostrazione) e analisi analisi dell errore di
approssimazione del dominio con elementi triangolari, con
dimostrazione;
- 20 aprile 2023, E9, GS
disuguaglianze inverse
- 21 aprile 2023, E9, GS
stima di errore (con
dimostrazione) per il metodo di
Nitsche
- 27 aprile 2023, LEZIONE SOSPESA (scambio con il corso di Metodi numerici avanzati per equazioni alle derivate parziali)
- 28 aprile 2023, LEZIONE SOSPESA (scambio con il corso di Operations research)
- 3 maggio 2023, ore 14-16, E9, GS
il problema di Darcy e la sua
formulazione variazionale; (ker (O))° = Im (O*) e
inf-sup condition (lemmi con relative dimostrazioni)
- 4 maggio 2023, E9, GS
buona posizione del problema
variazionale misto (con dimostrazione)
- 5 maggio 2023, Lab. informatico , GS
FEM per Poisson con
condizione di Neumann
- 8 maggio 2023, ore 14-16, GS
FEM misti,
quasi-ottimalità (con dimostrazione)
- 8 maggio 2023, ore 16-18, Lab. informatico ,
GS
RECUPERO, verifica dei codici FEM per Poisson
- 11 maggio 2023, E9, GS
RTk, definizione e
dimensione dello spazio
- 12 maggio 2023, E9, GS
RTk, gradi di libertà e dimostrazione delle
varie proprietà, parte I
- 15 maggio 2023, E9, GS
RTk, gradi di libertà e dimostrazione delle
varie proprietà, parte II
- 18 maggio 2023, E9, GS
RTk, gradi di libertà e dimostrazione delle
varie proprietà, parte III
- 19 maggio 2023, E9, GS
Darcy con i RTk x
Pk: stime d'errore
- 22 maggio 2023, E9, GS
implementazione del
solutore per Darcy con i RT0 x P0
- 25 maggio 2023, Lab. informatico, GS
Darcy in MATLAB
- 26 maggio 2023, Lab. informatico, GS
Darcy in MATLAB
- 29 maggio 2023, Lab. informatico, GL
revisione dei codici MATLAB
- 1 giugno 2023, Lab. informatico, GS+GL
revisione dei codici MATLAB
- 5 giugno 2023, E9, GS
analisi isogeometrica (argomento escluso dal programma d'esame)
- 8 giugno 2023, E9, GS
formulazioni Galerkin spazio-tempo
per problemi evolutivi (argomento escluso dal programma d'esame)
- 9 giugno 2023, E9, GS
il problema della
diffusione-trasporto e sua risoluzione numerica con metodi Galerkin
stabilizzati (argomento escluso dal programma d'esame)
Metodi elementi finiti implementati in linguaggio MATLAB durante
il corso
- Solutore del problema bidimensionale di Poisson conelementi P1;
- Solutore del problema bidimensionale di Darcy con elementi finiti misti RT0-P0.
Un possibile triangolatore in linguaggio MATLAB
Regole per l'esame
- L'esame consiste in una prova orale su tutti gli argomenti svolti a
lezione e durante il laboratorio di programmazione. Il giorno
dell'orale e` di norma concordato via e-mail anche al di fuori del
calendario ufficiale. Per quanto riguarda la sessione estiva 2023,
alcune possibili date (se prenotate con sufficiente anticipo) sono: 12-13 giugno; 22-30 giugno; 20-31
luglio; 11-21 settembre; 26-28 settembre.
Riferimenti bibliografici
- appunti presi durante le lezioni (si veda anche su Google Drive)
- Finite elements: Theory, fast solvers, and applications in solid mechanics,
di D Braess - 2007 - Cambridge University Press;
- The finite element method for elliptic problems PG Ciarlet -
2002 - SIAM;
2013 - Springer.
- Numerical approximation of partial differential equations, di A
Quarteroni, A Valli - 2008 - Springer;
- Mixed finite element methods and applications, di D Boffi, F Brezzi, M Fortin -
- The mathematical theory of finite element methods, di S
Brenner, R Scott - 2007 - Springer;
- R.G. Durán. Mixed Finite Element Methods. In D. Boffi, F. Brezzi,
L.F. Demkowicz, R.G. Durán, R.S. Falk, M. Fortin,
Mixed finite elements, compatibility conditions, and applications.
Lectures given at the C.I.M.E. Summer School held in Cetraro, June 26-July 1,
2006. Edited by D. Boffi and L. Gastaldi. Lecture Notes in Mathematics, 1939.
Springer-Verlag, Berlin (2008). Il testo pdf si trova al seguente
link
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